基于線性相關系數的RBV再入段增益調度設計

周晚萌，王 華，許江濤，崔乃剛

（1.國防科學技術大學 航天科學與工程學院，長沙410000；2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱150001；3.哈爾濱工業大學 航天工程系，哈爾濱150001）

可重復使用助推飛行器（Reusable Boosted Vehicle，RBV）是根據空間任務需求［1］，重復使用并搭載不同上面級的一種運載飛行器。與傳統的重復使用飛行器相比，RBV的維護成本低、可靠性高，可明顯改善運載系統性能［2］，國內外有大量學者進行了相關研究［3］。

在RBV整個再入過程中，大氣參數、飛行馬赫數以及一些其它因素的變化會使模型參數的非線性特征更加突出，傳統線性控制器很難滿足控制要求，由此許多再入飛行器引入了增益調度技術（GainScheduling，GS）［4］。該技術最早由Shamma J S提出［5］，后來逐步發展為傳統增益調度技術和基于線性變參數系統（LPV）的增益調度技術［6］。

雖然有大量關于增益調度點的選擇以及調度點間隙測度與控制穩定性方面的理論研究［7］，但目前關于增益調度變量選取主要還是通過滿足所選變量要體現對象的非線性特征，具有可測性等要求來實現。本文以面對稱RBV的再入段為研究對象［8］，提出用線性相關系數作為選取調度變量的指標，并基于迭代理論和線性擬合理論對其加以證明，最終通過仿真驗證了線性相關系數這一指標的合理性。

1 RBV線性化模型

本文首先對RBV再入過程進行系統建模，并對所建模型線性化，為解耦線性化模型設計控制系統，主要做出如下假設：

①未擾動運動中側向運動學參數和縱向參數對時間的一階導數很小，略去它們之間的乘積以及它們與其它小量的乘積；

②不考慮RBV的結構參數偏差對擾動運動的影響；

③小角度三角函數可以近似表示為sinθ≈θ，cosθ≈1；

④未擾動的運動參數、氣動參數、結構參數和制導參數都不變。

基于以上假設，RBV線性化［9］后的運動學方程表示為

式中：θ為彈道傾角，ψv為彈道偏角，?為俯仰角，ψ為偏航角，γ為滾轉角。

補充關系線性化方程為

線性化后的RBV動力學方程表示為

式中：α，β分別為攻角、側滑角；m，Jx，Jy，Jz分別為 RBV 質量和3個體軸的轉動慣量分別為3個通道氣動力系數對相關擾動的導數分別為三通道氣動力矩系數對相關擾動的導數。

2 RBV控制器設計

2.1 控制器參數優化設計

本文以期望氣動角為輸入，加入控制器、增益限制、舵面延時各環節后的氣動角為輸出，RBV線性化模型三通道傳遞函數可統一表示為

式中：K為增益系數，可以根據系統響應要求確定，具體的特征方程為

式中：ξn為阻尼系數，ωn為無阻尼自振角頻率。令式（4）和式（5）的特征方程對應項系數相等，可以求出系統的控制器的初步參數。

進一步優化，優化的控制器參數集表示為k＝（kpkikdkd1kd2）T∈R5×1，其中kd1為反饋系數，kd2為角度反饋系數，kd為微分系數，kp為比例系數，ki為積分系數。

目標函數f為響應曲線超出響應約束范圍的面積，表示為

式中：t為總仿真時間，T為更新時間步長，y（iT）為iT時刻系統的響應輸出，yl（iT）為輸出約束下界，yh（iT）為輸出約束上界，w（iT）為iT時刻系統的輸出響應超出約束閾值的大小。

利用單純形法對式（6）進行優化，具體的迭代步驟如下：

①給出n組保證階躍響應穩定性初始設計控制參數k（n），定義反射系數λ＝1，收縮系數η＝0.5，擴張系數μ＝2，壓縮系數σ＝0.5。

②將單純形的n＋1個頂點按目標函數值的大小重新編號，使其滿足：

③由下式計算除去最壞點以外各點組成圖形的中心的目標值：

當滿足式（8）時，停止迭代計算，否則轉入下一步。

④反射計算：

若f（k（n＋2））＜f（k（0）），轉 入 第 ⑤ 步；若f（k（n＋2））＜f（k（n）），轉入第⑥步；若f（k（n＋2））≥f（k（n）），轉入第⑦步。

⑤擴張計算：

若滿足f（k（n＋3））＜f（k（n＋2）），令k（n）＝k（n＋3），轉入第②步，否則轉入下一步。

⑥令k（n）＝k（n＋2），轉入第②步。

⑦收縮計算：

若滿足f（k（n＋4））＜f（k（n）），令k（n）＝k（n＋4），轉入第②步，否則轉入下一步。

⑧壓縮計算：

k（j）＝k（0）＋σ（k（j）－k（0）），j＝0，1，…，n，轉入第②步。

2.2 優化結果分析

以滾轉通道為例建立模型，如圖1所示。Mxd1為副翼產生滾轉力矩的效率。

該回路中共有5個系數分別是速率反饋系數kd1、角度反饋系數kd2、微分系數kd、比例系數kp和積分系數ki。令kd2＝1，kd1＝1，ki＝0，加入PD環節后利用極點配置法，獲得kd＝－1.723×106，kp＝－9.091×106。

