固定鴨舵式彈道修正彈二體系統建模

王 毅，宋衛東，佟德飛

（軍械工程學院 火炮工程系，石家莊050003）

打擊精確化是陸軍在未來信息化戰爭中立足的基礎，新型炮兵制導彈藥的發展受到各國陸軍的高度重視。彈道修正彈作為一種具有一定打擊精度的新型制導彈藥，自美國上世紀70年代中期提出以來取得了長足的發展。各國學者提出了制導炮彈的多種二維修正控制方式，大致可歸為2類：基于氣動力的修正控制和基于直接力的修正控制。基于氣動力的二維修正常用的是基于鴨舵或正常舵的控制方式，該方式可連續提供用于修正的力和力矩。另外，基于擺動頭錐的修正控制方式也屬于該種類型［1－2］?；谥苯恿Φ男拚刂品绞酵ㄟ^在彈丸質心位置附近沿彈體圓周布置脈沖推沖器，利用脈沖推力矢量修正彈道軌跡，該方式具有響應速度快、控制方式簡單的特點。

彈道修正引信是當前研究的熱點。彈道修正引信在具備已有功能的基礎上，擴展了彈道探測、彈道解算和修正控制等功能，僅采用彈道修正引信替換原有引信即可達到減小散布、提高精度的目的［3］。Clancy J A、Bybee T D等研制了基于固定鴨舵的彈道修正引信［4］，該引信采用修正組件與彈體具有不同的滾轉角速度的單通道修正控制技術，克服了旋轉穩定彈轉速過高不易修正控制的問題。修正組件與彈體具有不同的滾轉角速度，傳統的六自由度剛體彈道模型不能有效地描述彈丸在飛行過程中的運動狀態。針對該問題，Costello M建立了七自由度剛體彈道模型［5］，但該模型沒有針對具體的修正模式進行研究，雖可用于基于固定鴨舵的彈道修正彈，但不能精確反映彈丸在飛行過程中的受力，也不能有效描述彈丸修正組件與彈體之間的相互作用。

對基于固定鴨舵的彈道修正引信，國內外進行了大量研究。郝永平、張嘉易等研究了舵片面積、翼展、翼型、舵偏角等因素與彈丸升力之間的關系，并分析了前置舵片對彈丸氣動特性的影響［6－7］。紀秀玲等利用TVD格式求解N－S方程，采用雙時間推進方法對帶可旋轉固定鴨舵的旋轉彈丸的流場進行數值模擬，分析其俯仰特性隨鴨舵方位角的變化規律［8］。Wernert P采用線性化理論分析了安裝基于固定鴨舵的彈道修正引信的某型155mm旋轉穩定彈的穩定性［9］，但未針對基于固定鴨舵的二維彈道修正彈進行仔細深入的建模分析。綜上，迄今未有學者針對基于固定鴨舵的二維彈道修正彈的建模問題進行深入研究。

本文引入多剛體理論，將彈丸作為滾轉角速度不同的2個剛體進行研究。針對修正組件氣動外形不對稱的問題，在修正組件質心建立新坐標系，分析其在彈丸飛行過程中的受力；應用多剛體理論，研究2個剛體間的相對運動關系和相互作用。在此基礎上建立了描述彈丸飛行過程的七自由度彈道模型，并通過仿真驗證了模型的正確性。

1 彈丸受力分析

圖1所示為某彈道修正引信的外形圖。舵1和舵3具有相同的舵偏角，但舵偏角方向不同，稱其為一對差動舵；舵2與舵4舵偏角方向均相同，稱其為一對操縱舵。引信通過螺紋連接彈體上，并與彈體同軸。在來流作用下，差動舵形成的導轉力矩使引信頭部產生與彈體方向相反的滾轉角速度，而引信尾部將與彈體一同旋轉。將轉速不同的兩部分作為不同的剛體進行分析，并分別將其稱為修正組件和彈體，分別用下標f和a進行標記。

圖1 引信舵片分布示意圖

由于彈丸氣動外形非對稱，若來流速度大小一定，來流從不同方位吹向圖1所示姿態的彈丸，彈丸所受氣動力不同。在彈丸飛行過程中，彈丸軸線與彈丸質心速度矢量的夾角（以下稱章動角δ）按二圓運動的規律變化，且修正組件繞彈丸軸線旋轉，彈丸所受氣動力不斷變化，且比軸對稱外形彈丸的受力復雜。

