由三角形內接正方形面積問題引發的思考

在初中數學相似圖形的學習中，經常會出現求三角形內接正方形邊長問題，通常的方法是利用相似三角形相似比等于對應高的比來解決，但由于三角形的不同，所以采用內接方式也不同，得到的邊長也不盡相同，所對應的正方形面積也不一樣，比如：如何才能使內接正方形面積最大？一般的方法是分情況逐一計算、比較，但這里有無規律可循，結合我多年的教學積累，本文就此作一個粗淺的探討.

一、特殊三角形直角三角形內接正方形邊長問題

情形1：（如圖1）當正方形一邊落在直角邊上，設正方形邊長DE為x，則借助三角形相似有：=，∴AD=x，∴CD=b-x，∴b-x=x，∴x=或=，∴BF=x，∴CF=a-x，∴a-x=x，∴x=.

由此得出結論1：直角三角形內接正方形無論正方形一邊落在哪條直角邊上，邊長均相等.

情形2：（如圖2）當正方形一邊落在斜邊上，設正方形邊長MN為y，斜邊AB邊上的高CD為h，則=.∴hy=ch-cy，又h=，∴y=，故x-y=-=-= abc（-），而c（a+b）-（ab+c2）=ac+bc-ab-c2 =（a-c）（c-b）.

由直角三角形斜邊c最長，（a-c）·（c-b）<0，∴x>y第一種內接正方形面積大于第二種內接正方形面積.

由此得出結論2：直角三角形內接正方形中，當正方形的一邊落在直角邊上時，正方形面積最大.

二、銳角三角形內接正方形邊長問題

由于此種情形內接方式有三種，為了便于說明，不妨設三邊關系為：a>b>c.

（如圖3）設此內接正方形的邊長DE=x，BC邊上的高AH=h1由相似得：

∴=，∴（a+h1）x=ah1，

∴x=.

設ah1=2s，∴x=.

同理：（如圖4） ∴y=，

（如圖5）∴ z=.

故x-y=-=（-）2s=（-）.再∵a+-（b+）=（a-b）+（-）2s=（a-b）+·2s=（a-b）（1-）=（a-b）（）.

由正弦面積公式得：S=absinC.

∵a+-（b+）=（a-b）（）=（a-b）（1-sinC）.由a>b，sinC<1得：∴a+-（b+）>0，∴xy<0，∴x

同理：y

由此得出結論3：銳角三角形內接正方形中，當正方形一邊落在銳角三角形最短邊時，此時內接正方形面積最大.

三、鈍角三角形內接正方形邊長問題

鈍角三角形內接正方形只有正方形一邊落在斜邊上一種情況，邊長的求法可仿照銳角三角形內接正方形邊長的方法，這里不再累述.

綜上所述，涉及三角形內接正方形面積何時最大問題，需分類考慮的是直角三角形和銳角三角形，其共同規律是當正方形一邊落在這兩種三角形最短邊時，此時內接正方形面積最大.至此三角形內接正方形面積最大問題得到完全解決.

四、應用舉例

1.如下圖，大正方形中有2個小正方形，如果它們的面積分別是S1、S2，那么S1、S2的大小關系是（ ）.

A. S1>S2

B. S1=S2

C. S1

D. S1、S2的大小關系不確定

分析：此題不難看出是同一個直角三角形內接正方形兩種不同情況，根據結論2不難選出正確答案C.

2. 現有一塊銳角三角形余料，經測量三邊長分別為12cm，15cm，17cm，現將它裁剪成一個最大的正方形材料備用，則這個正方形材料的邊長是____________cm.

分析：這道題通常得分三種情況討論，但根據上面的結論3，只需求出正方形一邊放在較短邊的那種情況即可，過程請讀者自行完成.

3.如下圖，等腰直角△ABC腰長為a，現分別按圖1，圖2方式在△ABC內內接一個正方形ADFE和正方形PMNQ.設△ABC的面積為S，正方形ADFE的面積為S1，正方形PMNQ的面積為S2.試比較S1+S2與S的大小.

分析：此題是湖南西州的一道中考題，不難看出它脫胎出于直角三角形內接正方形的兩種情況，借助結論1：x+求出圖1的邊長，y+求出圖2的邊長，從而求出S1、S2的大小，從而輕松得出S1+S2與S的大小關系：S1+S2

反觀三角形內接正方形面積最大問題的解決，引發我深深的思考：解題只是學好數學的必要條件.但如何解好題 ，更重要的是通過探究、挖掘問題本身所蘊含內在規律，它能使學生從浩然無際的題海中解放出來，能透過現象看到本質，學會了解題方法和技巧，也使教師在教學中擺脫了僅僅是就題論題這種狀況，從而達到了授之以“漁”而不是比授之以“魚”的效果.