基于多目標優化設計的主動約束層阻尼板振動控制研究

張東東，鄭 玲

（重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶，400030）

主動約束層阻尼(Active Constrained Layer Damping，ACLD)技術已被證明是一種有效的減振降噪技術[1-3]，它結合了傳統的約束層阻尼技術和主動振動控制的優點，在較寬的頻段范圍內都能夠很好地抑制結構的振動噪聲。ACLD采用離散結構時，其布置位置對抑制結構振動具有重要的影響。對ACLD的位置進行優化設計，可以保證在主動控制失效時，仍然有較好的減振降噪效果[4]。目前，采用ACLD技術對結構進行主動振動控制時，對ACLD襯片布置位置的選擇多是基于某一單一的性能指標[5-7]。但在工程應用中，ACLD的配置優化問題多為多目標優化問題，要求能夠同時有效抑制若干階模態的振動，且考慮到實際的條件限制，還要求有備選方案。因此，研究基于ACLD襯片多目標優化問題的結構振動控制，是十分必要的。

本文首先基于局部覆蓋ACLD片體的懸臂板有限元動力學模型，建立了多目標優化設計模型。然后采用改進的NSGA-II算法對4片ACLD襯片的布置位置進行了多目標優化設計研究，確定了基于Pareto最優解理論的ACLD襯片的布置方案。最后選取3組ACLD襯片的布置方案，基于FxLMS算法設計了前饋控制器，研究了在同一外擾激勵下，采用不同的ACLD配置方案時，結構的振動控制效果。

1 ACLD板結構的多目標優化模型

1.1 狀態空間模型

采用能量法和Hmilton原理，以及粘彈性材料的GHM模型[8]，建立了部分覆蓋ACLD板結構的有限元動力學模型[9]，將其寫為狀態空間形式。

式中，fd為外激勵向量；fc為控制電壓；A為系統矩陣；Bd為外激勵輸入矩陣；Bc為控制力輸入矩陣；C為輸出矩陣；X為狀態變量；Y為輸出變量。

對系統矩陣A求解特征值，其特征值為一系列的共軛復數對，ri=αi±jβi，這里，可定義模態損耗因子為

1.2 多目標優化設計模型

2 改進的NSGA-II算法

2.1 NSGA-II算法

NSGA-II是一種基于Pareto方法的多目標進化算法。該算法是Deb[10]等人在非支配排序算法（Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA）的基礎上改進得到的。由于NSGA-II算法具有算法簡單、收斂速度較快和魯棒性較強的特點，已經成為多目標優化算法的基準算法之一。其基本流程圖如圖1所示。

2.2 對NSGA-II的改進

本文采用全新的能夠處理整形變量的Laplace交叉算子和冪變異算子，對NSGA-II算法進行改進。

2.2.1 Laplace交叉算子

此時，對于子代中第2對變量的取值范圍已經發生了改變，更新為

然后，對第2對變量執行交叉算子，得到

類似地進行操作，直到父代中的每對變量執行完交叉操作，得到新的子代個體。

2.2.2 冪變異算子

變異后新個體的表達式為

3 FxLMS控制算法

FxLMS算法是一種易于實現的主動振動前饋控制算法，圖2是該算法用于振動主動控制時的原理圖。被控對象的控制輸出為

濾波器和自適應算法是FxLMS控制器的兩個核心組成部分。文中采用了橫向濾波器（FIR），其基本原理如圖3所示，其輸出即為控制器輸出

式中，L為濾波器長度。濾波器的權向量w(k)采用LMS自適應算法進行更新。

式中，m為步長。

4 數值算例

以部分覆蓋ACLD的懸臂板為研究對象，如圖4所示，ACLD板由基層的鋁板、粘彈性層的ZN-1型粘彈材料以及約束層的P-5H壓電陶瓷組成。各層板的材料參數見表1。約束阻尼板一端約束，形成懸臂板，左端為約束端，將其單元劃分4×8個單元，則單元的優化布置區間為[1，32]，單元編號如圖4所示。在下述的優化過程中，選取布置4片ACLD襯片。

表1 材料參數

以上述的懸臂板的前兩階損耗因子最大化為優化目標，采用改進后的NSGA-II算法對ACLD襯片的位置多目標優化計算。設置合適的遺傳算法參數，達到最大進化代數時結束程序。各個目標的進化歷程如圖5所示，可以看出大約進化10代左右，各個目標的最大值已經收斂。圖5是得到的Pareto前沿，對應的9組ACLD襯片的優化配置方案，即Pareto最優解集，見表2。由圖6可知，Pareto前沿近似為一條曲線，但比較分散，這是由于設計變量為一離散的整數空間而導致的。從Pareto最優解集中，挑選4組ACLD的配置，進行振動響應分析，如圖7所示。可以看出，采用配置1時，第1階響應最小，但第2階的響應最大；采用配置9時，則反之。采用配置3和7時，第1階振動響應相對于配置9分別下降了5.6 dB和1.9 dB，第2階振動響應相對于配置1分別下降了6.2 dB和8.8 dB。與配置1和9相比時，配置3和7則能夠同時對前兩階的振動響應都具有較好的抑制，其中配置3的控制效果更好。

表2 兩目標優化時的Pareto解集及對應的目標函數值

分別選取ACLD襯片的配置1、3和9，基于FxLMS控制算法，建立懸臂板的SISO振動控制系統。此時，ACLD襯片作為作動器，激勵點和響應點如圖4中的點E。保持FxLMS控制器中橫向濾波器的長度L以及步長μ不變，同時，限制控制電壓為 100 V，在外激勵為 0.1sin(2πf1t)+0.1sin(2πf2t)的激勵下，（f1和f2分別為懸臂板結構的第1、2階模態頻率），懸臂板結構控制前后的響應曲線如圖8所示。懸臂板第1階模態的振動能量較第2階模態的振動能量大，在同樣的激勵下，第1階振動響應就比較大。此外，配置9對第1階的振動抑制較弱，因此，采用優化配置9時，未控制的振動響應大于優化配置1和3。在同樣的控制器參數和控制能量下，配置9的振動響應趨于發散，配置1和配置3都能夠有效抑制結構的振動，振動響應分別由2.05 mm和2.14 mm衰減到0.25 mm和接近于0 mm。圖9是ACLD不同襯片下的振動響應的頻域圖。在未施加控制時，頻響曲線與圖7的結果有同樣的趨勢。配置3對第1階和第2階振動響應都能夠很好地抑制，配置1則對第1階振動響應更有效。由此可以看出，采用多目標優化算法，對振動被動控制時的ACLD襯片配置進行優化，并基于此設計振動主動控制器對結構進行主動振動控制時，都能夠有效地衰減懸臂板的前兩階振動響應，保證了ACLD技術用于主被動模式時都具有較好的振動抑制效果。

5 結論

本文基于主動約束層阻尼結構的有限元動力學模型，采用改進的NGSA-II算法對ACLD襯片進行了多目標優化設計，并基于優化設計的結果設計了FxLMS前饋控制器，對結構的振動抑制情況進行了仿真分析和研究。結果表明，當ACLD結構工作于被動模式時，采用多目標優化算法得到的ACLD配置能夠同時對結構的前兩階振動響應進行較好的抑制；工作于主動模式時，基于優化的ACLD配置設計的控制系統，具有更好的振動抑制效果，這就保證了ACLD技術用于主被動模式時都具有較好的振動抑制效果。

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