選修4-2《矩陣與變換》與《高等代數》

田 瑩

（沈陽師范大學，遼寧 沈陽110034）

1 選修4-2《矩陣與變換》中矩陣的引入

對于高中生它們對于矩陣沒有接觸過，是一個新的概念，非常的陌生。

其引入過程如下：設直線l在平面α內，那么對與平面α內任意一點p，都存在平面α內唯一一點p'，使p'與p關于直線l對稱，我們稱這樣的對稱關系為平面α關于直線l的反射變換。進一步，如果在平面α內建立直角坐標系xoy，那么平面內的點與有序實數對（x，y）之間就建立了一一對應。這樣，我們又可以從代數的角度來研究反射變換，例如，關于x軸的反射變換，把平面α內的任意點p（x，y）變成它關于x軸的對稱點，p'（x'，y'）,對于坐標p（x，y）與p'（x'，y'）可以得到：

顯然，表達式①完全刻畫了關于x軸的反射變換，因此，也稱①為關于x軸的反射變換。

我們將反射變換①變形為：

由于②式由右端式子中x，y系數唯一確定，我們把它們按原來的順序寫出來，并在兩端分別加上一個括號，就得到正方形數表,正方形數表也完全刻畫了關于x軸的反射變換，我們把這種正方形數表稱為二階矩陣，這樣關于x軸的反射變換就可以有二階矩陣完全確定。事實上，在平面直角坐標系xoy內，很多兒何變換都具有下列形式：

其中系數a，b，c，d均為常數，我們把形如③的兒何變換叫做線性變換，③式叫做這個線性變換的坐標變換公式。我們引進正方形數表]，那么線性變換③可以由唯一確定。像這樣，由4個數a，b，c，d排成的正方形數表]稱為二階矩陣。

2 《高等代數》中矩陣的引入

《高等代數》由多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、λ-矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數與辛空間十個章節組成，是中學代數的繼續和提高，是大學數學專業的基礎課之一。在其中線性方程和矩陣一直貫穿始終。對于大學生的學習是在第一章多項式的鋪墊下，在第二章行列式中直接定義矩陣的符號。

對于二元線性方程組

當a11a22-a12a21≠0時，次方程組有唯一解，即

我們稱a11a22-a12a21為二級行列式，用符號表示為：

于是上述解可以用二級行列式敘述為：

當二級行列式

時，該方程組有唯一解，即

同理由三元線性方程組，定義了三級行列式。在其后，應用排列對矩陣的意義進一步對矩陣進行解釋。

n級行列式

等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

的代數和，這里j1，j2…jn是1,2，…，n的一個排列

接著就是學習對行列式的變形與展開，線性方程組的一些重要性質反映在它的系數矩陣和增廣矩陣的性質上，并且解方程組的過程也表現為變換這些矩陣的過程，除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反映為有關矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質完全不同的、表面上完全沒有聯系的問題，歸結成矩陣問題以后卻是相同的，這就使矩陣成為數學中一個極其重要的應用廣泛的概念。

［1］劉紹學.矩陣與變換[M].人民教育出版社.

［2］王鄂芳,石生明.高等代數[M].3版.高等教育出版社.