坐標系統轉換參數的相關性分析

張亞囡

（國投新集公司板集煤礦 地測科，安徽 利辛236700）

坐標系統是測量中很重要的一個部分，我們進行平面測量，空間測量都需要對應的坐標系來對其進行計算。坐標系統的相互轉換是坐標計算的核心點，為了獲取不同用途的坐標數據，我們需要進行坐標系的轉換。 而坐標轉換主要涉及到坐標轉換參數。 這里我們主要研究坐標系統轉換參數的相關性分析。

GPS 單點定位的坐標以及相對定位中解算的基線向量屬于WGS-84 大地坐標系，而使用的測量成果一般都是屬于某一國家坐標系或地方坐標系[1]。所以應用中心必須進行坐標轉換，才能進行正常使用。 坐標系統之間的轉換包括不同參心大地坐標系統之間的轉換，參心大地坐標系統與地心大地坐標系之間的轉換以及大地坐標與高斯平面坐標之間的轉換等。進行兩個不同空間直角坐標系之間的坐標轉換，需要求出坐標系統之間的轉換參數。 因此需要進行轉換參數的相關性分析。

求解7 參數,當公共點多于3 個時,便可用最小二乘法來求解7 個轉換參數, 各個參數間相關性就可以由協方差元素求得, 即為Q 為求解7 個轉換參數所得到的協方差矩陣[2]。 參數組與參數組之間的相關性就稱為廣義相關性。 將7 個參數分成兩組,3個平移參數看成一組X,3 個旋轉參數和1 個尺度參數看成另一組,將求解7 個參數得到的協方差陣寫為:

x,y 的線性關聯陣Myx為：

若x,y 的相關秩為r,r=rk(Myx)=rk(x,y),求出Myx的特征根,非零特征根有r 個, 表示為λ1,λ2,…，λr則x,y 的廣義相關系數可以用以下幾種方式表示:

所以要證明七參數轉換模型中平移參數、 旋轉參數及尺度參數之間強相關性,只需證明其廣義相關系數接近1 即可[3]。

1 數據分析

在一區域GPS 網上，有公共點既有在WGS-84 坐標系上的坐標，又有在北京54 坐標系上的坐標。 假設在一個區域GPS 網內, 共有4個公共點,并且4 個公共點既有在WGS-S84 坐標系上的坐標, 又有在北京54 坐標系上的坐標,該網范圍: 南北約有130km;東西約有70k m對一個工程而言, 這是比較大的一個GPS 網, 可以相當于我國大城市所覆蓋的范圍了,但相對于地球來說卻是很小的一個區域。

表1 是四組公共點坐標。

采用最小二乘法，求解7 個參數，由公式：

求得，為了方便計算，其中平移參數單位取為m，旋轉參數單位取為1/30s，尺度參數單位取為k×10-6中的k。

表1 公共點坐標

根據公共點的坐標，我們可以算出七個參數的值。

下面就是一組七個參數的數值：

x=-1444716.36 ，y= 6366858.38，z=-2803229.13

α= -0.68020946，β=-0.96949331，γ=-0.00642779

k=-1.7404629

由七參數列出協方差陣為：

表2 參數轉換的協方差陣

2 坐標系統轉換參數之間的相關性分析

坐標系統轉換參數之間的相關性，對平移參數，旋轉參數，縮放參數之間的相關性分別進行分析。 目前，傳感技術與測量技術的迅速發展和普及，除了點位坐標外，獲取的同名信息種類也不斷的增加。相對定位技術提供高精度基線向量，自由度傳感器則可以直接提供各種姿態信息等，各種技術的測量精度也是有所差別，所以如何充分利用多傳感信息數據解算轉換參數將會是信息融合中的新問題。我們采用公共點點位的分析方法，去將各類同名信息逐一加以考察，即對平移、旋轉與縮放變換是否具有敏感性，從而可以確定其對相應轉換參數的貢獻量及其計算方法。

表3 參數之間的相關性

3 平移參數與旋轉和縮放參數之間的相關性

根據上文，我們分別定義平移參數為x0，y0，z0；旋轉參數為α，β，γ；縮放參數為k 。

根據表3 參數之間的相關性，就可以分別定義兩組參數：

通過計算，可以對上面兩組算得線性關聯矩陣為：

根據計算可以解出的特征根為：0，0，0，1。由此特征根可得線性關聯矩陣的秩為3。 然后根據廣義相關系數定義來解算，則由非零特征根可求出相關系數，Pi=1（i=①，②，...，⑤）。 由此我們可以得到的結論是平移參數與旋轉參數和縮放參數是強相關的。

4 平移參數與縮放參數之間的相關性

根據上文，我們分別定義平移參數為x0，y0，z0；縮放參數為k。

根據表1-3 參數之間的相關性，就可以分別定義兩組參數：

通過計算，對上面兩組算得線性關聯矩陣Mxy為：

所以解出的特征根為：1。 由此特征根可得線性關聯矩陣Mxy的秩.然后根據廣義相關系數定義來解算，則由非零特征根可求出相關系數，Pi=1（i=①，②，..，⑤）。 由此可以得到結論是平移參數和縮放參數是強相關的。

5 平移參數與旋轉參數之間的相關性

根據上文，我們分別定義平移參數為x0，y0，z0；旋轉參數為α，β，γ。

根據表3 參數之間的相關性，可以分別定義兩組參數：

通過計算，對上面兩組算得線性關聯矩陣為：

所以解出的特征根為：0，1，1，0。由此特征根可得線性關聯矩陣的秩.然后根據廣義相關系數定義來解算，則由非零特征根可求出相關系數，Pi=1（i=①，②，...，⑤）。 由此可以得到結論是平移參數與旋轉參數之間是強相關的。

6 縮放參數與旋轉參數之間的相關性

根據上文，我們分別定義旋轉參數為α，β，γ；縮放參數為k 。

根據表3 參數之間的相關性，可以分別定義兩組參數：

通過計算，對上面兩組算得線性關聯矩陣Mxy為：

解出的特征根為：0。由此特征根可得線性關聯矩陣的Mxy秩.然后根據廣義相關系數定義來解算，則由非零特征根可求出相關系數，Pi=1（i=①，②，...，⑤）。 故旋轉參數和縮放參數是完全不相關的。

綜合分析可得：通過上面幾個參數的相關性分析，在七參數轉換模型中，3 個平移參數與3 個旋轉參數及縮放參數之間是強相關的，平移參數和縮放參數是強相關的， 平移參數與旋轉參數是強相關的，旋轉參數和縮放參數是完全不相關的。

大部分的實際工程應用中, 測區一般都不是很大。 在同一測區測定兩次或者已知點坐標有微小的變化,由于七參數間的相關性,求出的參數在數值上可能將會差別很大, 如平移參數的變化可能達到很大。然而只要沒有粗差, 轉換殘差仍然會是很小, 所以轉換結果也不會有大的差異。 因此七參數轉換模型仍然是有效和可用的。 在小區域應用時, 旋轉參數和縮放參數對各點的影響基本一樣, 所起的作用可以包含在平移參數中的。

［1］余學祥,呂偉才.空間直角坐標的協因數陣轉換到高斯平面上的計算公式[J].測繪信息與工程,1997,22(4):18-21.

［2］楊元興.應用最小二乘法進行平面坐標轉換[J].地礦測繪,2010,26(1):44-45.

［3］郭秋英,胡振琪.GPS 衛星坐標的計算[J].全球定位系統,2006,13(4):13-14.