假設修正組件與彈體之間無氣動耦合現象，將修正組件和彈體作為不同的剛體進行分析。

1.1 修正組件受力

引入修正組件體坐標系、修正組件速度坐標系，如圖2所示。坐標系定義如下。

地面發射系Oxyz：坐標原點取發射點，Ox軸在發射點水平面內指向發射瞄準方向，Oy軸沿發射點的鉛垂線向上，Oz軸垂直于Oxy平面，構成右手系。

修正組件體坐標系Ofxf1yf1zf1：坐標原點位于修正組件質心，Ofxf1沿修正組件軸線，Ofyf1在修正組件縱向對稱面內垂直于Ofxf1；Ofxf1，Ofyf1，Ofzf1構成右手系。

修正組件速度坐標系Ofxf2yf2zf2：坐標原點位于修正組件質心，Ofxf2沿修正組件速度方向，Ofyf2在修正組件縱向對稱面內垂直于Ofxf2；Ofxf2，Ofyf2，Ofzf2構成右手系。

G為彈丸質心，Gf和Ga分別為修正組件和彈體的質心，且分別距質心G的距離為lf和la，則有：

圖2 坐標系定義

引入攻角αf、側滑角βf，定義如下。

攻角αf：修正組件速度矢量在修正組件縱向對稱面內的投影與Ofxf1軸的夾角，規定Ofxf1軸在上時攻角αf為正。

側滑角βf：修正組件速度矢量與修正組件縱向對稱面的夾角，規定速度矢量指向修正組件縱向對稱面右側時側滑角βf為正。

幾何關系方程為

式中：φ，ψ，γf，θ，σ分別為修正組件的俯仰角、偏航角、滾轉角、修正組件速度傾角和修正組件速度偏角。

通過攻角αf、側滑角βf和馬赫數Ma插值獲得了氣動參數后，經計算得到修正組件所受空氣動力。

修正組件受力包括空氣動力、重力和彈體對修正組件的力，彈體對修正組件的力Ffa＝（Ffa，xFfa，yFfa，z）T，Ffa，x，Ffa，y，Ffa，z為其在發射系下的分量。將修正組件受力投影到發射系中，有：

式 中：vf，x，vf，y，vf，z，Ff，x，Ff，y，Ff，z分 別 為 修 正 組 件質心速度和其所受空氣動力在發射系中的分量，mf為修正組件的質量。

將修正組件所受氣動力矩分解到準彈體坐標系，并在準彈體坐標系建立動力學方程：

式中：Jf，x，Jf，y，Jf，z為修正組件相對彈丸質心的轉動慣量；ωf，x4，ωf，y4，ωf，z4為修正組件角速度在準彈體 坐 標 系 中 的 分 量；Mf，x4，Mf，y4，Mf，z4，Mfa，x4，Mfa，y4，Mfa，z4分別為修正組件所受氣動力矩和彈體對修正組件的力矩在準彈體坐標系中的分量。

1.2 彈體受力

彈體為旋成體氣動外形，其受力和力矩相對簡單。為便于受力，建立相應的坐標系，原點位于彈體的質心上。彈體質心運動方程為

將彈體所受氣動力矩分解到準彈體坐標系，并在準彈體坐標系建立動力學方程：

式中：Ja，x，Ja，y，Ja，z為彈體相對彈丸質心的轉動慣量；ωa，x4，ωa，y4，ωa，z4為彈體角速度在準彈體坐標系中 的 分 量 ；Ma，x4，Ma，y4，Ma，z4，Maf，x4，Maf，y4，Maf，z4分別為彈體所受氣動力矩和修正組件對彈體的力矩在準彈體坐標系中的分量。

