矩陣Jordan標準型的幾何性質

趙云平

摘 要 矩陣的標準型理論是矩陣論中重要的一個方面，本文首先給出了Jordan標準型的定義，同時介紹并推廣了Jordan標準型的幾何方面的相關定理。

關鍵詞 Jordan標準型 幾何 性質

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A

Geometric Properties of Jordan Matrix Standard

ZHAO Yunping

（Department of Mathematics and Science， Lincang Teachers' College， Lincang， Yunnan 677000）

Abstract Standard theory of the matrix is an important aspect of matrix theory， this paper gives the Jordan standard definition， while the introduction and promotion of the relevant aspects of geometric theorems Jordan standard type.

Key words Jordan; standard; geometric; property

矩陣理論既是學習經典數學的基礎，又是一門很有實用價值的理論。在高等代數線性代數中Jordan標準型是矩陣的一類，Jordan標準型得名于19世紀后期的法國數學家卡米爾·若兒當。1870年，若兒當證明了任何矩陣經過變換可相似于一個“標準型”，即現在所謂的Jordan標準型，從而建立了矩陣Jordan標準型的完整理論。

本文討論了Jordan標準型的定義和Jordan標準型的一些幾何方面的性質。

1 Jordan標準型的定義

定義1：

的方陣稱為階Jordan塊。其中可以是實數，也可以是復數。

例如

都是Jordan塊。特別的，一階Jordan塊是一階矩陣。

定義2：由若干個Jordan塊組成的分塊對角陣

稱為Jordan標準型矩陣。其中（ = 1，2…）為階Jordan塊。

例如

是9階Jordan標準型矩陣。

當J1 = []，J2 = []，…，Js = []都是一階Jordan塊時，J為對角陣，因此對角陣為約當陣的特例。

2 矩陣Jordan標準型的幾何性質

（第一分解）定理2.1.1 設是維線性空間的線性變換，（） = …。則：（1） = ?是-不變子空間;（2） 令（） = ，則 = ;（3） =⊕⊕…⊕ ;（4） 令 = ，則（） = ;（5） 設是特征值的特征子空間，則有€H選？

定理中的稱為屬于特征值的根子空間，中的向量稱為根向量。

設（）， = 0， ≠0。則存在，使得，（），…（）線性無關，且是（，（），…（））的一個基。在這一基下的矩陣是階方陣

這里（0，）中0代表對角線上元素全為0，表示矩陣的階數。稱（，（），…（））是循環子空間，，（），…（）為循環基。

（第二分解）定理2.1.2 設是維空間的線性變換， = 0， ≠0，（當然≤）。則 =⊕⊕…⊕ ，

這里是的循環子空間，1≤≤，且（）≥（）≥…≥（）€H？，（） = 。

取的循環基，湊成的基，則在這個基下的矩陣是

（（0，），（0，），…（0，）），這里

，

= （），1≤≤。（0，）稱為屬于特征值0的階為的Jordan塊。

引理2.1.3 （） = ， ?=

證明：（1）€HO（），要證（） = 0

= ?+ ?+ …，

（） = 0

： （），（），…，是的循環基，有（） = 0。

= （） + （） + … + （）

（（）） = （） = 0，其中0≤≤， ≥。

所以（）€H鍘？

（2）€HO， 要證（）。

又（） = ⊕⊕…⊕

（）€H# = ?+ ?+ … + ，從而 = ⊕ ⊕…⊕

= ?+ ?+ … + ?+ ?+ … + ，要證 ?= 0， €H傘堋H舨蝗唬瑎HR，€H傘？≠0，：，，…，， = 0，在這組基下的表示矩陣為Jordan塊

，

可逆，（）≠0，（）是的不變子空間，也是的不變子空間。

= ?+ ?+ … + ?+ ?+ … + ?+ …

（） = 0 + … + 0 + … + ?+ … ≠0

0 = 0 + 0 + … + 0 + ?+ … + ?+ … +

+ … + ?+ … + ?= 0，又≠0，所以 + … + ?+ … + ≠0，從而產生矛盾。

所以（）。

定理2.1.4（不可分解性）是的維循環子空間，則

（1） 任何含的的-子空間就是它自己;

（2） 任何的-子空間必包含;

（3） 不可分解為兩個非平凡的-子空間之和。

引理2.1.4' 對應的特征值是，階數為階，在循環基，，…，下的表示矩陣為endprint

（1）是的-子空間，若，則 = ;

（2）是的-子空間，則;

（3）不可分解為兩個非平凡的-子空間之和。

證明：（1）（） = ?+

∵，是-子空間

∴（）， ，有 = （）

€H！ ?=

（2）€HO€H眨？= ?+ ?+ … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

= ?+ （ + ） + … + （ + ）

= ?+ ?+ … +

從而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因為一個空間可分解為兩非平凡子空間的直和，這兩個子空間的交必須為零，但由（2）這兩個子空間至少包含一個非零的向量，所以不可分解為兩個非平凡的-子空間之和。

3 小結

矩陣作為一種基本的數學工具在數學理論及其他科學領域都有十分重要的應用。它不僅是高等代數的一個重要分支，而且已經成為現代各科技領域處理大量有限維空間形式與數量關系的有力工具。矩陣的標準型具有結構簡單、易于計算等優點，在解決矩陣問題中起著很重要的作用。對矩陣的標準型的應用值得做進一步探討。

參考文獻

[1] 沈啟鈞.確定實非對稱矩陣Jordan標準型的一種算法[J].高等學校計算機數學學報，1983.

