巖土工程數(shù)值模擬方法的發(fā)展

摘要：隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展及其巖土工程領(lǐng)域應(yīng)用的不斷深入，巖土工程數(shù)值模擬方法得到了空前的發(fā)展。本文對(duì)目前巖土工程數(shù)值模擬方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要的介紹和評(píng)價(jià)，可供相關(guān)人員在巖土工程數(shù)值模擬方法時(shí)參考。

關(guān)鍵詞：巖土工程 數(shù)值模擬有限差分有限元邊界 元離散 元無界元

1.引言

近幾十年來，隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法在巖土工程問題分析中迅速得到了廣泛應(yīng)用，大大推動(dòng)了巖土（體）力學(xué)的發(fā)展。在巖土（體）力學(xué)中所用的數(shù)值方法主要有以下幾種：有限差分法、有限元法、邊界元法、加權(quán)余量法、半解析元法、剛體元法、非連續(xù)變形分析法、離散元法、無界元法和流形元法等。下面就對(duì)這些方法進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹和分析。

2.有限差分法

有限差分法是一種比較古老且應(yīng)用較廣的一種數(shù)值方法。它的基本思想是將待解決問題的基本方程和邊界條件近似地用差分方程來表示，這樣就把求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問題。亦即它將實(shí)際的物理過程在時(shí)間和空間上離散，分解成有限數(shù)量的有限差分量，近似假設(shè)這些差分量足夠小，以致在差分量的變化范圍內(nèi)物體的性能和物理過程都是均勻的，并且可以用來描述物理現(xiàn)象的定律，只是在差分量之間發(fā)生階躍式變化。有限差分法的原理是將實(shí)際連續(xù)的物理過程離散化，近似地置換成一連串的階躍過程，用函數(shù)在一些特定點(diǎn)的有限差商代替微商，建立與原微分方程相應(yīng)的差分方程，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為一組代數(shù)方程，通常采用“顯式”時(shí)間步進(jìn)方法來求解代數(shù)方程組。

3.有限單元法

有限元法將連續(xù)的求解域離散為有限數(shù)量單元的組合體，解析地模擬或逼近求解區(qū)域。由于單元能按各種不同的聯(lián)結(jié)方式組合在一起，且單元本身又可有不同的幾何形狀，所以可以適應(yīng)各種復(fù)雜幾何形狀的求解域。它的原理是利用每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來表示求解區(qū)域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場(chǎng)函數(shù)在各個(gè)單元節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值以及插值函數(shù)表達(dá)。這就使未知場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值成為新未知量，把一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。只要解出節(jié)點(diǎn)未知量，便可以確定單元組合體上的場(chǎng)函數(shù)，隨著單元數(shù)目的增加，近似解收斂于精確解。按所選未知量的類型，有限元法可分為位移型、平衡型和混合型有限元法。位移型有限元法在計(jì)算機(jī)上更易實(shí)現(xiàn)，且易推廣到非線性和動(dòng)力效應(yīng)等方面，故比其他類型的有限元法應(yīng)用廣泛。

4.邊界元法

邊界元法出現(xiàn)在20 世紀(jì)60 年代，是一種求解邊值問題的數(shù)值方法。它是以Betti 互等定理為基礎(chǔ)，有直接法與間接法兩種。直接邊界元法是以互等定理為基礎(chǔ)建立起來的，而間接邊界元法是以疊加原理為基礎(chǔ)建立起來的。邊界元法原理是把邊值問題歸結(jié)為求解邊界積分方程的問題，在邊界上劃分單元，求邊界積分方程的數(shù)值解，進(jìn)而求出區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的場(chǎng)變量，故又稱為邊界積分方程法。邊界元法只需對(duì)邊界進(jìn)行離散和積分，與有限元法相比，具有降低維數(shù)、輸入數(shù)據(jù)較簡(jiǎn)單、計(jì)算工作量少、精度高等優(yōu)點(diǎn)。比較適合于在無限域或半無限域問題的求解，尤其是等效均質(zhì)圍巖地下工程問題。邊界元法的基本解本身就有奇異性，可以比較方便地處理所謂奇異性問題，故目前邊界元法得到研究人員的青睞。

5.加權(quán)余量法

加權(quán)余量法也是一種求解微分方程的數(shù)值法，它在流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)以及化學(xué)工程等方面應(yīng)用較廣。它具有兩個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn)：①由于加權(quán)余量法是直接從控制方程出發(fā)去求解問題，理論簡(jiǎn)單，不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)處理，且它的應(yīng)用與問題的能量泛函是否存在無關(guān)，因而它的應(yīng)用范圍較廣，利用加權(quán)余量法這一優(yōu)點(diǎn)去建立有限單元的剛度矩陣，可以大大擴(kuò)展有限元法的應(yīng)用范圍；②加權(quán)余量法的計(jì)算程序簡(jiǎn)單，要求解的代數(shù)方程組階數(shù)較低，對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量要求不高，計(jì)算所需要的原始數(shù)據(jù)較少，這樣就大大減輕了準(zhǔn)備工作量。

