CUSUM和EWMA控制圖在汽車加油過程中的應用研究

魏 文 段美華

(天津職業技術師范大學，中國 天津300222)

0 前言

工業生產過程中，產品的質量波動是不可避免的。統計過程控制（Statistical Process Control，簡記為SPC）是產品質量控制的重要研究內容，它包含一些用來降低產品質量波動以使產品質量保持穩定的諸多有效工具。質量控制圖就是諸多有效工具之一。世界上第一個控制圖—Shewhart控制圖首先由Shewart博士于1925年基于統計的原理提出(Shewhart(1925))的，它僅對檢測較大的飄移(shift)效果明顯。還有兩種檢測方法，其一是累積和(CUSUM)控制圖,由Page(1954)基于似然比提出；另一個是指數加權移動平均（EWMA）控制圖，由Roberts(1958)提出。到目前為止,關于控制圖的研究和應用成果已相當豐富,并取得了良好的社會效益與經濟效益。

1 CUSUM控制圖

CUSUM控制圖的理論基礎是序貫分析原理中的序貫概率比檢驗（Sequent Probability Ratio Test,簡稱SPRT），這是一種基本的序貫檢驗法。CUSUM控制圖的設計思想是對信息加以累積，將過程中的小漂移累加起來，達到放大的效果，以提高檢測過程小漂移的靈敏度。

通過計算一列樣本觀測點發生漂移的累積和，CUSUM控制圖可以直接包含觀測點的所有信息。例如，假設我們收集到n（n≥1）個樣本，xˉj是第j個樣本的均值。如果μ0是該過程的均值，我們可以記CUSUM為

另外，我們用C+表示從目標值μ0向上漂移的累加和，用C-表示從目標值μ0向下漂移的累加和。它們可分別記為：

這里C+0=C-0=0.CUSUM控制圖主要由兩個參數（h，k）所決定,其中h稱為門限值（Decision Boundary）,k稱為決策值（Reference Value），并且我們定義H=hσ，K=kσ。

在實際使用時，我們通常在計算前會選擇使xi標準化。令

則yi就表示xi的標準值。那么標準化的累積和表示如下：

標準化的CUSUM控制圖大多具有相同的k和h，并且參數的選擇不依賴于σ，因此更便于操作。

例1.1：用機器給油罐加油，每一個小時得到一個樣本。由于該加油過程是自動化的，所以變化性是穩定的。通過觀察我們發現σ=0.05oz.下表給出了24小時的各個觀測值。

表1

假設該過程的目標值是8.02oz，當h=4.77，k=0.5時，構造一個CUSUM控制圖。

分析：由題意已知μ0=8.02,σ=0.05,k=0.5,h=4.77,

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權控制圖ffgt;累積和控制圖（圖1.1）

例1.2：當h=4.77，k=0.5時，利用表格1中的數據重新構造一個CUSUM控制圖。

分析：已知μ0=8.02，σ=0.05，k=0.5，h=4.77

H=hσ=4.77*(0.05)=0.2385

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權控制圖ffgt;累積和控制圖（圖1.2）

圖1.1

圖1.2

例1.3：當h=8.01，k=0.25時，利用表格1中的數據重新構造一個CUSUM控制圖。

分析：已知μ0=8.02,σ=0.05,k=0.25,h=8.01,

H=hσ=8.01*(0.05)=0.4005

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權控制圖ffgt;累積和控制圖

圖1.3

對比分析：

圖1.1，圖1.2和圖1.3分別為不同參數下的CUSUM控制圖。

比較圖1.1和圖1.2，我們發現當只有h改變時，只影響控制圖的上下控制線。并且h越小，越容易報警；反之，則越不容易報警。

比較圖1.2和圖1.3，我們發現k越大，累積和越小，過程越穩定；k越小，累積和越大，并且偏離中心線越來越遠，容易發生報警。

2 EWMA控制圖

EWMA控制圖采用只是加權累積移動均值設置控制線，并且圖上的每個點都包含前面所有子組或觀測值的信息，因而可以不受正態假設的限制，檢測出過程均值的小漂移。

假設在一生產過程中有一列觀測點Xi，i=1,2,…，為監控過程是否發生變化，我們要做如下假設檢驗：

其中μ1≠μ0或者（并且）σ1≠σ0，τ為未知變化點。

EWMA控制圖最早是由Rober(1959)提出的，其統計量定義為：

其中λ∈（0，1）為光滑參數。當Sn≥h時報警，過程均值發生向上的漂移；當Sn≤-h時報警，過程均值發生向下的漂移，其中h為控制線。

在EWMA控制圖中，中心線用μ0來表示，上控制線和下控制線分別為：

其中的系數L表示控制線的寬度。隨著i增大，控制線就接近于穩定值，此時，上下控制線可表示為：

需要注意的是對于較小的i，我們用（11）和（12）式確定上下線。

例2.1：利用表格1中的數據，令λ=0.2,L=3，構造EWMA控制圖。

分析：λ=0.2，L=3.假設σ=0.05，中心線CL=μ0=8.02，

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權控制圖ffgt;EWMA

圖2.1

例2.2：同樣利用表格1中的數據，令λ=0.1，L=2.7，構造一個EWMA控制圖。

分析：λ=0.1，L=2.7.假設σ=0.05，中心線CL=μ0=8.02,

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權控制圖ffgt;EWMA

圖2.2

對比分析：

圖2.1和圖2.2分別為不同參數下的EWMA控制圖。觀察圖像，我們發現，隨著λ和L的增大，樣本觀察值超過中心線的個數也相應增大，并且偏離中心線越來越遠，容易發生報警。

通過研究對比分析不同參數組合下得預警效果，結果表明，兩種控制圖均受參數值的影響。相對而言，EWMA控制圖受參數影響較小，而CUSUM控制圖受參數的影響較大。然而，在實際工作中，控制圖參數值的大小常根據經驗設置，例如根據研究的車型以及采用的基線數據合理設置。

我們建議在選擇控制圖之前，應利用給不同車型加油的歷史數據，對參數的設置進行優化，繼而利用優化的參數進行分析。由于缺乏實際觀測數據，因而難以對兩種控制圖的參數進行優化，而僅對不同參數組合下得兩種控制圖的預警效果進行了分析。

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