基于水均衡方法的隧道涌水量概率預測

王曉明，曹正波

（1.河北省交通規劃設計院，河北 石家莊050011；2.河北工業大學土木工程學院，天津300401）

0 引言

涌突水災害是隧道工程中常見的災害，準確預測隧道的涌水量對于保證隧道施工、降低隧道施工風險及隧道防排水設計具有重要意義。關于隧道涌水量的預測，許多學者做了大量的研究工作并取得了一定的成果。Coli M和Pinzani A對隧道工程中的水文地質問題進行了綜述，將涌水量的計算方法概括為三類：經驗法、解析法和數值法[1]。Kong W K 對四種常用的解析方法進行了討論，并提出了硬巖隧道的涌水量評估步驟[2]。羅敏等采用基于層次分析-模糊綜合評判的隨機數學方法預測隧道涌水量[3]。王建秀等采用正演和反演方法分別計算了隧道施工前后的涌水量[4]。郭純青和田西昭采用流量衰減分析法、物理模擬和BP 神經網絡模型3者相結合的方法對巖溶隧道涌水量進行綜合預測[5]。

在諸多隧道涌水量預測方法中，基于水均衡原理的降水入滲法是一種簡便可行的方法，在隧道可行性研究及勘察階段受到青睞。該方法的計算公式簡單，未知參數僅有3個，但是獲得準確的參數值較為困難，而確定參數的變化范圍是較為容易的。本文采用降水入滲法，結合蒙特卡洛（Monte Carlo）隨機模擬技術，對河北省水峪隧道涌水量進行概率研究，進而確定隧道涌水量的置信上限，為隧道防排水設計提供依據。

1 降水入滲法

隧道穿過含水地層時，在隧道影響范圍（集水范圍）內滲入補給的水量與隧道涌水量應保持平衡狀態，因此隧道涌水量可通過式（1）計算。

式中：Q為隧道的正常涌水量（m3/d）；α為降水入滲系數；W為年降水量（mm）；A為隧道通過含水體地段的集水面積（km2）。

《鐵路工程水文地質勘察規程》[6]給出了降水入滲系數的經驗數據。隧道穿過的地層主要為碎石、微～強風化砂巖和蝕變安山巖，巖體較破碎～較完整，綜合確定的降水入滲系數α為0.15～0.30。由于各段巖體的裂隙化程度不盡相同，α可視為隨機變量，按均勻分布考慮。該區域的年降水量均值為458.2mm，標準差為120.8mm，可按正態分布考慮。隧道的集水面積與地形有關，在地形圖上以隧道邊界為起點向兩側地形等高線作垂線，延伸至隧道兩側的分水線，標記出終點；將所有垂線的終點按順序連接就可以圈閉出一條曲線，曲線所包含的面積即隧道的集水面積。由于集水面積的圈定具有較大的不確定性，將其也視為隨機變量，根據多次圈定的結果，集水面積的均值為0.196km2，標準差為0.017km2。

2 蒙特卡洛隨機模擬技術

蒙特卡洛隨機模擬是根據某一隨機變量的概率分布形式及其特征參數（如均值、標準差），利用一定的隨機數生成方法，生成概率分布形式與該隨機變量的分布形式相同的隨機數序列。蒙特卡洛隨機模擬的第一步是獲得[0，1]區間上的均勻分布隨機數（標準均勻分布隨機數），再在此基礎上進一步獲得服從其他分布形式的隨機數。在蒙特卡洛隨機模擬中，要用到服從不同分布形式的隨機數，它們是在標準均勻分布隨機數的基礎上，通過一定的變換處理得到。隨機變量的抽樣有許多種不同的方法，最常用、最有效的是直接抽樣法（反函數法），另外還有復合抽樣法、舍選抽樣法、變換抽樣法、值序抽樣法等[7]。

直接抽樣法的原理是：設隨機變量t服從分布p（t），累計分布函數為P（t），則P（t）的值域為[0，1]，因此可以把均勻分布隨機數ui作為P（ti）的函數值。根據分布與累計分布的關系，則有：

這樣就可以在ui與P（ti）之間建立u與t的對應關系，通過式（2）求反函數，可得：

把具體的p（t）代入式（3），通過求反函數可以得到式（2）的具體表達式。計算涌水量的參數服從均勻分布和正態分布，所以本文僅給出均勻分布與正態分布的抽樣表達式。[a，b]區間均勻分布的隨機變量的抽樣公式如式（4）所示：

