何時去機場最好

反思你的假定

經常乘飛機的人都會有一個煩惱：為了確保不誤機，就要提前幾個小時去機場，長此以往會浪費很多寶貴的時間。諾貝爾經濟學獎獲得者喬治·斯蒂格勒曾經說過：“如果你從未錯過航班，這說明你在機場花了太多時間。”艾倫伯格提議的做法是，你弄清前往機場的末班車的時間，然后搭乘它前面的那一班。

到底該什么時候去機場？到機場太早和太晚都不好，對早到和晚到的壞處進行量化有助于我們尋找最佳的到達時間。假如在機場等候一個小時要花費10個效用，誤機要花費50個效用。如果你早到半小時，你誤機的概率是20%，早到1個小時，誤機的概率為5%，早到兩個小時誤機的概率就只有1%。假如你早到1個小時，候機的損失是10個效用，誤機的損失是誤機的概率乘以誤機損失的效用，假如早到1小時，你誤機的概率是5%，這將令你損失50個效用，預期的損失就是5%乘以50，等于2.5個效用。加在一起的話，早到l小時的預期損失是12.5個效用。

如果早到2個小時，候機損失20個效用，而誤機的預期損失只有1%乘以50，等于0.5，總的預期損失為20.5，這比早到1個小時大多了。如果你提前半小時到達機場，你候機時只損失5個效用.但誤機概率是20%，預期損失是20%乘以50，結果是10個效用，總的預期損失是15個效用，大于早到1個小時的結果。預期效用分析是經濟學的基本觀念，許多經濟學模型都是以效用最大化為基礎。

如何解決無限循環

一般人都會認為0.999……這個無限循環小數不等于1，它比1小，雖然它越來越接近1，但永遠都到不了1。有人說，0.999……就是l，很多人都知道如何證明：0.333……=1/3，兩邊都乘以3，結果就是0.999……等于1。

還有一個更詭異的例子：1—1+1—1十1.1+……是多少？如果這樣變換：（1-1）+（1-1）+（1-1）+……=0+0+0+……它就等于0。如果這樣變換：1-（1-1）一（1-1）一（1-1）一……=1-O-0-O……它就等于1。出現這種情況，肯定要從無限上找原因。

艾倫伯格說，無限循環的數學符號到底是多少，這取決于我們如何定義它，或者說這種提問方式本身就有問題。0.999……到底是多少？它好像是許多加數的結果：0.9+0.09+0.009+0.0009+-……問題就在這個省略號。把2個、3個或者100個數加起來時，不會引起什么爭議。這就是用數字表示把100堆東西放在一起的物理過程。但是無限個東西相加就不一樣了。在現實世界中，你不會弄到無限個東西。一個無限的數字的數量是多少呢？它沒有數量，直到我們賦予它一個數量。數學家哈代解釋說：“近代的數學家不會認為一組數學符號要我們通過定義指派給它一個意義時，它才有意義。他們沒有下定義的習慣，他們不會問我們該如何定義1-1+l-1+……而是問它是多少。這一習慣導致他們陷入了不必要的困惑和爭議。”

艾倫伯格說，給數學符號下定義并不是相對主義。單單因為我們可以隨意給一系列數學符號指派意義，并不等于我們就應該這么做。在數學上，跟生活中一樣，有好的選擇，也有壞的選擇。在數學上，好的選擇就是能夠解決困惑而又不帶來新的困惑的選擇。18世紀法國數學家柯西說，我們應該把0.999……定義為1，接著他證明這一選擇并不會造成沖突。

艾倫伯格談到了法國大革命時期的政治哲學家孔多塞，孔多塞曾試圖改善選舉辦法。在有三個以上候選人的選舉中，多數人裁定的制度會產生問題。他希望想出一個公平的投票方法，這個方法要滿足這樣一個公理：如果大部分選民更喜歡候選人A而非B，那么候選人B就不是人民的選擇。但是有可能會出現這樣一種剪刀石頭布式的情形：大部分人更喜歡A而不是B，更喜歡B而不是C，更喜歡C而不是A。這樣誰都贏不了。“數學家哈代會建議孔多塞，不要問誰是最佳候選人，或者公眾想讓誰當選，而是問應該把哪個候選人定義為公眾的選擇。”數學形式主義把找到正確答案變成了遵循規則去尋找答案。