巖土工程數值模擬方法的發展

摘要：隨著計算機的發展及其巖土工程領域應用的不斷深入，巖土工程數值模擬方法得到了空前的發展。本文對目前巖土工程數值模擬方法進行了簡要的介紹和評價，可供相關人員在巖土工程數值模擬方法時參考。

關鍵詞：巖土工程 數值模擬有限差分有限元邊界 元離散 元無界元

1.引言

近幾十年來，隨著計算機應用的發展，數值計算方法在巖土工程問題分析中迅速得到了廣泛應用，大大推動了巖土（體）力學的發展。在巖土（體）力學中所用的數值方法主要有以下幾種：有限差分法、有限元法、邊界元法、加權余量法、半解析元法、剛體元法、非連續變形分析法、離散元法、無界元法和流形元法等。下面就對這些方法進行簡要的介紹和分析。

2.有限差分法

有限差分法是一種比較古老且應用較廣的一種數值方法。它的基本思想是將待解決問題的基本方程和邊界條件近似地用差分方程來表示，這樣就把求解微分方程的問題轉化為求解代數方程的問題。亦即它將實際的物理過程在時間和空間上離散，分解成有限數量的有限差分量，近似假設這些差分量足夠小，以致在差分量的變化范圍內物體的性能和物理過程都是均勻的，并且可以用來描述物理現象的定律，只是在差分量之間發生階躍式變化。有限差分法的原理是將實際連續的物理過程離散化，近似地置換成一連串的階躍過程，用函數在一些特定點的有限差商代替微商，建立與原微分方程相應的差分方程，從而將微分方程轉化為一組代數方程，通常采用“顯式”時間步進方法來求解代數方程組。

3.有限單元法

有限元法將連續的求解域離散為有限數量單元的組合體，解析地模擬或逼近求解區域。由于單元能按各種不同的聯結方式組合在一起，且單元本身又可有不同的幾何形狀，所以可以適應各種復雜幾何形狀的求解域。它的原理是利用每個單元內假設的近似函數來表示求解區域上待求的未知場函數，單元內的近似函數由未知場函數在各個單元節點上的數值以及插值函數表達。這就使未知場函數的節點值成為新未知量，把一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。只要解出節點未知量，便可以確定單元組合體上的場函數，隨著單元數目的增加，近似解收斂于精確解。按所選未知量的類型，有限元法可分為位移型、平衡型和混合型有限元法。位移型有限元法在計算機上更易實現，且易推廣到非線性和動力效應等方面，故比其他類型的有限元法應用廣泛。

4.邊界元法

邊界元法出現在20 世紀60 年代，是一種求解邊值問題的數值方法。它是以Betti 互等定理為基礎，有直接法與間接法兩種。直接邊界元法是以互等定理為基礎建立起來的，而間接邊界元法是以疊加原理為基礎建立起來的。邊界元法原理是把邊值問題歸結為求解邊界積分方程的問題，在邊界上劃分單元，求邊界積分方程的數值解，進而求出區域內任意點的場變量，故又稱為邊界積分方程法。邊界元法只需對邊界進行離散和積分，與有限元法相比，具有降低維數、輸入數據較簡單、計算工作量少、精度高等優點。比較適合于在無限域或半無限域問題的求解，尤其是等效均質圍巖地下工程問題。邊界元法的基本解本身就有奇異性，可以比較方便地處理所謂奇異性問題，故目前邊界元法得到研究人員的青睞。

5.加權余量法

加權余量法也是一種求解微分方程的數值法，它在流體力學、熱傳導以及化學工程等方面應用較廣。它具有兩個方面的優點：①由于加權余量法是直接從控制方程出發去求解問題，理論簡單，不需要復雜的數學處理，且它的應用與問題的能量泛函是否存在無關，因而它的應用范圍較廣，利用加權余量法這一優點去建立有限單元的剛度矩陣，可以大大擴展有限元法的應用范圍；②加權余量法的計算程序簡單，要求解的代數方程組階數較低，對計算機內存容量要求不高，計算所需要的原始數據較少，這樣就大大減輕了準備工作量。

