大氣紊流建模與仿真

王化東

(中國人民解放軍93818部隊，北京100843)

0 引言

一般情況下，飛行模擬所建立的環境都是以平靜大氣為主，并未考慮到大氣擾動對于飛機飛行的影響。但是實際上真實的大氣中存在著各種各樣的大氣擾動，這些擾動對于飛行器的品質有非常大的影響。因此為了增加地面仿真的真實性，需建立與真實大氣環境相似的大氣擾動模型并應用于地面仿真。開展大氣擾動建模技術的研究對于研究飛行器在擾動環境下的品質特性、提高仿真的逼真度有著非常重要的意義。

大氣擾動包括很多種形式:低空的穩態風、大氣紊流以及陣風。在這些氣流擾動中大氣紊流最為復雜，模型建立也最為困難。本文將基于Dryden模型針對大氣紊流數學模型的仿真計算進行詳細探討［1］。

1 大氣紊流數學模型

大氣紊流現象的形成和出現一般與地形誘導、熱交換、風切變等因素有很大的關系。同時飛機、艦船等拖曳的尾流也會形成紊流區，例如對于運動的艦船來說，在艦船的尾部區域也會形成一個紊流區，稱之為艦尾流，它是由于甲板風流過艦船上的各種建筑物所形成的，它的出現對于艦載機的著艦過程有著非常大的影響。

實際的大氣紊流是十分復雜的物理現象。為了使飛機響應問題的研究不至于過分復雜，在保證模型準確度的基礎上可進行適當的假設。一般來說，大氣紊流是一個隨機函數，它與時間和位置有著緊密的關系，這種函數關系是基于大量的測量和統計數據來進行構建的。在航空工程應用中，可以假設:大氣紊流的統計特征(即平均值和均方差，以及相關函數和頻譜函數)既不隨時間而變(認為紊流是平穩的)，也不隨位置而變(認為紊流是均勻的)，在這種假設條件下可以滿足對飛機品質特性分析的需要。

目前常用的大氣紊流模型是德萊頓基于大量測量和統計數據提出的，其對應的指數型縱向相關函數為［2］:f(ξ)=e－ξ/L。基于測量和統計數據求得f(ξ)和g(ξ)后，然后對得到的結果通過 Fourier變換，可求出 Dryden模型的縱向和橫向頻譜函數如下:

這里

得到的頻譜函數是基于“平穩”和“均勻”兩個假設條件得到的，這就會使得所得到的這個模型在無窮遠處的漸進性質是不符合實際紊流理論的，但這并不影響實際的工程應用。該Dryden模型的優點在于:相對來說頻譜的形式較為簡單，可以通過常規的數學方法進行處理，而這一點對于紊流數值仿真是非常必要的。

2 仿真計算理論

為了完成對大氣紊流的仿真計算，針對上述求得的大氣紊流頻譜函數，設計如圖1所示的仿真計算流程。

圖1 生成大氣擾流的仿真計算流程圖Fig.1 Simulation calculation procedure for creating atmospheric turbulence

要生成大氣紊流數據，需要解決的問題就是作為輸入的隨機信號的生成以及成型濾波器的設計計算。嚴格來說，在大氣紊流的數值仿真過程中所要求的輸入信號是真正的隨機信號，但是在實際的數字計算機中，任何運算都是按一定的算法由相應的程序進行的，所以，不可能產生真正的隨機數，只能產生“偽隨機數”，其特征僅近似地符合白噪聲。

通常情況下，所使用的數字計算機字長為32 bit。在數學上可以按如下公式生成在［0，231－1］之間均勻分布的隨機數:

式中，初值r0可以任意選取;a和b為滿足一定要求的奇數;mod為求余運算符號;m=231－1為最大整數。

圖2為通過這種算法所得出的一段偽隨機信號序列以及該隨機信號的功率譜分析結果(其均值與方差分別為0.0383和1.0184)。

圖2 程序計算生成的隨機信號序列及其功率譜分析結果Fig.2 Results of random signal sequence and power spectrum analysis

要生成大氣紊流數據，必須要使用成型濾波器進行計算，以偽隨機信號作為輸入，而且成型濾波器的設計必須依據于理論頻譜函數，這樣才能夠保證所生成的大氣紊流數據頻譜特性的正確性［2］。成型濾波器就是通過濾波環節將白噪聲轉化為期望的有色噪聲，如圖3所示。

圖3 成型濾波器Fig.3 Shaping filter

根據公式

可以得出:

而白噪聲的頻譜為常值，令它為單位值，所以，輸出的頻譜為:

由此可見，只要把給定的輸出頻譜按照上式分解，就可以得到成型濾波器的傳遞函數G(s)。低空擾動模型使用的是Dryden紊流擾動模型，其空間域頻譜表達式如下:

