關于向量的線性表出方法的比較

【摘 要】本文主要討論向量線性表出的初等行變換法，通過實例給予詳細介紹，并且與以往線性方程組法法進行比較，得到解決向量線性表出較簡單可行的方法。

【關鍵詞】向量組 線性表出 初等行變換 階梯型矩陣

【中圖分類號】O151.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）01-0097-01

一 問題的提出

向量的線性表出問題是線性代數課程的重點與難點，在同濟大學出版社出版的《線性代數經管類》一書中，線性表出這部分內容僅限于向量所構造的非齊次線性方程組的系數矩陣為方陣時才可進行判定，帶有一定的局限性。而在同濟大學數學系編寫的《工程數學線性代數》（第五版）一書中，介紹向量線性表出這一部分內容時，主要方法是用向量所構造矩陣的秩來判定，但未詳細介紹若能夠線性表出，線性表達式該如何求解。學生在學習這部分內容時略感混亂，增加了學生學習這部分知識的難度。其實，掌握這部分內容并不像學生想象得那么困難。本文避開線性方程組內容，用初等行變換的知識，輕松地解決向量線性表出的判定這個難點，同時，還可直接得到其線性表達式。

方法介紹：（1）將所給的行向量組按行排列成矩陣，原始向量的序號按順序標注在矩陣右側。（2）對矩陣作初等行變換將其化為階梯型，在對矩陣進行初等行變換的同時，對矩陣后的標注也進行相應的變換。特別注意：在此過程中，努力嘗試將帶有向量β的行最簡化。（3）觀察帶有向量β的行是否為零行，若為零行，向量β可以由其余向量線性表出，若為非零行，向量β不可以由其余向量線性表出。

特別提示：矩陣右端標出每個向量所在的位置及每次運算的過程，目的是為了看出β由向量組線性表出的表達式。

四 方法總結

第一，若向量組未具體給定，判定是否可以線性表出時，從定義出發并結合所給條件列出等式后，進行轉化判斷。

第二，若向量組為具體給定時。（1）將向量組與被要求判定的向量構造成非齊次線性方程組，按非齊次線性方程組的求解方法，若方程有解即可線性表出，反之不能線性表出。（2）將所有行向量按行排列組成矩陣，被要求判定的向量放在矩陣最后一行。按行擺行變換法進行線性變換，觀察帶有向量β的行是否為零行，若為零行，向量β可以由其余向量線性表出。若為非零行，向量β不可以由其余向量線性表出。

這兩種方法在判定能否線性表出時可行，但當我們利用行擺行變換法來處理線性表出問題時，更方便、簡單易操作。

參考文獻

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〔責任編輯：龐遠燕〕