6.半解析元法

半解析元法是Y. K. Cheung 于1968 年提出來的，同有限元法一樣，它也是基于變分原理的。不同點是半解析元法根據結構的類型和特點，利用部分已有的解析結果，選擇一定的位移函數，使解沿某些方向直接引入已知解析函數系列，而不再離散為數值計算點，因此自由度和計算量大大降低。這幾年半解析法發展很快，種類很多，主要包括有限條法、有限層法、有限厚條法、有限殼條法、樣條有限元法以及無限元法等。這類方法適用于求解高維、無限域及動力場等較復雜的問題。

7.無界元法

無界元法是P. Bettess 于1977 年提出來的，用于解決用有限元法求解無限域問題時，人們常會遇到的“計算范圍和邊界條件不易確定”的問題，是有限元法的推廣。其基本思想是適當地選取形函數和位移函數，使得當局部坐標趨近于1 時，整體坐標趨于無窮大而位移為零，從而滿足計算范圍無限大和無限遠處位移為零的條件。它與有限元法等數值方法耦合對于解決巖土（體）力學問題也是一種有效方法。上述介紹的幾種數值法都是針對連續介質的，只能獲得某一荷載或邊界條件下的穩定解。

8.離散單元法

離散單元法隨著非連續巖石力學的發展而不斷進步，與現有的連續介質力學方法相比，還有以下問題需要研究：

（1）剛體離散單元法是基于非連續巖石力學的，更適合于低應力狀態下具有明顯發育構造面的堅硬巖體的變形失穩分析。對于軟弱破碎、節理裂隙非常發育和高應力狀態下的巖體變形失穩分析，則不適合。

（2）巖體介質種類繁多，性質非常復雜。在通常情況下，節理巖體或顆粒體表現為非均質和各向異性，并且常表現有很強的非線性，所處的地質環境不盡相同，這就使得巖土工程計算有很多不確定性因素。離散元的主要計算參數（如阻尼參數、剛度系數），影響到巖土工程穩定過程的正確模擬以及最終結果的可靠性，尤其是離散元計算中的參數選取，沒有統一和完善的確定方法。

（3）計算時步的確定。現在的選取原則是出于滿足數學方程趨于收斂的條件，與實際工程問題中的“時間”概念如何聯系起來，合理地考慮時間效應，是今后需要研究的問題。

（4）迭代運算的時間較長。用計算機進行離散元計算時，CPU 占用時間較多，特別是在考慮巖塊變形的情況下，模型劃分單元數受到限制，對迭代方法需做進一步的改進。

9.剛體節理元法

剛體節理元法是Asai 在1981 年提出的，它是在Cundall 剛體離散元間夾有Goodman 節理單元的組合單元，但此節理單元有一定厚度而使離散元間不能“疊合”。剛體節理元法也可考慮不含節理單元的情況，即所謂的單一三角形剛體元非連續變形分析法，是石根華博士和古德曼教授于1984 年首次提出的一種新型數值分析方法，至1988 年該方法已形成了一種較為完整的數值計算方法體系。非連續變形分析方法以嚴格遵循經典力學規則為基礎，是一種平行于有限元法的數值計算方法。

10.流形元方法

流形元方法是由石根華等人于1992 年提出的一種新的數值分析方法。流行元法的原理是以拓撲學中的拓撲流形和微分流形為基礎，在分析城內建立可相互重疊、相交的數學覆蓋和覆蓋材料全域的物理覆蓋，在每一物理覆蓋上建立獨立的位移函數，將所有覆蓋上的獨立覆蓋函數加權求和，即可得到總體位移函數。然后，根據總勢能最小原理，建立可以用于處理包括非連續和連續介質的耦合問題、小變形、大變形等多種問題。它是一種具有一般形式的通用數值模擬分析方法，在某種意義上講，有限元法和非連續變形分析法都可看做是它的特例。