根據ω=ΩV(V為該方向上飛機的分速度)，可求得上述模型的時間域頻譜表達式為:

對上述各式進行分解，則可得到為了產生給定頻譜Φx(ω)所需要的成型濾波器的傳遞函數Gx(s)。

對于3個分量，求出所需的傳遞函數如下:

以上所得到的就是可以進行大氣紊流數值仿真計算所需要的成型濾波器所對應的傳遞函數的數學表達式。

對于成型濾波器的形式還不能直接在程序中運算，必須要由濾波器所對應的傳遞函數的形式得到可以在程序中以數值方法進行運算的遞推公式，這也就是濾波器在程序中的實現方式。對于低空擾動的Dryden紊流擾動模型，則有如下遞推公式:

3 仿真計算結果

根據上述所介紹的方法，可計算得到如下低空氣流擾動模型的時間歷程曲線，如圖4所示。

圖4 低空擾動氣流曲線Fig.4 Low altitude atmospheric turbulence

4 結果驗證與修正

計算得到的大氣紊流序列是否符合要求，要通過對生成的結果進行驗證來體現。首先針對其中的偽隨機序列的生成進行檢驗修正，由于上面得到的偽隨機信號序列均值不等于零，標準偏差也不等于1，將該隨機信號序列減去其均值再除以方差，可將隨機信號序列的均值和方差修正為 －3.5009×10－17和1;然后就需要針對所生成的大氣紊流序列進行檢驗了。其檢驗的準則就是要看由計算所得到的大氣紊流序列xi(i=0，1，…，N)的頻譜特性或者相關特性是否符合該紊流模型的頻譜函數或者相關函數的理論表達式。對于這兩種方法來說，檢驗相關函數是比較方便的。

按照定義，隨機過程(大氣紊流序列)x(t)的相關函數為:

對此式進行離散化，取τ=kh(h為步長，k為正整數)，于是就有

式中，相關函數的點數L不可太大，應該使L?N。然后把由此得到的統計相關函數與理論相關函數畫在同一幅圖上，就可以衡量它們的吻合程度。

將低空大氣紊流擾動模型空間頻譜函數轉化成時間頻譜函數，再對上述的紊流頻譜函數作Fourier逆變換，由此就可以得到相應的相關函數表達式。下面以u方向的大氣紊流序列作為范例，未修正之前，所得到的u方向大氣紊流序列如圖5所示，其對應的相關序列可按照下式進行計算:

在該大氣紊流序列中N=1500，可取L=50?N。

對于低空擾動模型來說，采用的是Dryden紊流擾動模型，通過查表可知u方向上的尺度和強度分別為Lu=620 ft，σu=8.105(注:由于各種大氣紊流模型中均以ft為單位，故在驗證計算過程中采用英制單位，在最后結果中化為國際單位制)，因此在該方向上的紊流擾動模型為:

其對應的理論相關函數為:

圖5 修正前驗證結果Fig.5 No fixed result

圖5 中下圖給出了實際生成的大氣紊流相關函數曲線與理論頻譜函數的相關函數曲線對比結果。圖中，由“×”組成的曲線表示生成的大氣紊流序列的相關函數曲線;由“·”組成的曲線表示理論頻譜函數的相關函數曲線。由圖中可以看出，不經過修正得出的結果與理論頻譜的相關函數相差較大，計算結果遠小于理論值，故需要對結果進行修正，修正的方法就是要對所得出的大氣紊流序列的強度乘以一個修正系數，通過調整修正系數的大小，就可以使所得出的大氣紊流序列的相關函數與理論頻譜的相關函數基本吻合。修正后的大氣紊流序列結果及驗證結果如圖6所示。

圖6 修正后得到的驗證結果Fig.6 Fixed results

圖中，“·”和“×”分別表示理論頻譜函數和所生成的大氣紊流序列的相關函數。從圖中可以看出，計算結果經過修正后與理論曲線的吻合程度還是比較令人滿意的。

5 結束語

根據大氣紊流的數學模型設計成型濾波器，并以白噪聲信號為輸入，能夠得到大氣紊流的仿真結果。但是利用相關函數驗證后發現，此時所生成的大氣紊流序列與原數學模型相差較大，不能直接用于仿真計算。通過適當的修正，能夠得到比較準確的大氣紊流序列，可用于各種地面模擬器以及空中飛行模擬器。

［1］ 朱華，黃輝寧，李永慶，等.隨機信號分析［M］.第1版.北京:北京理工大學出版社，1990.

［2］ 肖業倫，金長江.大氣擾動中的飛行原理［M］.第1版.北京:國防工業出版社，1993.