2 二體運動分析

在軸承的約束下，修正組件和彈體具有相同的俯仰角速度和偏航角速度，即

式中：ωy，ωz為發射系下彈丸繞質心的偏航角速度和俯仰角速度；，為其相應的偏航角速度和俯仰角加速度。

以彈丸質心為基點，則發射系下修正組件和彈體的質心速度矢量分別為

設彈丸質心加速度為a。以彈丸質心為基點，則修正組件和彈體的質心加速度矢量分別為

則由式（1）可得：

修正組件和彈體通過軸承連接，不計安裝誤差，兩剛體同軸，且準彈體坐標系下偏航角速度和俯仰角速度 相 同，即ωf，y4＝ωa，y4＝ωy4，ωf，z4＝ωa，z4＝ωz4，在保證連接強度的條件下，兩組件間通過軸承傳遞俯仰力矩和偏航力矩。由于軸承摩擦的存在，差動舵形成的導轉力矩需要克服軸承的摩擦力矩使修正組件旋轉；在修正過程中，制動器輸出摩擦力矩改變修正組件轉速從而調整彈體姿態。兩摩擦力矩構成準彈體系中兩組件間的軸向力矩。由式（6），可將式（3）和式（5）的第2個和第3個方程分別相加，并消去兩剛體間的相互作用力矩，可得：

3 彈道建模

彈丸質心速度矢量為v＝（vxvyvz）T，由式（12）可得：

彈丸繞質心的角運動方程為

式中：Jy＝Jf，y＋Ja，y，Jz＝Jf，z＋Ja，z。

彈丸質心運動方程為

彈丸角運動方程為

綜上，可得彈丸數學模型。由于修正組件與彈體滾轉角速度不同，需要不同的方程進行描述，故可將該模型稱為七自由度彈道模型。

4 仿真結果分析

采用某型炮彈的氣動參數進行無控仿真，彈丸結構參數和仿真初始參數見表1。表中m、L、S、vi、A1、Ad分別為彈丸的質量、特征長度、特征面積、初速、射角和射向。仿真步長取0.001s，仿真初始位置取圖1所示位置。

表1 彈丸結構參數和仿真初始參數

氣象條件取標準氣象。該彈丸為尾翼穩定的低速滾轉彈丸，忽略馬格努斯力和馬格努斯力矩帶來的影響。

連接修正組件與彈體的軸承是球軸承，其接觸為點接觸。兩組件間的相對運動會使軸承滾珠發熱膨脹，但軸承內外圈間存在間隙且軸承內外圈也同時產生不同程度的膨脹，其摩擦力與摩擦力矩不會有明顯的變化，可認為其為常量，取摩擦力矩為0.01N·m。

4.1 相同舵偏角、不同舵片面積時仿真分析

采用舵偏角δd為4°、舵片面積比值為4∶5∶6時的3套氣動參數進行仿真，仿真結果記為S1、S2、S3，見表2，表中Xm、Ym、Zm分別為射程、最大彈道高和側偏。

由表2可知，隨舵片面積的增大，彈丸彈道高和射程減小。

隨舵片面積的增大，來流在舵片上的作用面積增大，使彈丸上所受阻力、升力和導轉力矩增大。修正組件的轉動慣量不變而導轉力矩增大，導致修正組件的轉速增大，如圖3所示。舵片上所受升力作用于彈丸質心形成翻轉力矩，增大彈丸的章動角δ，使彈丸的穩定性變差。隨面積增大，彈丸章動角δ增大，如圖4所示。

圖3 不同面積下修正組件滾轉角速度

4.2 相同舵片面積、不同舵偏角時仿真分析

取舵片面積相同，舵偏角分別為2°、3°、4°、5°，仿真結果見表3。

圖4 不同面積下彈丸章動角

表3 相同舵偏角、不同舵片面積時彈道特征值

隨舵偏角的增大，彈丸飛行過程中所受阻力、升力都將增大。對該型彈丸阻力及其射程影響較大，故隨舵偏角增大，彈丸射程減小。

隨舵偏角的增大，軸向力矩系數和法向力矩系數變化不大，而側向力矩系數變化較為明顯，呈線性減小趨勢。但由于修正組件極轉動慣量較小，其滾轉角速度增大較為明顯，如圖5所示。隨舵偏角增大，在來流作用下舵面形成的翻轉力矩使彈丸的恢復力矩減小，故彈丸的章動角增大，如圖6所示。

