輔助函數法在微分中值定理中的應用

吳吟吟

（無錫職業技術學院 基礎部，江蘇 無錫214121）

0 引言

微分中值定理在內容上通常包括Rolle 中值定理、Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理, 后兩個定理都是通過構造輔助函數, 再借助Rolle 中值定理來證明的. 微分中值定理在分析學中極為重要, 一方面,它揭示了函數與導數之間的內在聯系, 奠定了導數應用的理論基礎；另一方面, 它可以用來證明眾多如下命題的成立：設f（x）在[a，b]上連續,（a，b）內可導, 則在（a，b）內至少存在一點ξ, 使某個含有f（ξ）、f′（ξ）、f″（ξ）的等式成立. 在應用微分中值定理的過程中, 大量使用輔助函數法, 其構造技巧既是重點, 又是難點. 本文擬通過對Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理證明中輔助函數做法的分析, 提煉出可以普遍使用的一般方法.

為了討論方便, 先將三個中值定理敘述如下：

Rolle 中值定理 設函數f(x)滿足下列三個條件：

（i）在閉區間[a,b]上連續；(ii)開區間(a,b)內可導；（iii）f(a)=f(b), 則在開區間(a,b)內至少存在一點ξ, 使得f′（ξ）=0.

Lagrange 中值定理 設函數f(x)滿足下列條件：

（i）在閉區間[a,b]上連續；（ii）在開區間(a,b)內可導, 則在(a,b)內至少存在一點ξ,使得：

Cauchy 中值定理 設函數f（x）,g（x）滿足下列條件：

（i）在閉區間[a,b]上連續；（ii）在開區間(a,b)內可導, 且g（b）-g（a）≠0, 和f′2（x）+g′2（x）≠0，?x∈（a，b）, 則在(a,b)內至少存在一點ξ, 使得：

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1 原函數法

將Lagrange 中值定理中所證結論（1）中ξ 換成x, 成為：

為了借助Rolle 中值定理, 需構造一個輔助函數F（x）, 使其導數為上述等式中不為零的一端. 為此, 可用積分的方法, 對上式兩邊積分可得：

由于F′（x）=0?F′（x）=C, 故移項使等式一端為C, 則：

容易驗證F（x）在[a，b]上滿足Rolle 中值定理的條件, 因此它可以作為證明Lagrange 中值定理所作的輔助函數.

這種方法是通過不定積分反求出原函數, 故可以稱為原函數法,適用于采用Rolle 中值定理證明結論為某一函數的導函數的零點問題. 其步驟可以總結為：

（1）將所證結論中的ξ 換成x；

（2）通過恒等變形將結論轉換為易積分的形式并兩邊積分；

（3）移項, 使等式一邊為積分常數C, 則另一邊即為所作的輔助函數.

例1 設函數f（x）在[1,2]上連續, 在(1,2)內可導, 且f（x）≠0, 又f（1）=f（2）=0. 證明：存在ξ∈（1，2）, 使得

分析 將所證結論中的ξ 換成x, 再兩邊積分可得f（x）=Ce3x.

整理后得到e-3xf（x）=C, 于是可以構造輔助函數F（x）=e-3xf（x）, 滿足Rolle 中值定理, 由F′（ξ）=e-3xf′（x）-3e-3xf（x）可得結論成立.

2 待定系數法

從λ 的定義可得F（a）=F（b）. 在[a,b]上對F 用Rolle 中值定理, 知道有ξ∈（a，b）滿足F′（ξ）=0, 這就是

這種方法將所證結論中的唯一微分中值換成確定常數λ, 故可以稱為待定系數法. 其步驟可以總結如下：

（1）將所證結論中的唯一微分中值, 用常數λ 表示.

（2）代入所證結論, 移項(積分)得輔助函數（有時需將代表區間端點的常數替換為x）.

例3 設函數f（x）在[a,b]上二階可導,f（a）=f（b）. 證明：對每個x∈（a，b）, 存在ξ∈（a，b）, 使得：

由條件f（a）=f（b）=0 得到F（a）=F（b）=0, 由λ 的定義還可以得到F（x）=0. 在區間[a,x]和[x,b]上分別對F 用Rolle 中值定理得到ξ1∈（a，x）,ξ2∈（x，b）,使F′（ξ1）=F′（ξ2）=0. 再在[ξ1，ξ2]上對F′用Rolle 中值定理可得結論成立.

例4 設f（x）在(0,1)內有三階連續導數, 0＜a＜b＜1. 證明：存在ξ∈（a，b）, 使：

分析 在結論（4）中求出f″′（ξ）, 令其為λ, 即：

于是只要證明存在ξ∈（a，b）, 使得f″′（ξ）=λ.

為了構造輔助函數, 我們可將f″′（ξ）=λ 代入(4)式, 并令b=x, 移項便可構造出輔助函數：

則F（a）=0, 由λ 的定義還可以得到F（b）=0. 在區間[a, b]上對F用Rolle 中值定理得到η∈（a，b）, 使f′（η）=0.

［1］華東師范大學數學系. 數學分析(上冊) [M].北京:高等教育出版社，1991.

［2］朱崇軍.微分中值定理應用中輔助函數的構造[J].高等函授學報：自然科學版，2008，2，22（1）:18-20.

［3］謝惠民，惲自求，易法槐，錢定邊.數學分析習題課講義[M].北京：高等教育出版社，2004.