[2] 王蓮花.若當標準型的計算及其應用[J].河南教育學院學報，2001.

[3] 易福俠.矩陣若當標準化的一種新方法[J].大學數學，2009.

[4] 袁俊偉.關于用幾何方法求Jordan標準型的注記[J].湖水民族學院學報，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩陣的Jordan標準型[J].合肥工業大學學報，2012.

[6] 張志旭.矩陣標準型的思想及應用[J].佳木斯大學學報，2006.

[7] 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 萬冰蓉.矩陣若當標準型的另一證明[J].井岡山師范學院學報，2004.

[9] 王世超.高等代數新方法.中國礦業大學出版社，2003.endprint

（1）是的-子空間，若，則 = ;

（2）是的-子空間，則;

（3）不可分解為兩個非平凡的-子空間之和。

證明：（1）（） = ?+

∵，是-子空間

∴（）， ，有 = （）

€H！ ?=

（2）€HO€H眨？= ?+ ?+ … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

= ?+ （ + ） + … + （ + ）

= ?+ ?+ … +

從而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因為一個空間可分解為兩非平凡子空間的直和，這兩個子空間的交必須為零，但由（2）這兩個子空間至少包含一個非零的向量，所以不可分解為兩個非平凡的-子空間之和。

3 小結

矩陣作為一種基本的數學工具在數學理論及其他科學領域都有十分重要的應用。它不僅是高等代數的一個重要分支，而且已經成為現代各科技領域處理大量有限維空間形式與數量關系的有力工具。矩陣的標準型具有結構簡單、易于計算等優點，在解決矩陣問題中起著很重要的作用。對矩陣的標準型的應用值得做進一步探討。

參考文獻

[1] 沈啟鈞.確定實非對稱矩陣Jordan標準型的一種算法[J].高等學校計算機數學學報，1983.

[2] 王蓮花.若當標準型的計算及其應用[J].河南教育學院學報，2001.

[3] 易福俠.矩陣若當標準化的一種新方法[J].大學數學，2009.

[4] 袁俊偉.關于用幾何方法求Jordan標準型的注記[J].湖水民族學院學報，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩陣的Jordan標準型[J].合肥工業大學學報，2012.

[6] 張志旭.矩陣標準型的思想及應用[J].佳木斯大學學報，2006.

[7] 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 萬冰蓉.矩陣若當標準型的另一證明[J].井岡山師范學院學報，2004.

[9] 王世超.高等代數新方法.中國礦業大學出版社，2003.endprint

（1）是的-子空間，若，則 = ;

（2）是的-子空間，則;

（3）不可分解為兩個非平凡的-子空間之和。

證明：（1）（） = ?+

∵，是-子空間

∴（）， ，有 = （）

€H！ ?=

（2）€HO€H眨？= ?+ ?+ … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

= ?+ （ + ） + … + （ + ）

= ?+ ?+ … +

從而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因為一個空間可分解為兩非平凡子空間的直和，這兩個子空間的交必須為零，但由（2）這兩個子空間至少包含一個非零的向量，所以不可分解為兩個非平凡的-子空間之和。

3 小結

矩陣作為一種基本的數學工具在數學理論及其他科學領域都有十分重要的應用。它不僅是高等代數的一個重要分支，而且已經成為現代各科技領域處理大量有限維空間形式與數量關系的有力工具。矩陣的標準型具有結構簡單、易于計算等優點，在解決矩陣問題中起著很重要的作用。對矩陣的標準型的應用值得做進一步探討。

參考文獻

[1] 沈啟鈞.確定實非對稱矩陣Jordan標準型的一種算法[J].高等學校計算機數學學報，1983.

[2] 王蓮花.若當標準型的計算及其應用[J].河南教育學院學報，2001.

[3] 易福俠.矩陣若當標準化的一種新方法[J].大學數學，2009.

[4] 袁俊偉.關于用幾何方法求Jordan標準型的注記[J].湖水民族學院學報，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩陣的Jordan標準型[J].合肥工業大學學報，2012.

[6] 張志旭.矩陣標準型的思想及應用[J].佳木斯大學學報，2006.

[7] 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 萬冰蓉.矩陣若當標準型的另一證明[J].井岡山師范學院學報，2004.

[9] 王世超.高等代數新方法.中國礦業大學出版社，2003.endprint