封閉曲線插值法

符 琳

（安徽理工大學，安徽 淮南232000）

0 引言

近些年來，不少學者在有理二次，三次，四次有理插值樣條以及他們的性質和應用上做了研究。如：王仁宏，吳順唐在文獻[1]中，構設計幾種具有線性結構的有理插值樣條并討論了它們的解析；Gregory，Delbourgo在文獻[2]設計了2/2型有理插值樣條，研究了它的保形問題；Delbourgo在文獻[3]構造了2/1型有理插值樣條，并探究了它的保凸問題；方逵在文獻[8]中構造了一種分子為四次，分母為雙二次的二元有理插值函數，討論了其保形性。王強在文獻[7]構造了雙參數3/1型的有理插值樣條,探究了其光滑性。 段奇、Hussain在文獻[4-6]也是用含參數的分段三次有理函數構造了滿足約束條件插值樣條。

上述的插值方法對于非封閉曲線確實能很好地數學描述，但針對封閉曲線的特殊性，一直沒有能對其進行可行的描述。本文在二次有理插值的基礎上，效仿隱函數的表示方式，引入正參數m和n，在x和y方向上各自插值文章詳細地介紹這種插值方法，并在此基礎上由鏈式法得到一階，二階導數來探究其保形性。

它具有以下優點：(1)具有顯式表達式，形式簡單；(2)表達式是分片的；(3)過已知數據點；(4)每片含有參數，可以通過參數的改變而不是點的變動來修改插值函數。

本文結構如下：第一部分簡單描述了這種方法。第二部分研究其保形性。第三部分是對文章的小結。

1 構造

給定數據（xi，fi），i=1，2，…，n，其中fi為被插函數在分劃點xi上的函數值，此處x1＜x2＜…＜xn，記hi=xi+1-xi，定義：

2 保形

假設f（x）在區間[a，b]單調遞增,因此f1≤f2≤…≤fn，或△i≥0.

在區間[xi，xi+1]，y（t）單調遞增的充要條件為：

故存在x-1（t），將其帶入

其中

由于αi，βi＞0，則只需要滿足

式帶入，則得到插值函數的保單調條件：

定理2：已知數據（f1≤f2≤…≤fn）單調遞增,導數值di≥0，當di滿足(6)時,則存在含有正參數αi，βi的雙參數有理插值函數是單調遞增的。

假設f（x）在區間[a，b]上是單調凸函數，因此設：

y（x）的保凸性條件是：

定理3：對于給定的嚴格凸數據，當導數參數di上式時,則存在一族含有非負參數mi，ni的雙參數有理插值函是保凸的。

3 小結

本文構造了雙參數有理插值樣條，通過研究單調和保凸性探究了其保形性。這種新方法不僅可以用于曲線的構造，在以后的曲面構造尤其是封閉曲面的構造中也可以很好的應用。在計算機圖像處理上也將有強大的應用。這將在以后的研究的中進一步討論。

［1］王仁宏，吳順唐.關于有理spline函數[J].吉林大學學版:自然科學版,1978:58-70.

［2］J.A.Gregory,R.Delbourgo.Piecewise rational quadratic interpolation to monotonic data,IMA[J].Numer.Anal.,1982,2:123-130.

［3］R.Delbourgo.Shape preserving interpolation to convex data by rational functions with quadratic numerator and linear denominator.IMA[J].Numer.Anal.，1989,9:123-136.

［4］Q.Duan,K.Djidjeli,W.G.Price,E.H.Twizell.A rational cubic spline based on function values[M].Comput.And Graphics,1998,22(4):479-486.

［5］Q.Duan,L.Wang,E.H.Twizell.A ational interpolation based on function values and constrained control of the interpolant curves[M].Applied Mathematics and Computation,2005,1:311-322.

［6］M.Z.Hussain,M.Hussain.Visualization of data subject to positive constraints[M].Information and Computing Science,2006,1(3):149-160.

［7］王強.三次保形有理插值[J].合肥工業大學學報:自然科學版,2005,28(11):1461-1464.

［8］方逵.一種新的二元有理插值及其性質[J].工程圖學學報,2010:117-122.