一種新型混沌系統(tǒng)及其DSP實(shí)現(xiàn)

孔華生+王光義

摘 要：混沌系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于軍事保密通信和信息安全領(lǐng)域，該文在Liu混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)新型混沌系統(tǒng)，并重點(diǎn)對(duì)新型混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，包括系統(tǒng)的分岔圖、相圖、Lyapunov指數(shù)圖分析。在保留了Liu混沌系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)基礎(chǔ)上，增加了參數(shù)個(gè)數(shù)，擴(kuò)大了參數(shù)范圍，最后利用DSP實(shí)現(xiàn)了該新型混沌系統(tǒng)，并對(duì)Liu混沌系統(tǒng)生成的數(shù)字序列和改進(jìn)后的序列進(jìn)行NIST測(cè)試，對(duì)比測(cè)試結(jié)果表明改進(jìn)后的數(shù)字序列性能更優(yōu)。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力學(xué)分析;李雅普諾夫指數(shù);數(shù)字信號(hào)處理;數(shù)字序列性能測(cè)試

中圖分類號(hào)：TN401 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-1302（2014）12-00-03

0 ?引 ?言

混沌和混沌系統(tǒng)是近代非線性科學(xué)領(lǐng)域最重要的發(fā)現(xiàn)之一。混沌由于其對(duì)初值敏感性、類隨機(jī)性、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性等特性被大量應(yīng)用于軍事保密通信和信息安全加密領(lǐng)域，與傳統(tǒng)的AES加密和DES加密方法比較，混沌加密具有更高的保密性和安全性。新型混沌系統(tǒng)的研究和應(yīng)用成為當(dāng)今學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)，Liu混沌系統(tǒng)[1，2]是一個(gè)含有平方項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，由于其參數(shù)個(gè)數(shù)少及參數(shù)范圍小影響了混沌序列的隨機(jī)性和安全性。雖然迄今學(xué)術(shù)界大量的文獻(xiàn)研究新型混沌的構(gòu)造[3，4]，或者提出改進(jìn)的混沌系統(tǒng)，但大多數(shù)只是研究混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，很少文獻(xiàn)資料基于應(yīng)用背景研究如何添加混沌系統(tǒng)的參數(shù)個(gè)數(shù)和擴(kuò)展混沌系統(tǒng)的參數(shù)范圍等。本文基于如何添加混沌參數(shù)個(gè)數(shù)并擴(kuò)展參數(shù)范圍在Liu混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)獲得一組三維混沌方程，新型混沌方程引入了一個(gè)平方項(xiàng)并且添加了三個(gè)混沌參數(shù)。分析了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，包括對(duì)稱性、耗散性和穩(wěn)定性，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了Matlab仿真，給出了仿真結(jié)果。 最后利用DSP處理器實(shí)現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)，并將改進(jìn)系統(tǒng)的數(shù)字序列和Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)字序列進(jìn)行了NIST測(cè)試，對(duì)比測(cè)試結(jié)果顯示改進(jìn)后的序列更適合應(yīng)用于加密系統(tǒng)中。

1 ?新型混沌系統(tǒng)的提出

Liu混沌系統(tǒng)[1]方程如式（1）所示：

（1）

式中（x，y，z）∈R3，當(dāng)b=25，k=1，c=2.5，h=4，a∈（3.5， 12.5）之間變化，初值取（0.1，0.1，0.1）時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

為了增加參數(shù)，擴(kuò)展參數(shù)范圍，獲得更好的混沌偽偽隨機(jī)序列，在Liu系統(tǒng)的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，添加了一個(gè)平方項(xiàng)和三個(gè)混沌參數(shù)，改進(jìn)后的方程如下：

（2）

式中（x，y，z）∈R3，當(dāng)a=10，b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值為（0.1，0.1，0.1）時(shí)，系統(tǒng)有混沌解，所以系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。混沌吸引子圖及其在相平面的投影如圖1～圖4所示。

圖1 ?混沌吸引子圖 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2 ?x-y平面吸引子圖

圖3 ?y-z平面吸引子圖 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4 ?x-z平面吸引子圖

2 ?Lyapunov指數(shù)和分岔圖

系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌系統(tǒng)狀態(tài)有非常大的影響，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變而變化。Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性[5-6]的重要指標(biāo)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道見(jiàn)收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。分岔圖能夠直觀反應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)變量的變化規(guī)律，因此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性可以通過(guò)Lyapunov指數(shù)和分插圖分析。當(dāng)固定b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值為（0.1，0.1，0.1）時(shí)，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)a變化的指數(shù)圖譜和變量x隨參數(shù)a變化的分岔圖分別如圖5、圖6所示。

