遺傳算法在衛星發動機安裝調整優化中的應用研究

（中國空間技術研究院，北京 100094）

1 引言

衛星發動機是衛星變軌的主要設備，發動機安裝在與衛星中心承力筒相連的發動機支架上，其理論推力方向與衛星機械坐標系的Z軸相同。由于發動機推力矢量偏差（即發動機實際推力方向和作用點與理論值存在偏差）及衛星質心與機械坐標系原點不重合等因素的影響，導致發動機推力偏斜，在發動機工作時會存在干擾力矩。為減小或避免干擾力矩，發動機在安裝時，會有調整環節，即通過確定安裝參數來調整發動機的實際推力方向和作用點。

目前，衛星僅根據發動機推力矢量實際參數來確定發動機安裝參數，未考慮衛星質心對干擾力矩的影響，也未考慮調整過程中的幾何限制問題［1］。這樣就存在實際干擾力矩不是最小的情況，甚至可能出現發動機調整后比調整前的干擾力矩更大的極端情況；同時，在某些情況下，設定的發動機安裝參數可能會因為發動機安裝時的物理限制而無法實現。

本文首先介紹了發動機安裝調整模型，其次分析了發動機安裝優化命題的數學表述，最后給出了一個遺傳算法應用的優化示例。在確定發動機安裝參數時，綜合考慮了發動機推力矢量參數、衛星質心和發動機安裝相關的空間幾何約束等3方面因素。這些約束多為非線性約束，一般的優化算法較難解決此類問題，所以本文選擇遺傳算法來解決這一優化問題。

2 發動機安裝調整模型

2.1 發動機安裝簡介

發動機與衛星之間通過發動機支架連接，如圖1所示。發動機通過發動機安裝法蘭上的3個安裝孔與發動機支架相連。發動機安裝法蘭上的3個安裝孔的孔徑（即圖1中的D）大于安裝螺釘的外徑（即圖1中的d），這就使得發動機的安裝有了調整能力，可以通過圖1所示的9來調節發動機的安裝參數。

圖1 發動機安裝示意圖Fig.1 Sketch map of orbit-control engine installation

2.2 發動機調整

2.2.1 發動機調整相關坐標系

發動機的調整，牽涉到的坐標系有衛星機械坐標系OscXscYscZsc和發動機安裝坐標系OnXnYnZn以及發動機坐標系OXYZ，3個坐標系之間的關系如圖2所示。其中，發動機安裝坐標系相對衛星機械坐標系固定，兩者之間僅在縱軸上有h的相對位移；發動機坐標系相對發動機安裝坐標系在空間上有旋轉和平移（即圖2中的M1、M2和M3）。為簡化計算過程，本文后面的平移、旋轉等操作均相對衛星機械坐標系；在描述發動機推力矢量參數時，使用發動機坐標系。

圖2 發動機安裝過程中各坐標系關系示意圖Fig.2 Relationship between several coordinates

2.2.2 發動機調整模型

發動機的理論推力方向與發動機的幾何軸線是重合的，即發動機未調整時，其理論推力主軸與衛星機械坐標系的OscZsc軸重合。實際上，發動機的推力方向與發動機的幾何軸線成一定角度，作用點也有偏移。這可以通過推力矢量參數來表示。

發動機推力矢量參數的示意如圖3所示。

圖3中，OXYZ為發動機坐標系，其它參數定義如下：

F—發動機推力，單位為N；

FZ—發動機推力F在OZ軸上的投影；

FXOY—發動機推力F在XOY面內的投影；

P—發動機推力作用點；

α—推力矢量偏斜角（簡稱偏斜角），發動機推力F與推力理論軸線OZ軸夾角，單位為（°）；

β—推力矢量橫移位置角（簡稱橫移位置角），OP與OX軸之間夾角，由發動機頂視方向逆時針為正，單位為（°）；

γ—推力矢量偏斜位置角（簡稱偏斜位置角），側向推力FXY與OX軸之間夾角，由發動機頂視方向逆時針為正，單位為（°）；

δ—推力矢量橫移量（簡稱橫移量），發動機推力作用點P到發動機坐標系原點O的距離，單位為mm。

圖3 發動機推力矢量參數在發動機坐標系中的示意Fig.3 Orbit-control engine’s thrust vector in engine coordinate system

為盡量減小干擾力矩，通常可通過在發動機和發動機支架之間安裝調整墊片的方式（即圖1中的9），來調整發動機推力作用點和方向，使推力方向逼近衛星機械坐標系的OscZsc。具體調整的原則如下：

不考慮橫移位置角和橫移量，僅考慮偏斜角和偏斜位置角，為保證調整后，發動機的推力方向與衛星機械坐標系的OscZsc軸的夾角小于某值，按如下方法設置發動機向衛星機械坐標系OscZsc軸調整的角度：當V1＜α≤V2時，調整角度為0.5α；當α＞V2時，調整角度為α-V2／2（α為發動機推力矢量偏斜角，V1和V2分別為調整角度參考值的下限和上限）。

