智力游戲中的數學模型研究

李 陽 門 博

（沈陽師范大學，遼寧 沈陽 110034）

1 課題研究的背景及意義

隨著人們對教育的逐步重視，探索新型的教育模式已經成為教育發展的新要求。為了能夠使學生主動參與到數學探究式學習中去，教育者就必須考慮在原有的教育模式上進行創新，必須明白智力游戲在數學教學中的重要作用。因此，應用游戲中的數學模型來啟發學生的學習顯得尤為重要。

數學建模是數學研究的重要方法，它是溝通數學知識與實踐的重要橋梁。通過對游戲中的數學模型教學研究，可以推進學生對數學建模知識的學習，促進探究能力的提高。游戲中的數學模型研究，能更好的將數學知識與實際聯系起來，讓學生體會到數學的價值，提高學生應用數學，學習數學的興趣，詣在為學校教育建設提供寶貴的意見。

2 探究過程

2.1 前期階段

2.1.1 查看并整理有關不同種類的智力游戲的網絡資料及書籍，統計出所有智力游戲中應用數學建模方法的模型實例。

2.1.2 對不同的智力游戲進行整合，分析其在實際教學中的作用。

2.1.3 分析典型實例，建立對應的數學模型，并注意與中學數學研究性課題銜接，為學生提供更多的教育模式，讓更多的學生參與到數學模型研究性學習中。

2.2 數學模型構建與求解階段：

問題：把一張壹佰元的紙幣兌換成伍拾元、拾元、伍元、貳元和壹元的紙幣，所有的兌換種數有多少[3]？

分析：解此題需要運用數學建模的方法，這個問題的數學模型為：

其中u，v 分別代表伍拾元和拾元的紙幣張數，x，y，z 代表伍元，貳元和壹元的紙幣張數，顯然，u 只能取0，1，2 三種可能。

(Ⅰ)當u=2，只有一種兌換方法﹛2，0，0，0，0﹜；

（Ⅱ）當u=1，(1.1)歸為：

v 有六種取值可能：5，4，3，2，1，0.

當v=5，只有唯一解﹛1，5，0，0，0﹜；

顯然，在（1.2.1）中，x 只可能取值為0，1，2

當x=2 時，必有y=z=0，所以（1.2.1）有一個解為﹛2，0，0﹜；

當x=1 時，（1.2.1）成為：

令y 分別為0，1，2 可得（1.2.2）有3 個不同的解，記為（1.2.2）—3.

當x=1 時，（1.2.1）成為：

令y 分別為0，1，…，5 可得（1.2.3）有6 個不同的解，記為（1.2.3）—6.

所以，方程（1.2.1）有10 個不同解，記為（1.2.1）—10.

利用如上解法，可得（1.2.4）有29 個解，記為（1.2.4）—29；

當v=2，歸為30=5x+2y+z，根據表1-1 及求解規則得1+3+6+8+11+13+16=58 個解；

當v=1，歸為40=5x+2y+z，可得97 個解；

當v=0，歸為50=5x+2y+z，可得146 個解；

所以，（1.2）有341 個解，記為（1.2）—341.

顯然，v 可取值為10，9，…，0，當v 值取定后，問題歸到（1.2.1）型：

經過簡單的運算，可得到（1.3）解的個數。我們略去計算過程，列出一個簡單的表1：

表1

把表1 最后一行上的11 個數字相加，就得到（1.3）有2156 個解。

最后，(Ⅰ)、（Ⅱ）、(Ⅲ)三類合起來，得（1.1）有2498 個解，也即壹佰元的兌換方法有2498 種。

［1］喬建中.教學模式新探[M].安徽人民出版社，2010.

［2］姜啟源.數學模型[M].高等教育出版社，1999.

［3］倪進，朱明書.數學與智力游戲[M].大連理工大學出版社，2008，4.