工業機器人運動學逆解的幾何求解方法

黃晨華

HUANG Chen-hua

（韶關學院 物理與機電工程學院，韶關 512005）

0 引言

工業機器人的運動學是工業機器人控制與軌跡規劃的基礎，其內容包括正運動學和逆運動學。當給定機器人所有關節轉過的角度時，可以通過機器人的正動學方程來確定其末端操作器的位解；當已知機器人末端操作器的位置時，則可根據運行學逆解獲得各關節需轉過后角度。機器人運動學建模的標準方法，即D-H建模，可以很方便地得到機器人的正運動學方程，而要獲得機器人的逆運動學方程，則難度較大，求解的方法可以分成兩大類：數值解和封閉解。Tsai[2]等研究了通用的6自由度和5自由度的機械臂的數值解，Nakamura[3]等研究了適用了機器人控制的帶有奇點魯棒控制的數值逆解，Baker[4]等研究了冗余機械臂的數值逆解，數值解的最大不足就是計算時比較耗時，對系統造成較大的負擔。封閉解是基于解析形式的解法，其又可分為代數法和幾何法，用代數法求逆解在很多機器人經典教材和文獻中都有詳細的論述[5～7]，在此不作具體討論，劉達[8]等為了使機器人獲得更好的實時性，提出了一種解析和數值相結合的機器人逆解算法，陳慶誠[9]等提出基于旋量理論的逆運動學子問題求解算法。用幾何法求解機器人運動學逆解，則少有文獻作詳細論述，以5自由度工業機器人為例，對幾何法作深入的探討。

1 機器人結構

機器人有五自由度，最后2關節相交一點，從結構上分析，此機器人存在運動學逆解。機器人的實物圖如圖1所示，各關節坐標如圖2所示。機器人的DH參數如表1所示。

圖1 5自由度機器人

圖2 機器人關節坐標設置

表1 機器人DH參數

各關節間的變換矩陣為：

式中，cθi=cosθi，sθi=sinθi。

2 機器人運動學逆解

2.1 幾何解法[10]

使用幾何法獲得機器人逆解的首要條件是機器人存在封閉解，現在機器人在結構上一般都能滿足這一要求。求解過程如下：

1)分析機器人各自由度對機器人位姿的影響，即哪些自由度的變化只影響機器人末端操作器的位置，哪些自由度的變化只影響機器人末端操作器的姿態；

2)求機器人的位置逆解方程，忽略對機器人位置沒有影響的結構，在機器人的基坐標內求位置逆解方程；

3)求機器人的姿態逆解方程，利用已求解的位置解，通過矩陣變換，可很方便地求出姿態逆解。

2.2 機器人逆解的幾何求法

由圖2可知，機器人的最后兩個關節相交于一點，為計算簡便，把機器人的工具坐標也設于此點，且與最后一關節坐標重合。

設末端操作器的位置坐標值為(xe,ye,ze)，姿態用歐拉角表示，其姿態矩陣為：

2.2.1 位置逆解求解

與位置相關關節變量有 θ1，θ2和 θ3，參考機器人結構示意圖（如圖3所示），分別用幾何法求解。

1）θ1求解

機器人的結構投影如圖4所示。

圖3 機器人結構示意圖

圖4 關節1在x0-y0平面的投影

由圖4可得：

或：

2）θ2，θ3求解

圖5 關節2、3在z0-r平面的投影

由圖5中的幾何關系，可得：

則有：

因此：

同理：

2.2.2 姿態逆解求解

由各關節的變換矩陣有：

因 θ1，θ2，θ3已求得，且T為已知，對上式進行變換，有：

因篇幅有限，具體推算過程略，計算結果如下：

式中：

式中：

3 仿真驗證

假設機器人各關節的轉動不受任何限制，首先設各關節的轉動任意角度，具體數值如表2所示，利用機器人正運動學方程，獲得機器人末端操作器的位置和姿態，然后此位置和姿態，用所求得的逆解方程求各相應的轉角，看與預先假設的各關節的轉角是否相等。從表3的數值可以得出，用幾何法所獲得的機器人逆解是正確的。需要說明的是為了仿真程序編寫簡單，仿真的數據均限制在[0,1]之間，但不影響結論的正確性。

表2 各關節轉角假設值(rad)

表3 逆解方程所求得的各轉角(rad)

4 結論

針對工業機器人運動學逆解求解的問題，以5自由度機器人為例，深入探討了幾何法求逆的方法和過程，并以仿真的手段驗證了方法的可行性。從求解過程中，可得出幾何法求逆具有以下特點：1)直觀、簡便，只需進行簡單的幾何推導即可獲得位置逆解；2)計算量小，姿態逆解只需一步矩陣運算即可求得。

[1]Denavit,J.,R.,Hartenberg S..A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices[J].ASME Journal of Applied Mechanics,June 1955,215-221.

[2]Tsai L.,Morgan A..Solving the Kinematics of the Most General Six-and Five-degree-of-freedom Manipulators by Continuation Methods[A].ASME Mechanisms Conference[C].Boston,Oct.7-10,1984,84-DET-20.

[3]Nakamura Y.,Hanafusa H..Inverse Kinematic Solutions with Singularity Robustness for Robot Manipulator Control[J].ASME Journal of Dynamic Systems,Measurement,and Control,1986,108.

[4]Baker D.,Wampler C..On the Inverse Kinematics of Redundant Manipulators[J].International Journal of Robotics Research,1988,7(2).

[5]Saeed B.Niku.Introduction to Robotics Analysis,Control,Applications(Second Edition)[M].Beijing,Publishing House of Electronics Industry,2013,3:66-70.

[6]John J.Craig.Introduction to Robotics Mechanics and Control(Third Edition)[M].Beijing,China Machine Press,2013:83-86.

[7]王戰中,楊長建,劉超穎,等.MATLAB環境下六自由度焊接機器人運動學逆解及優化[J].機械設計與制造,2013(7):182-184.

[8]劉 達,王田苗.一種解析和數值相結合的機器人逆解算法[J].北京航空航天大學學報,2007(6):728-730.

[9]陳慶誠,朱世強,王宣銀.基于旋量理論的串聯機器人逆解子問題求解算法[J].浙江大學學報(工學版),2014(1):8-14.

[10]Lee C.S.G.,Ziegler M..Geometric Approach in Solving Inverse Kinematics of PUMA Robots[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1984,AES-20(6).