對(duì)于三維自治系統(tǒng)，當(dāng)有一個(gè)Lyapunov指數(shù)為零，其他為負(fù)時(shí)系統(tǒng)是周期的;當(dāng)兩個(gè)Lyapunov指數(shù)為零，其他為負(fù)時(shí)系統(tǒng)是擬周期的;當(dāng)有一個(gè)Lyapunov指數(shù)為正時(shí)系統(tǒng)是混沌狀態(tài)的;當(dāng)有兩個(gè)Lyapunov指數(shù)為正時(shí)系統(tǒng)是超混沌狀態(tài)的。

圖5 ?參數(shù)a李雅普諾夫指數(shù)圖

由圖5可發(fā)現(xiàn)，在a∈（8， 10）時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有一個(gè)為負(fù)，一個(gè)有時(shí)為正有時(shí)為零，一個(gè)有時(shí)為負(fù)有時(shí)為零，所以該系統(tǒng)在區(qū)間（8，10）之間不斷的在混沌、周期和擬周期之間切換;在a∈（10， 21）時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有兩個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正，并且存在兩個(gè)周期窗口。由觀察發(fā)現(xiàn)Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖的變化相對(duì)應(yīng)，所以該系統(tǒng)在區(qū)間（10， 21）之間是出于混沌狀態(tài)的。

圖6 ?x隨a變化的分插圖

固定參數(shù)a=11，c=8，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取為（0.1，0.1，0.1）時(shí)，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)b變化的指數(shù)圖譜如圖7所示，變量x隨參數(shù)b變化的分岔圖如圖8所示，系統(tǒng)參數(shù)b在區(qū)間（8.4，22.4）變化時(shí)，系統(tǒng)不斷在混沌狀態(tài)和擬周期狀態(tài)之間變化，當(dāng)b>22.4時(shí)，系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)的。固定參數(shù)a=11，b=25，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取為（0.1，0.1，0.1）時(shí)，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)c變化的指數(shù)圖譜如圖9所示，變量x隨參數(shù)c變化的分岔圖如圖10所示，圖5、圖7和圖9中另一條指數(shù)圖一直是負(fù)數(shù)，未在圖中顯示，系統(tǒng)參數(shù)c在區(qū)間（0，2.3）和（9，11）區(qū)間變化時(shí)，系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和擬周期狀態(tài)間變化，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)c∈（2.3，9）時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖7 ?參數(shù)b李雅普諾夫指數(shù)圖

圖8 ?x隨b變化的分插圖

圖9 ?參數(shù)c李雅普諾夫指數(shù)圖

2 ?混沌系統(tǒng)數(shù)字化實(shí)現(xiàn)

要使連續(xù)混沌系統(tǒng)能夠在數(shù)字信號(hào)處理器中實(shí)現(xiàn)，首先要對(duì)連續(xù)混沌系統(tǒng)進(jìn)行離散化。本文采用差商逼近法對(duì)連續(xù)混沌系統(tǒng)離散化處理，差商逼近法是采用適當(dāng)?shù)牟钌瘫平鼘?dǎo)數(shù)使連續(xù)系統(tǒng)離散化的方法[3]，由定義公式：

（3）

可得：

（4）

式中τ為離散時(shí)間間隔，所以將改進(jìn)后的三維連續(xù)混沌方程（2）離散化后表示為：

（5）

圖10 ?x隨c變化的分插圖

當(dāng)離散系統(tǒng)中的τ足夠小時(shí)，連續(xù)混沌系統(tǒng)和其離散后的混沌系統(tǒng)序列具有相同的動(dòng)力學(xué)特性。在本論文中取τ=0.008，將式（5）作為循環(huán)體進(jìn)行迭代求解生成混沌實(shí)值序列，至此便完成了連續(xù)混沌系統(tǒng)的離散化處理。