6.半解析元法

半解析元法是Y. K. Cheung 于1968 年提出來的，同有限元法一樣，它也是基于變分原理的。不同點(diǎn)是半解析元法根據(jù)結(jié)構(gòu)的類型和特點(diǎn)，利用部分已有的解析結(jié)果，選擇一定的位移函數(shù)，使解沿某些方向直接引入已知解析函數(shù)系列，而不再離散為數(shù)值計(jì)算點(diǎn)，因此自由度和計(jì)算量大大降低。這幾年半解析法發(fā)展很快，種類很多，主要包括有限條法、有限層法、有限厚條法、有限殼條法、樣條有限元法以及無限元法等。這類方法適用于求解高維、無限域及動(dòng)力場(chǎng)等較復(fù)雜的問題。

7.無界元法

無界元法是P. Bettess 于1977 年提出來的，用于解決用有限元法求解無限域問題時(shí)，人們常會(huì)遇到的“計(jì)算范圍和邊界條件不易確定”的問題，是有限元法的推廣。其基本思想是適當(dāng)?shù)剡x取形函數(shù)和位移函數(shù)，使得當(dāng)局部坐標(biāo)趨近于1 時(shí)，整體坐標(biāo)趨于無窮大而位移為零，從而滿足計(jì)算范圍無限大和無限遠(yuǎn)處位移為零的條件。它與有限元法等數(shù)值方法耦合對(duì)于解決巖土（體）力學(xué)問題也是一種有效方法。上述介紹的幾種數(shù)值法都是針對(duì)連續(xù)介質(zhì)的，只能獲得某一荷載或邊界條件下的穩(wěn)定解。

8.離散單元法

離散單元法隨著非連續(xù)巖石力學(xué)的發(fā)展而不斷進(jìn)步，與現(xiàn)有的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法相比，還有以下問題需要研究：

（1）剛體離散單元法是基于非連續(xù)巖石力學(xué)的，更適合于低應(yīng)力狀態(tài)下具有明顯發(fā)育構(gòu)造面的堅(jiān)硬巖體的變形失穩(wěn)分析。對(duì)于軟弱破碎、節(jié)理裂隙非常發(fā)育和高應(yīng)力狀態(tài)下的巖體變形失穩(wěn)分析，則不適合。

（2）巖體介質(zhì)種類繁多，性質(zhì)非常復(fù)雜。在通常情況下，節(jié)理巖體或顆粒體表現(xiàn)為非均質(zhì)和各向異性，并且常表現(xiàn)有很強(qiáng)的非線性，所處的地質(zhì)環(huán)境不盡相同，這就使得巖土工程計(jì)算有很多不確定性因素。離散元的主要計(jì)算參數(shù)（如阻尼參數(shù)、剛度系數(shù)），影響到巖土工程穩(wěn)定過程的正確模擬以及最終結(jié)果的可靠性，尤其是離散元計(jì)算中的參數(shù)選取，沒有統(tǒng)一和完善的確定方法。

（3）計(jì)算時(shí)步的確定。現(xiàn)在的選取原則是出于滿足數(shù)學(xué)方程趨于收斂的條件，與實(shí)際工程問題中的“時(shí)間”概念如何聯(lián)系起來，合理地考慮時(shí)間效應(yīng)，是今后需要研究的問題。

（4）迭代運(yùn)算的時(shí)間較長(zhǎng)。用計(jì)算機(jī)進(jìn)行離散元計(jì)算時(shí)，CPU 占用時(shí)間較多，特別是在考慮巖塊變形的情況下，模型劃分單元數(shù)受到限制，對(duì)迭代方法需做進(jìn)一步的改進(jìn)。

9.剛體節(jié)理元法

剛體節(jié)理元法是Asai 在1981 年提出的，它是在Cundall 剛體離散元間夾有Goodman 節(jié)理單元的組合單元，但此節(jié)理單元有一定厚度而使離散元間不能“疊合”。剛體節(jié)理元法也可考慮不含節(jié)理單元的情況，即所謂的單一三角形剛體元非連續(xù)變形分析法，是石根華博士和古德曼教授于1984 年首次提出的一種新型數(shù)值分析方法，至1988 年該方法已形成了一種較為完整的數(shù)值計(jì)算方法體系。非連續(xù)變形分析方法以嚴(yán)格遵循經(jīng)典力學(xué)規(guī)則為基礎(chǔ)，是一種平行于有限元法的數(shù)值計(jì)算方法。

10.流形元方法

流形元方法是由石根華等人于1992 年提出的一種新的數(shù)值分析方法。流行元法的原理是以拓?fù)鋵W(xué)中的拓?fù)淞餍魏臀⒎至餍螢榛A(chǔ)，在分析城內(nèi)建立可相互重疊、相交的數(shù)學(xué)覆蓋和覆蓋材料全域的物理覆蓋，在每一物理覆蓋上建立獨(dú)立的位移函數(shù)，將所有覆蓋上的獨(dú)立覆蓋函數(shù)加權(quán)求和，即可得到總體位移函數(shù)。然后，根據(jù)總勢(shì)能最小原理，建立可以用于處理包括非連續(xù)和連續(xù)介質(zhì)的耦合問題、小變形、大變形等多種問題。它是一種具有一般形式的通用數(shù)值模擬分析方法，在某種意義上講，有限元法和非連續(xù)變形分析法都可看做是它的特例。