根據極點配置獲得的PD系數設置6組初始控制器參數值，利用階躍響應結果進行參數非線性優化。滾轉通道的優化迭代階躍響應曲線如圖2所示。

由仿真結果可以看出，利用該方法能夠有效設計這類控制器，整個階躍響應的超調量下降了70%，過渡過程時間由1.5s減少至1.3s，優化效果顯著。

圖1 滾轉通道的簡化模型

圖2 參數優化過程響應曲線

3 增益調度系統設計

3.1 調度變量的選擇指標分析

本文利用線性相關系數選取調度變量，下面證明線性相關系數與控制性能指標的正比關系。

設X為調度變量，且X∈R1×6，K5×5為對應的控制參數矩陣，將每個特征點處的5個控制系數組成一列，則可將5個特征點處的全部控制系數表示為K5×5＝（k1k2k3k4k5），K′∈R5×5。5個系數的相關系數計算公式如下：

式中：ξ分別代表p，i，d，d1，d2。

利用單純形法，對5個控制點處的控制參數集k1～k5分別進行優化設計，迭代過程中保證了目標函數達到最小f＊。定義特征點處控制器的控制性能為

ρ越大表示控制器越接近期望性能，該指標量綱為rad－1。

期望的控制性能為ρ＊，控制器的控制性能為ρ′。兩者之間的性能差距可表示為

由協方差與數理統計相關理論，可知：

式中：kξ為設計控制器時的理論優化參數；為擬合系數；D（kξ）為系數kξ的方差。將上式5個等式求和，可得：

故當線性相關系數rXk越大，擬合形成的控制器系數與定點設計的控制器的控制參數k就越接近，就越小。由單純形法優化最終收斂條件式（8）可知，因此有≤ε，即在理論優化控制系數k的臨域內，目標函數收斂于局部最優f＊。因此有：

以ρ為半徑作圓來形象化地表示控制能力，縱軸為控制器參數無量綱，橫軸為增益調度變量的數值，其量綱由所選的調度變量確定，當兩者的線性相關性越小，控制器的控制能力也越小，如圖3所示。

圖3 線性相關性與控制系統魯棒性的關系

3.2 增益調度控制系統設計

分析RBV整個再入制導過程，利用295s時的控制器對處于不同高度的RBV進行控制，以俯仰通道為例，可獲得如圖4所示的階躍響應的曲線族。隨著高度h的降低，由于氣動效率的增加，超調量不斷增加且上升時間縮短，過渡過程時間延長。

在47.45～54.1km的高度范圍內選取6個特征點，除47.45km處的控制器外，還要根據氣動參數的變化對其它高度處的5個特征點的控制器重新進行設計，重新整定后的控制器的階躍響應曲線族如圖5所示。最終3個通道調整后的控制器參數如表1所示。

圖4 同一控制器在不同特征點處的響應曲線

圖5 調整控制器后在不同特征點處的響應曲線

表1 不同特征點處的控制系數總表

將各組系數對應不同的調度系數進行插值，并計算響應的線性相關系數。通過計算滾轉通道的比例系數與不同增益調度變量之間的線性相關系數可知，同一控制系數與不同調度變量間存在不同的線性相關性。同一調度變量與不同參數間的線性關系，如圖6所示。從中可以看出調度變量與不同控制參數間存在不同的線性相關性。由圖7可知，在不同的通道下同一組調度變量與控制系數之間存在不同的線性相關性。綜合考慮以上3種對應關系的線性相關系數，選擇馬赫數作為滾轉、偏航通道的調度變量，高度作為俯仰通道的調度變量。

在選擇合適的調度變量之后，利用調度策略，將輸入的調度變量對應的控制參數通過插值的方法解算出來，從而建立這一時刻的控制器。

3.3 增益調度系統仿真

將設計好的控制器參數裝定入增益調度模塊，給定期望姿態角并開始仿真。仿真過程中的所有氣動參數都是根據參數插值環節獲得，整個系統是時變系統。

圖6 馬赫數與控制參數間的線性關系圖

圖7 動壓與三通道反饋的線性關系圖

仿真初始條件如下：初始時間295s，初始位置（125.46km，528.65km，0.789km），初 始 速度1 365.1m／s，速度傾角 3.726 9rad，速度偏角0.000 263rad，姿態角（4.405 5rad，0，0），姿態角速度0，質量30 500kg，轉動慣量（90 000kg·m2，939 000kg·m2，923 000kg·m2）。

仿真結果，分別表示滾轉角、側滑角、攻角以及角速度在5s內的控制結果。

仿真結果如圖8所示，由于滾轉通道與其它通道存在耦合，因此存在小幅度波動。實際偏航角較好地跟蹤了期望信號，雖然存在一個較小的控制延時誤差，但誤差不會積累。俯仰通道在1.2s之后呈現周期性震蕩，最大偏差不超過0.3°。

圖8 姿態角的仿真結果

以上仿真結果表明，采用線性相關系數的方法選擇調度變量，可以充分發揮增益調度系統的優越性，達到更好的控制效果。

4 結束語

本文以RBV為控制對象，基于線性相關系數進行再入段增益調度控制系統設計。

①采用單純形法與極點配置組合優化方法設計并優化控制器參數，完成單個點處的線性控制器設計，提高了控制器設計精度和設計效率。整個階躍響應的超調量下降了70%，過渡過程時間由1.5s減少至1.3s。

②基于傳統增益調度方法，并根據參數優化的迭代收斂條件和概率統計中的擬合線性相關性理論，提出了反映不同調度變量控制性能的量化指標，證明并驗證了基于線性相關系數的增益調度控制系統能很好地滿足控制要求，最終仿真結果跟蹤誤差不超過0.3°。

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