由于DSP數(shù)字信號(hào)處理器具有處理速度快、可編程性強(qiáng)，抗干擾性高和易于實(shí)現(xiàn)浮點(diǎn)運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)，所以本文選用DSP數(shù)字信號(hào)處理器對(duì)混沌系統(tǒng)離散化處理，抽取混沌實(shí)值序列每個(gè)浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)小數(shù)點(diǎn)后第五位，并將其與0x01相與，得到連續(xù)混沌系統(tǒng)離散后的二值序列，序列波形圖輸入示波器得到輸出入圖11所示。將DSP生成的二值序列經(jīng)過(guò)數(shù)模轉(zhuǎn)換得到混沌吸引子相圖分別如圖12～圖14所示。由圖可知，DSP生成的混沌信號(hào)在相同的系統(tǒng)參數(shù)和初值下和Matlab仿真結(jié)果相吻合，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的數(shù)字化。

圖11 ?混沌數(shù)字序列

圖12 ?x-y平面混沌吸引子

圖13 ?y-z平面混沌吸引子

圖14 ?x-z平面混沌吸引子

4 ?混沌數(shù)字序列性能分析

隨機(jī)序列性能測(cè)試程序包（Statistical Test Suite）是由美國(guó)國(guó)家技術(shù)與標(biāo)準(zhǔn)局開(kāi)發(fā)推出的對(duì)隨機(jī)序列性能測(cè)試的軟件包，是目前所有隨機(jī)序列測(cè)試工具中最權(quán)威的一種。該工具從不同角度檢驗(yàn)被測(cè)序列在統(tǒng)計(jì)特性上相對(duì)于理想隨機(jī)序列的偏離程度。本文采用STS 2.1.1測(cè)試軟件包對(duì)改進(jìn)系統(tǒng)的數(shù)字序列和Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)字序列進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表1所示。

NIST偽隨機(jī)序列發(fā)生器的隨機(jī)性測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)共包含15項(xiàng)核心測(cè)試，序列測(cè)試通過(guò)率（PROPORTION）是反應(yīng)序列測(cè)試通過(guò)的百分比，是衡量序列性能的重要指標(biāo)，對(duì)比測(cè)試結(jié)果可知改進(jìn)后的混沌系統(tǒng)的序列每一項(xiàng)測(cè)試通過(guò)率都高于Liu混沌系統(tǒng)的序列，表明改進(jìn)后的序列通過(guò)序列測(cè)試的百分比更高，性能更優(yōu)。序列的均勻分布率測(cè)試（P-VALUE）中頻率測(cè)試是測(cè)試序列中0和1出現(xiàn)的概率是否和隨機(jī)序列0和1出現(xiàn)的概率相等，若測(cè)試是隨機(jī)的則0和1是等概率出現(xiàn)的，對(duì)比測(cè)試結(jié)果改進(jìn)后的序列的0和1出現(xiàn)的概率更隨機(jī)，分塊頻率測(cè)試（Block Frequency）是測(cè)試M-bits塊中1出現(xiàn)的概率是否近似等于1/2，由測(cè)試結(jié)果發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的序列測(cè)試值更接近1/2。綜上所述改進(jìn)后的序列隨機(jī)性[7]更優(yōu)，更適合應(yīng)用于加密領(lǐng)域。

5 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文在Liu系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)新型混沌系統(tǒng)方程，利用Matlab分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌系統(tǒng)狀態(tài)的影響，得出了在特定系統(tǒng)參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)的，并且分析了系統(tǒng)的分插圖和Lyapunov指數(shù)圖。然后用DSP利用實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的數(shù)字化，其與連續(xù)混沌的Matlab仿真結(jié)果一致。最后分析了混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的數(shù)字序列對(duì)其進(jìn)行NIST測(cè)試，測(cè)試結(jié)果表明序列性能良好，改進(jìn)后的混沌序列更適合應(yīng)用于混沌加密系統(tǒng)。

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A new chaotic system and its DSP realization

KONG Hua-sheng， WANG Guang-yi

（School of Electronic Information， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： Chaotic system is widely used in fields of military secure communication and information security. A new chaotic system based on Liu chaotic system is designed and the basic dynamics characteristics of this system are analyzed， including bifurcation diagram， phase diagram and Lyapunov exponents diagram. On the basis of retaining the advantages of Liu chaotic system， the new system increases the number of parameters and extends the range of parameters. Finally the system was realized by using DSP. The sequences generated by the new system and Liu chaotic system were tested by NIST. The result shows that the performances of the improved digital sequence are better.

Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test

[8]王瑩，王光義.混沌PN序列的DSP實(shí)現(xiàn)及其性能分析[J]. 杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，32（1）：1-5.

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Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test

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Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test