魔方中的數(shù)學(xué)

【摘 要】本文從群論的角度出發(fā)，論述了魔方的數(shù)學(xué)性質(zhì)。主要討論了群論中的概念及相關(guān)性質(zhì)在魔方復(fù)原中的實(shí)際應(yīng)用，并給出了魔方復(fù)原的一種方法。

【關(guān)鍵詞】群 魔方 魔方復(fù)原

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）11-0073-02

魔方（Rubik’Cube）是匈牙利建筑師魯比克教授發(fā)明的益智玩具，1980年在一家玩具公司的推動(dòng)下走向世界，風(fēng)靡全球。經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展、演化，魔方不僅僅限于3階，又出現(xiàn)了4階，5階，7階……甚至出現(xiàn)了異形魔方。

魔方不再是一種兒童手中的玩具，更是一種休閑放松的方式和體育競(jìng)技形式，而且極具刺激性與挑戰(zhàn)性。聯(lián)系到數(shù)學(xué)方面，魔方中蘊(yùn)含了群論中的許多概念及其相關(guān)性質(zhì)。本文借助三階魔方，在群論的基礎(chǔ)上，討論了群論在魔方復(fù)原中的實(shí)際應(yīng)用。

幾乎所有的人拿到一個(gè)打亂的魔方都會(huì)不由自主地嘗試去復(fù)原它，也就是將同種顏色的面組合在一起。魔方復(fù)原的方法已經(jīng)得到了解決，而且隨著魔友越來越多，解法也層出不窮。那么復(fù)原一個(gè)魔方最少的步驟（“上帝之?dāng)?shù)”）是多少呢？這個(gè)問題困擾了科學(xué)家?guī)资辍?010年8月，美國(guó)肯特州立大學(xué)數(shù)學(xué)家Morley Davidson和Google工程師John Dethridge揭開了“上帝之?dāng)?shù)”的神秘面紗，“上帝之?dāng)?shù)”等于20，并給出了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。本文不對(duì)“上帝之?dāng)?shù)”進(jìn)行探討，為了滿足讀者的興趣，在文中最后給出了魔方復(fù)原的一種方法。如果想要了解更多的魔方玩法，可以參考。

一 基本介紹

三階魔方由26塊組成，分別為6個(gè)中心塊、12個(gè)邊塊和8個(gè)角塊組成，其中一種顏色的是中心塊，兩種顏色的是邊塊，三種顏色的是角塊。魔方不僅僅有一種配色，目前常用的配色為白黃相對(duì)，紅橙相對(duì)，藍(lán)綠相對(duì)。魔方各個(gè)面的表示見圖1。

如圖1所示，用每個(gè)面的字母表示這個(gè)面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，比如L表示左面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。相反的在字母后面加“’”表示這個(gè)面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同樣的L’表示左面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。在字母后面加2表示這個(gè)面旋轉(zhuǎn)180°，如L2表示左面旋轉(zhuǎn)180°。

為了表示角塊上的小面，用abc表示，如UFL表示上面前左方位的小面。對(duì)于邊塊上的小面，用ab表示，如UF表示上面前面方位的小面。

二 魔方旋轉(zhuǎn)群

規(guī)定魔方轉(zhuǎn)動(dòng)的乘法運(yùn)算，給定魔方的一個(gè)狀態(tài)記為M，fg（M）=g（f（M）），其中f，g表示魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)，則fg表示先對(duì)魔方進(jìn)行f操作，再進(jìn)行g(shù)操作。

定義1，將上面的F，D，L，R，U，B作為基本的旋轉(zhuǎn)，定義G={F，D，L，R，U，B}是魔方的所有轉(zhuǎn)動(dòng)生成的集合。

定理2，集合G對(duì)于規(guī)定的乘法運(yùn)算來說作成一個(gè)群，稱為魔方旋轉(zhuǎn)群。

證明：（1）顯然對(duì) f，g，h∈G，fg∈G。（2）對(duì)于給定的魔方狀態(tài)M，以及前面規(guī)定的乘法，有：（（fg）h）（M）=h（fg）（M）=hgf（M）；（f（gh））（M）=（gh）（f（M））=hgf（M）。故（fg）h=f（gh），結(jié)合律成立。（3）對(duì)于給定的魔方狀態(tài)M，存在一系列旋轉(zhuǎn)使得魔方回到原來的狀態(tài)，故單位元E是存在的。（4） R∈G，R4=E，因此R-1=R3，由于G中的元素是由{F，D，L，R，U，B}生成的，所以G中的每個(gè)元都有逆元，故逆元存在。

綜上所述，G是一個(gè)群。

1.置換及其奇偶性

給定一個(gè)魔方初始狀態(tài)，經(jīng)過一系列旋轉(zhuǎn)到達(dá)初始狀態(tài)，我們稱之為置換。因此，每一次旋轉(zhuǎn)都可以寫成一個(gè)置換，如FFRR=（DF UF）（DR UR）（BR FRFL）（DBR UFR DFL）（ULF URB DRF）。魔方還原是一個(gè)極其復(fù)雜的過程，需要大量的置換操作。對(duì)于魔方旋轉(zhuǎn)群的置換，根據(jù)文獻(xiàn)有如下性質(zhì)：