上述調整方法，存在以下問題：

（1）未考慮橫移量等其它推力矢量參數，調整考慮的綜合因素不全；

（2）調整原則是將發動機推力方向盡量逼近衛星機械坐標系的OscZsc軸，不是逼近衛星質心所在的縱軸，這樣調整后，推力可能更偏離質心，干擾力矩反而加大；

（3）調整未考慮發動機和發動機支架之間機械接口的約束，可能設定的調整參數因為機械干涉而無法實現。

為解決上述問題，本文提出一種新的發動機安裝調整方法，計算過程如下：調整后的發動機推力作用點位置矢量為

式中：h為發動機安裝坐標系相對衛星機械坐標系在縱軸上的相對位移；M1、M2和M3為發動機坐標系相對發動機安裝坐標系在空間上的平移量；［p1p2p3］為發動機推力作用點位置矢量P在衛星機械坐標系下的空間位置；R為發動機調整后，發動機坐標系相對衛星機械坐標系的旋轉矩陣，如式（2）所示。

式中：α1，α2，α3分別為發動機坐標系繞衛星機械坐標系3個坐標軸的旋轉角度。

發動機推力為

式中：f1，f2，f3分別為發動機推力矢量在衛星機械坐標系3個坐標軸上的分量值；F0為發動機理論推力。

發動機干擾力矩為

式中：t1、t2、t3分別為繞衛星機械坐標系的OscXsc軸、OscYsc軸、OscZsc軸的干擾力矩分量，［xCyCzC］為衛星質心在衛星機械坐標系下的值。推力作用點和質心的單位為mm，推力的單位為N，干擾力矩單位為N·m。

3 發動機安裝優化命題的數學表述

3.1 優化模型建立

式（1）～（4）給出了一種新的發動機安裝調整參數與干擾力矩的關系。發動機安裝調整的目的是如何確定α1、α2、α3以及M1、M2、M3，使干擾力矩T最小。從式（1）～（4）看，該問題屬于非線性優化問題，可以利用遺傳算法求解。

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是以自然選擇和遺傳機制為理論基礎，將生物進化過程中適者生存規則與種群內部染色體的隨機信息交換機制相結合的一種高效的全局尋優搜索算法。遺傳算法主要應用在函數優化［2］、組合優化［3-4］、生產調度［5］等領域。遺傳算法除能處理線性問題的優化外，還能處理非線性問題的優化［6-7］。

按照遺傳算法解決問題的特點，確定優化問題的數學表達為

式中：minT（xi）即求取干擾力矩最小值，為目標函數；xi為變量值，對應α1，α2，α3和M1，M2，M36個變量；X對應6個變量的取值空間，即約束條件。

3.2 目標函數

發動機安裝優化的目的是使得變軌期間的干擾力矩最小。一般情況下，衛星最后一次變軌時的質心情況最為惡劣，干擾力矩也最大。所以，本文以最后一次變軌時的衛星質心作為計算的輸入，以最后一次變軌時的綜合干擾力矩，即繞衛星機械坐標系3個坐標軸的干擾力矩（式（6）中的t1，t2，t3）的平方根值最小作為優化的目標函數：

3.3 約束條件

發動機安裝的約束主要為幾何約束，下面結合發動機安裝情況進行分析。

結合圖1的發動機安裝方式和圖4所示的發動機安裝法蘭，可看出發動機安裝時，受到的幾何約束有：

（1）由于發動機支架相對衛星是固定的，而發動機與支架之間的安裝螺釘（即圖1中的7）也是固定的，所以發動機安裝法蘭上的安裝孔在旋轉、平移時不得超過安裝螺釘的約束；

（2）發動機安裝法蘭的上表面邊緣（即圖1中的4）不得高于發動機安裝支架下表面，發動機安裝法蘭上3個安裝孔的下表面圓周上任意一點在衛星機械坐標系下的Z坐標值不得低于安裝用墊圈（即圖1中的8）的上表面；

（3）發動機繞衛星機械坐標系的OscZsc軸旋轉角度不得過大（考慮發動機燃口與管路的空間位置關系）。

圖4為發動機安裝法蘭示意圖（圖4中，H1、H2、H3處指示的即為發動機安裝法蘭上的3個安裝孔）。

將發動機安裝受到的上述3個約束轉化為表達式見下文。

圖4 發動機安裝法蘭俯視圖Fig.4 Top view of orbit-control engine’s fixing flange

3.3.1 第1個約束條件的數學表述

第1個約束條件可表述為

式中：C′ix＿up和C′iy＿up，C′ix＿down和C′iy＿down分別為發動機調整后，發動機安裝法蘭上3個安裝孔的上表面、下表面的圓周上任意一點在衛星機械坐標系下的X、Y坐標值；Hix和Hiy分別為發動機調整前，發動機安裝法蘭上3個連接孔的中心在衛星機械坐標系下的X、Y坐標值；i＝1，2，3。

