微積分在大學物理教學中的重要應用

朱葉青

（南京師范大學泰州學院 信息工程學院應用物理系，江蘇 泰州225300）

0 引言

大學物理是理工科大學面向一、二年級開出的，融合了力、熱、光、電和原子物理等基本領域的一門重要的必修基礎課，比起中學物理來說，大學物理更加接近于“現實狀態”，所研究的運動為加速度時刻發生變化的變速運動，功為變力所做的功，各種類型帶電體在空間各個不同點形成的電場在變，磁場也一直在變化等等，此時中學物理所形成的處理“恒定”問題的技能已不再適用，必須建立一套適用于處理“動態”物理問題的新的方法，即微積分的方法.

微積分是指把復雜的問題進行時空上的有限次分割，在有限小的范圍內進行近似處理，然后讓分割無限地進行下去，局部范圍無限變小，則近似處理也就會越來越精確，這樣在理論上得到的結果。微分是指在理論分析時，把分割過程無限進行下去，局部范圍便會無限小，積分是指把無限小個微分元求和[1]，微積分是高等數學中比較重要的一個分支. 從大學物理和高等數學的發展史中可以看出兩者相互聯系，相互促進，物理學提供相應的“現實模型”，高等數學提供“抽象的解決方法”，所以高等數學是大學物理課程的必備基礎與工具.

1 微積分在大學物理中的重要應用

下面主要從大學物理中力學和電磁學兩部分的幾道例題分析一下微積分的重要應用：

例題1 跳水運動員沿鉛直方向入水， 接觸水面時速率為v0，入水后地球對他的吸引和水的浮托作用相抵消， 僅受水的阻礙而減速，自水面向下取Oy 軸，其加速度為ay=-，vy為速度，k 為常量，求入水后運動員速度隨時間的變化[2].

解：將運動員視為質點，當運動員沿著鉛直方向運動時，運動速度vy隨著時間t 變化，即vy=vy（t），在時間間隔Δt 內，質點速度增量為Δvy=vy2-vy1，當Δt→0 時，此時加速度就趨于一個極限值，即瞬時加速度（也稱加速度）ay，

設入水時為計時起點，當t=0 時vy=v0，運動過程中t 時刻的速度為v，將上式兩側分別以vy和t 為積分變量，以和k 為被積函數，則有

圖1

上面例題是質點運動學的一個典型例題，解題思路是先運用數學導數的概念，即通過求平均變化率的極限來得到瞬時加速度，列出重要的數學表達式， 把數學導數的知識巧妙地應用到物理學當中去，接下來通過給定的初始條件進行定積分，即對微元進行求和，最終算出結果，把看似復雜的變速問題變得更加簡單化.

例題2 如圖1 所示，圓盤的質量為m、半徑為R，求以O 為中心，將半徑為R/2 的部分挖去，剩余部分對OO 軸的轉動慣量[3].

解：因為圓盤上的質點是連續分布的，所以求解此題可以用兩種方法：一是由轉動慣量的定義式來計算，即把圓盤分成許多細圓環帶，其中半徑為r，寬度為dr 的環帶質量為二是補償法，可將剩余部分的轉動慣量看成是原大圓盤和挖去的小圓盤對同一軸的轉動慣量的差值.

比較方法一和方法二，明顯可見方法一的便利之處，求解過程相對簡捷，從方法一可看出微積分知識和簡單物理模型的密切結合， 不僅能使學生更加深入地理解基本物理理論知識，而且能夠使學生開闊思路，觸類旁通，這也是物理教學比較重要的一方面.

例題3 設半徑為R 的帶正電薄圓盤的電荷面密度為σ，并以角速度ω 繞通過盤心垂直盤面的軸逆時針轉動， 求圓盤中心處的磁感強度[3].

圖2

解：方法一：利用畢奧薩-伐爾定律得到的圓電流在圓心處的磁感強度值為B=μ0I/2R 求解，其中I 為圓電流，R 為圓電流半徑.首先采用微分知識將圓盤分成許多細圓環帶，其中半徑為r，寬度為dr 的環帶的電荷為dq=σ2πrdr，因圓盤以角速度ω 繞軸O 旋轉，則此轉動圓環帶相當的圓電流為：

根據以上關系得圓盤上細圓環帶在盤心處磁感強度值為：

代入初始條件進行定積分，可得整個圓盤轉動時盤心處磁感強度值為：

已知圓盤帶正電，故磁感強度的方向垂直紙面指向外側.

方法二： 根據畢奧-薩法爾定律求得的運動電荷產生的磁感強度求解.首先采用的微分方法同方法一，得dq=σ2πrdr，因為角量和線量存在關系v=rω，所以有：

此式方法一已得到，故利用積分知識同樣得到方法一的結果.

以上例題主要體現了微積分在電磁學方面的重要應用，雖然從不同微量之間的關系去探討問題，最終都得到了精確的解，由此可見微積分的奇妙之處，只要選擇合適的微元，找好相應的方法，就可以完美地實現物理模型的由復雜到簡單、由變量到恒量、由未知到已知的轉變.

2 結語

微積分作為高等數學中一個比較重要的分支，在大學物理教學中起著舉足輕重的作用，它不僅是教學工具的應用，也是一種思維方法的應用，教師在教學過程中要巧妙地將微積分融入到大學物理教學中去，恰當地取好微元，分析好元過程和元貢獻，確定好積分上下限，最終可以解決許多復雜的物理問題， 使得學生增強學習物理的信心，達到事半功倍的教學效果.

［1］黎定國.大學物理中微積分的思想方法淺談[J].大學物理，2005,24（12）:52－54.

［2］漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京：高等教育出版社，1997.

［3］馬文蔚.物理學[M].北京：高等教育出版社，2008.