圖5 不同舵偏角下修正組件滾轉角速度

圖6 不同舵偏角下彈丸章動角

4.3 不同修正組件質量時仿真分析

定義R為修正組件質量與彈丸質量的比值，無量綱。在彈丸氣動外形不發生變化的條件下，表4為不同R值時彈丸的射程、側偏和最大彈道高，圖7和圖8為不同R值下修正組件滾轉角速度曲線和彈丸章動角曲線。

表4 不同R值時彈道特征值

由表4可知，不同R下彈丸的彈道射程、側偏和最大彈道高變化很小。

修正組件的質量直接影響其極轉動慣量，決定其滾轉角加速度。質量越小，極轉動慣量越小，滾轉角加速度越大，修正組件越容易在導轉力矩作用下滾轉，如圖7所示。舵片滾轉整周期合力為0，故滾轉角速度越大舵片受力對彈丸的影響越小，因而彈丸章動角相對較?。浑S著修正組件質量的增大，其極轉動慣量增大，修正組件上作用的氣動力矩對其影響就會相對減小，彈丸的章動角會逐漸減小，如圖8所示。

圖7 不同R值下修正組件滾轉角速度

圖8 不同R值下彈丸章動角

5 結束語

本文基于修正組件和彈體不存在氣動耦合的假設，將彈丸作為2個剛體進行研究；分析了彈丸在飛行過程中所受的空氣動力和兩剛體間的相互作用，建立了7D彈道模型。針對某型尾翼穩定彈，建立了仿真模型，并對不同面積、不同舵偏角和不同修正組件質量3種狀態進行了仿真分析，有效驗證了模型的正確性。該模型可用于該類彈箭的彈道解算，且可為該類彈箭的研究提供參考。

［1］曾耀華.火箭彈擺動頭錐彈道修正引信技術研究［D］.太原：中北大學，2010.ZENG Yao－hua.The research on swing fuse trajectory correction technology for low spin rocket missile［D］.Taiyuan：North University of China，2010.（in Chinese）

［2］王朋飛，曹紅松，劉務平，等.引信頭錐擺動角對火箭彈氣動特性及控制能力影響［J］.彈箭與制導學報，2013，33（1）：152－155.WANG Peng－fei，CAO Hong－song，LIU Wu－ping，et al.The influence of fuse nose’s swing angle on rocket aerodynamic characteristics and control ability［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2013，33（1）：152－155.（in Chinese）

［3］CLANCY J A，BYBEE T D，FRIDRIH W.Fixed canard 2－D guidance of artillery projectile：US：6981672B2［P］.2006－01－03.

［4］馬寶華.網絡技術時代的引信［J］.探測與控制學報，2006，28（6）：1－5.MA Bao－hua.Fuse in networked technology era［J］.Journal of Detection ＆Control，2006，28（6）：1－5.（in Chinese）

［5］COSTELLO M.Modeling and simulation of a differential roll projectile［C］／／Modeling and Simulation Technologies Conference.Boston：AIAA，1998：490－499.

［6］郝永平，孟慶宇，張嘉易.固定翼二維彈道修正彈氣動特性分析［J］.彈箭與制導學報，2012，32（3）：171－173.HAO Yong－ping，MENG Qing－yu，ZHANG Jia－yi.Aerodynamic characteristic analysison two－dimensional trajectory corrector shell with fixed－wing［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2012，32（3）：171－173.（in Chinese）

［7］張嘉易，王廣，郝永平.二維彈道修正彈鴨舵修正機構氣動特性研究［J］.彈箭與制導學報，2013，33（2）：88－91.ZHANG Jia－yi，WANG Guang，HAO Yong－ping.Investigation of aerodynamic characteristics for two－dimensional trajectory correction projectile canard rudder device［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2013，33（2）：88－91.（in Chinese）

［8］紀秀玲，王海鵬，曾時明.可旋轉鴨舵對旋轉彈丸縱向氣動特性的影響［J］.北京理工大學學報，2011，31（3）：265－268.JI Xiu－ling，WANG Hai－peng，ZENG Shi－ming.CFD prediction of longitudinal aerodynamic for a spinning projectile with fixed canard［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2011，31（3）：265－268.（in Chinese）

［9］WERNERT P.Stability analysis for canard guided dual－spin stabilized projectiles［C］／／Atmospheric Flight Mechanics Conference.Chicago：AIAA，2009：1－24.