C′ix＿up、C′iy＿up、C′iz＿up和C′ix＿down、C′iy＿down、C′iz＿down的計算見式（8）。

式中：l為發動機安裝法蘭的厚度；C′iz＿up、C′iz＿down為發動機調整后，發動機安裝法蘭上3個安裝孔的上表面、下表面的圓周上任意一點在衛星機械坐標系下的Z坐標值；i＝1，2，3；κ∈［0°，360°）。

Hix和Hiy的計算見式（9）。

3.3.2 第2個約束條件的數學表述

第2個約束條件可表述為

式中：Zmax為發動機支架法蘭盤（即圖1中的6）下表面在衛星機械坐標系下的Z向坐標值；Z′min為安裝用墊圈（即圖1中的8）上表面在衛星機械坐標系下的Z向坐標值；Piz為發動機調整后，發動機安裝法蘭上6個凸耳的外緣在衛星機械坐標系下的Z坐標值，i＝1，2，…，6，其計算見式（11）。

式中：Pix和Piy分別為發動機調整后，發動機安裝法蘭上6個凸耳的外緣在衛星機械坐標系下的X、Y坐標值；ψi為發動機安裝法蘭上6個凸耳（見圖4）上任意一點相對坐標軸OX的張角；i＝1，2，…，6；j＝4，5，…，9。

3.3.3 第3個約束條件的數學表述

第3個約束條件可表述為

式中：φ為限制發動機不能繞衛星機械坐標系OscZsc軸旋轉過大的參數。

4 遺傳算法應用的實現及優化示例

4.1 遺傳算法應用的實現

第3節給出了約束優化問題的目標函數和約束條件，分別將目標函數（式（1）～（6））轉換為代碼，保存為Myfit函數；將約束條件（式（7）～（12））轉換為代碼，保存為Myconst函數（內部包含等式約束和不等式約束）。然后，利用Matlab軟件中的Gaoptimset函數設置種群規模和遺傳代數，終止條件可取默認值，使用GA 函數［8］運行程序，輸出干擾力矩最小時的發動機旋轉角α1，α2，α3和平移量M1，M2，M3。

在本問題中使用GA 函數進行尋優時，群規模和遺傳代數及終止條件對結果并不敏感。

4.2 優化示例

設定某臺發動機的偏斜角為0.25°，橫移位置角為282°，偏斜位置角為96°，橫移量為0.70 mm，衛星質心為［5mm，-5mm，1550mm］。若發動機不調整，干擾力矩平方和的均方根值為2.73N·m。若按照目前的調整方法（即2.2.2節所述），經過調整后得到的干擾力矩平方和的均方根值為3.74N·m，該值超過了調整前的結果，其原因在于未考慮衛星質心，所以會越調越偏。

其它相關參數不變，采用本文提出的優化方法，在Gaoptimset函數中，設置種群規模為20，遺傳代數為30，程序代碼為

options＝gaoptimset（＇populationsize＇，20，＇generation＇，30，＇plotfcns＇，｛＠gaplotbestf，＠gaplotbestindiv｝）；

［x，Tmin，flag，output，population，scores］＝ga（＠（x）myfit（x），6，［］，［］，［］，［］，［］，［］，＠（x）myconstr（x），options）

x為1×6的數組，即α1，α2，α3以及M1，M2，M3，Tmin即為發動機安裝優化的目標函數。

程序運行后，得到圖5所示結果。其中，圖5（a）為目標函數的優化過程，橫坐標為優化代數，縱坐標為目標函數值的優化結果，得到的最小干擾力矩值為5.87×10-4N·m，此時的發動機旋轉角和平移量見圖5（b）（其中變量1～6即為目標函數最小時的α1，α2，α3以及M1，M2，M3的值）。

圖5 發動機安裝參數優化Fig.5 Result of orbit-control engine installation parameters after being optimized

5 結束語

本文針對發動機安裝調整要求中考慮因素不全面的問題，提出一種綜合考慮全部因素的發動機調整方法，并將該方法利用遺傳算法進行了求解。相對目前的發動機調整方法來說，本文所提的方法有以下3點不同：

（1）考慮橫移位置角和橫移量后，增加平移調整環節；

（2）確定發動機調整角度時，不僅考慮了發動機推力矢量參數，而且綜合了衛星質心對干擾力矩的影響；

（3）發動機安裝參數的確定，考慮了發動機調整過程中的幾何約束問題。

通過對設定發動機參數的仿真，證明該方法比目前的方法更為科學，可更進一步減小衛星變軌期間的干擾力矩，從而節省衛星燃料，提高衛星在軌服務壽命。

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