性質(zhì)3，兩個(gè)不相連的循環(huán)置換是可交換的。

性質(zhì)4，每個(gè)置換都可以寫成不相連循環(huán)置換的乘積。

定義5，2-循環(huán)簡(jiǎn)稱為對(duì)換，無公共元素的循環(huán)稱為不相連循環(huán)。

定義6，一個(gè)置換若分解成奇數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積時(shí)，稱為奇置換；否則稱為偶置換。

定理7，每個(gè)置換表成對(duì)換的乘積時(shí)，其對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性不變。

定理8，如果一個(gè)處于還原狀態(tài)的魔方，經(jīng)過一系列的置換操作，魔方最終會(huì)被還原。

證明：略。

2.共軛

共軛是魔方復(fù)原中最常用的一種方式，特別是在解決魔方第二層中有重要的地位。

定義9，對(duì) g∈G，ghg-1稱為h的共軛元。

下面給出等價(jià)關(guān)系～的定義，對(duì) f，g，h∈G滿足以下條件的稱之為等價(jià)關(guān)系：（1）反身性：f～f；（2）對(duì)稱性：如果f～g，那么g～f；（3）傳遞性：如果f～g，g～h，那么f～h。

經(jīng)過簡(jiǎn)單的證明可知，上述的共軛關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，在“層先法”還原魔方中的第二層充分應(yīng)用到了共軛的概念。

3.換位子

在群論中，換位子是描述元素交換性的概念，看似和還原魔方?jīng)]有一點(diǎn)關(guān)系，但是在第三層還原中，由于前兩層已經(jīng)是還原狀態(tài)，為了盡可能地保持原有的狀態(tài)，換位子恰恰起到了化繁為簡(jiǎn)的作用。

定義10，對(duì) f，g∈G，記 ，稱為f和g的換位子。

對(duì) f，g，h∈G，有

，即換位子的

共軛元仍是換位子。

可以在實(shí)際魔方還原中驗(yàn)證換位子的重要性。下面根據(jù)以上提供的性質(zhì)，給出一種魔方復(fù)原的方法。

三 魔方復(fù)原

第一步：選擇最喜歡的一種顏色作為底面，這里給出魔方的配色為：白色對(duì)黃色，紅色對(duì)橙色，藍(lán)色對(duì)綠色，選擇白色作為底面，目標(biāo)：白色十字，且每個(gè)側(cè)面的邊塊和中心塊是同色的。

先選擇黃色面，做一個(gè)中心為黃色，邊塊為白色的“小花”，接著把四個(gè)小邊塊逐一對(duì)好側(cè)面顏色，向下翻轉(zhuǎn)180°。

第二步：還原白色底面和各個(gè)側(cè)面的T字形。

這一步只要把白色小塊放到側(cè)面位置，將白色小塊相鄰的顏色放到其中心塊所在的同一面，再用一個(gè)換位子就可以還原白色底面，并且各面T字形狀也就隨之出來了。公式為R’D’R D（見圖2）。

第三步：還原第二層。

把白色面轉(zhuǎn)向下，下面以紅綠面為例，找到紅綠邊塊，按如下公式進(jìn)行還原。（1）U R U’R’U’F’U F；（2）U’F’U F U R U’R’（見圖3）。

第四步：還原頂層為黃色十字。

在第二步還原后，黃色面會(huì)出現(xiàn)三種情況：（1）只有中心塊為黃色；（2）頂層黃色小面構(gòu)成小V形狀；（3）黃色構(gòu)成一字形，這三種情況只需要一個(gè)公式反復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)就可以做到黃色十字。F R U R’U’F’（見圖4）。

第五步：還原黃色面。

黃色十字做成以后會(huì)出現(xiàn)四種情況，F(xiàn) U’ F’U’F U U F’（見圖5）。R U’R’U’R U’U’R’（見圖6）。

以下四種情況按照二后四左的擺放，即剩下兩個(gè)黃色小塊擺放時(shí)最遠(yuǎn)離我們的黃色面朝左后方，四個(gè)黃色塊時(shí)最遠(yuǎn)離的黃色面朝左，接著按照上面的任意公式就可得到上述兩種情況（見圖7）。

第六步：將最后的邊塊歸位。

如果頂層各面的兩個(gè)角塊不相同，將黃色面對(duì)著自己，用下面公式就可以使得某一個(gè)面的兩個(gè)頂層角塊顏色相同，重復(fù)這個(gè)公式可以出現(xiàn)各面顏色和位置都對(duì)的角，R2 D2 R’U’R D2 R’U R’之后會(huì)出現(xiàn)四種情況（見圖8、圖9、圖10）。

R U’R U R U R U’R’U2 R2（見圖8）。重復(fù)兩次上述公式（見圖8）。M2 U M2 U2 M2 U M2（見圖9）。U R’U’R U’R U R U’R’U R U R2 U’R’U（見圖10）。

以上不是最快的魔方還原方法，但只要多加練習(xí)也會(huì)在一分鐘之內(nèi)還原任意打亂的魔方。

四 魔方未解決的問題

雖然“上帝之?dāng)?shù)”已經(jīng)得到解決，任意魔方均可在二十步還原，但還存在以下問題：（1）一個(gè)三階魔方恰好在20步還原的起始狀態(tài)具體有多少種排列組合？（2）一個(gè)三階魔方恰好在N（0

參考文獻(xiàn)

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〔責(zé)任編輯：范可〕