基于禽流感的一類模型建立與穩定性分析

車淑琴 薛亞奎

（中北大學理學院，山西 太原030051）

0 引言

禽流感（Avian Influenza），全名鳥禽類流行性感冒，它是一類復雜的病毒，不僅能感染家禽（雞鴨），也能感染一些哺乳類動物（豬、狗、馬），隨著禽流感病毒的不斷突變，它甚至可以感染人類，并造成較高的死亡率，禽流感突變和蔓延及其嚴重使得人類對它的研究預防和控制變的非常困難。數學建模可以直觀有效的幫助我們研究禽流感的發展規律，最早人們研究的是鳥類遷徙的禽流感傳播模型[1]，后來人們主要研究的對象是人類，預防控制也集中在人類如文獻[2-5]，這樣確實可以有效的減少禽流感對人類的傷害；也有一些文章開始著重于解決禽流感對家禽的感染情況，如文獻[6]分析了H5N1在種群內的傳播。

本文中把禽類分為三個倉室：易感者(X)，染病者(Y)，接種免疫者(V)，人類分為易感者(S)，染病者(I)，隔離治療者(T)。μA為禽類的出生率，μ和d分別為禽類和人類的自然死亡率，α和δ分別為染病的禽類和人類的因病死亡率，q2(0fflt;q2fflt;1)是新生禽類具有免疫力的比例，q1=1-q2是新生禽類不具有免疫力的比例，p為禽類預防接種比例；ε是免疫失效比例，β和σβ(0fflt;σfflt;1)分別為染病的禽類感染易感禽類和具有免疫力禽類的感染率，Λ為人口的出生率，ω為染病的禽類感染易感人類的傳染率，θ是隔離者的康復率，γ是患者的隔離率，這些參數均為正參數。模型如下：

文章組織如下：在第二部分中，證明了無病平衡點和正平衡點的存在性；在第三部分中，證明了該系統無病平衡點和正平衡點的全局穩定性；最后，分析結果。

1 平衡點的存在性

系統的正平衡點E+(X*,V*,Y*,S*,I*,T*)可以由方程組（2）計算得出

由方程組（2）可以得到：

并且有

其中σ0=(p+μ)(q2μ+p)σ2+σ[p(q1μ+ε)+ε(q2μ+p)]+(μ+ε)(q1μ+ε)，

所以函數當Y＞0時，H(Y)是單調遞減的。

因此，由H(Y)的單調性得，當R0＞1時，H(Y)=0在區間(0,A)上存在唯一的正根；當R0≤1時在區間(0,A)上不存在正根。

2 平衡點的穩定性

2.1 無病平衡點的穩定性

系統（1）在E0處的Jacobian矩陣為

特征方程為

顯然，該方程的根均有負實部的充要條件是R0≤1，于是得到：

定理2 當R0≤1時,則E0是局部漸近穩定的。

當且僅當X=X0,V=V0時，L1′=0。由Lasalle不變集原理[9]，可以得到下面的定理：

定理3 當R0≤1時,則E0是全局漸近穩定的。

2.2 正平衡點的穩定性

系統（1）在E+處的Jacobian矩陣為

顯然，J在正平衡點E+的特征值由M和B的特征值決定。很明顯，矩陣B的特征根均具有負實部，而矩陣M的特征方程是

其中，

由Routh-Hurwitz判據[10]可知，矩陣M的的特征根均有負實部。于是有下面的定理：

定理4 當R0＞1時,則E+是局部漸近穩定的。

定理5 當R0＞1時,則E+是全局漸近穩定的。

3 結論

本文構造了一個具有接種免疫，并且考慮了新生個體免疫性能的SIV-SIT動力學模型，通過下一代矩陣原理得出了系統的基本再生數R0，并且運用Lyapunov函數證明了系統的全局穩定性。當R0≤1時，系統僅有一個無病平衡點E0且是全局漸進穩定的，疾病消亡；當R0＞1時，系統存在唯一的正平衡點E+且是全局漸進穩定的，疾病將持續成一種地方病。為了防止該疾病的進一步流行，需減少患病禽類與其他禽類或者人類的接觸，并且增強免疫接種率，這樣就可以有效的減少禽類對其他易感個體的傳染，從而對禽流感的控制起到積極作用。

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