服從一般正態分布的隨機數t的抽樣公式如式（5）所示：

式中：μ、σ分別為正態分布函數的均值和標準差；u1、u2為不同的[0，1]區間上的均勻分布隨機數。

降水入滲系數、年降水量和隧道集水面積的分布類型及參數已經確定，因此可采用蒙特卡洛法對這三個參數進行隨機生成。

3 隧道涌水量概率分析

采用Excel 2003 完成計算，通過rand( )函數產生[0，1]區間上的均勻分布隨機數，然后根據各參數的分布類型及特征參數，采用式（4）和式（5） 生成相應的隨機數，進一步通過式（1）計算出隧道涌水量。對各參數進行1 000 次隨機生成，共計算出1 000 個涌水量值，其分布情況見圖1。

圖1 隧道涌水量概率分布及擬合曲線

從圖1中可以看出，隧道涌水量的概率分布形式近似為正態分布，采用正態分布曲線對其進行擬合，擬合效果良好。隧道涌水量Q的均值為56.215m3/d，標準差為18.610m3/d。接下來，采用卡方擬合檢驗法（χ2檢驗或Chi-test）對隧道涌水量是否服從正態分布進行假設檢驗。檢驗統計量χ2的計算見式（6）：

式中：k為根據樣本值劃分而成的區間數（即直方圖中的直方數），對于圖1而言，k=12；fi為樣本觀測值落入第i個區間的個數；n為樣本容量；i為pi的估計值，代表檢驗分布函數在第i個區間的概率，通常根據樣本參數進行估計。

隧道涌水量的卡方擬合檢驗計算見表1。

表1 隧道涌水量的卡方擬合檢驗計算表

χ2的拒絕域為：

式中：α為顯著性水平，一般取0.05；r為檢驗分布函數中被估計參數的個數，因為均值和標準差均通過樣本估計得到，所以r=2。

在計算過程中，對ni＜5 的組進行合并，如對表1中最后三行進行了合并，并組后k=10。經計算，χ2=13.48，χα2(k-r-1)=χ0.052(7)=14.067，χ2＜χα2(k-r-1)。因此，隧道涌水量服從正態分布函數。

基于安全方面考慮，取置信概率為5%對應的涌水量作為預測值，這樣能夠保證涌水量計算值低于預測值的概率為95%，這樣確定的涌水量預測值實質是涌水量單側置信區間的上限值。經確定，涌水量的預測值為89.340m3/d，該值可作為隧道防排水設計的依據。

4 結論

基于水均衡原理的降水入滲法是一種預測隧道涌水量的簡單方法，在隧道可行性研究及勘察階段應用較廣泛。本文結合蒙特卡洛隨機模擬技術和降水入滲法對水峪隧道的涌水量進行了概率分析。假定降水入滲系數服從均勻分布，年水量和隧道集水面積均服從正態分布。通過對這3個參數進行1 000 次隨機實現，計算出1 000 個涌水量值，隧道涌水量的概率分布近似呈正態分布，均值為56.215 m3/d。取置信概率為5%對應的隧道涌水量作為預測值，該值大小為89.340m3/d，可作為隧道防排水設計的依據。

由于降水入滲法只考慮了3個參數，不能反映地質結構對隧道涌水量的影響，因此適用于隧道施工前的涌水量預測。在隧道施工過程中，應根據獲得的地質信息及實際涌水量對預測結果進行校核。

[1] COLI M, PINZANI A. Tunnelling and hydrogeological issues: a short review of the current state of the art[J]. Rock Mechanics and Rock Engineeing,2014(47):839-851.

[2] KONG W K. Water ingress assessment for rock tunnels: a tool for risk planning[J]. Rock Mechanics and Rock Engineeing,2011(44):755-765.

[3] 羅敏，許模，任蕊.一種隨機數學方法預測隧道涌突水量研究[J].現代隧道技術，47（5）：38-43.

[4] 王建秀，朱合華，葉為民.隧道涌水量的預測及其工程應用[J].巖石力學與工程學報，23（7）：1150-1153.

[5] 郭純青，田西昭.巖溶隧道涌水量綜合預測—以朱家巖巖溶隧道為例[J].水文地質工程地質，38（3）：1-8.

[6] TB 10049—20040（J339—2004），鐵路工程水文地質勘察規范[S].

[7] 賈洪彪，唐輝明，劉佑榮，等.巖體結構面三維網絡模擬理論與工程應用[M].北京：科學出版社，2008.