從一個案例看高等數學教學中數學建模思想的滲透

黃 剛

摘? 要：教學需要不斷地改革，將數學建模的思想方法融入高等數學教學之中，挖掘高等數學在建模方面的案例，通過案例教學滲透數學建模的思想方法，提高學生應用數學思想方法解決問題的能力。

關鍵詞：高等數學;數學建模;案例;滲透

一、數學建模思想方法

采用數學的語言描述事物就稱之為數學模型。嚴格的數學語言描述各種現象，會使所描述的實際現象更具有科學性、邏輯性、客觀性和可重復性。用抽象的數學模型替代實際物體的實驗，也是實際操作的理論模式替代。數學建模思想方法是把實際問題用數學語言進行抽象概括，用數學的方式反映或者近似地刻畫實際問題，得到實際問題的數學化描述。數學建模屬于應用數學，其過程是要將實際問題經過分析、簡化及轉化成一個數學問題，之后用數學的方法解決，或得到更多地結果，再經過實際問題的檢驗。數學建模是解決實際問題的一種強有力的數學手段，它可以培養學生閱讀理解實際材料、獲取有用信息、建立數學模型、得出數學結論、進而解決實際問題的能力。高等數學課程中就有很多這類好的案例，通過案例教學滲透數學建模的思想方法。

二、高等數學教學中一個數學建模案例——導數及其應用

案例教學要經過課前周密的策劃和準備，通過分析、比較，研究各種各樣的成功的和失敗的管理經驗，從中抽象出某些一般性的管理結論或管理原理來豐富自己的知識。用特定的案例并指導學生提前閱讀，組織學生開展討論或爭論，形成反復的互動與交流，案例教學一般要結合一定理論，通過各種信息、知識、經驗、觀點的碰撞來達到啟示理論和啟迪思維的目的。

導數理論體系的建立及應用是高等數學教學中很好的一個數學建模案例。

（一）導數的原型和概念。導數是微積分的核心概念之一，它有其物理原型和數學原型，是通過解決物理的速度和加速度以及曲線切線的幾何問題而抽象出來的，是特殊的極限，物體在時刻t0的瞬時速度是平均速度的極限V■=■V■=■■=■■，割線PQ的斜率k′的極限k就應是曲線過點P的切線斜率k=■■=■■，兩者的實際意義完全不同，從數學角度來看，它們數學結構完全相同，都是函數增量與自變量增量比值■的極限（當△x→0），是函數變化快慢程度的反映，其定義為：設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內定義，且當自變量x在x0取得增量△x時。若極限■■==■■存在，則稱函數y=f（x）在點x=x0處可導（或存在導數），稱極限值為函數y=f（x）在點x=x0處的導數（或微商），記為f′（x0）或????????????? 若極限■■==■■不存在，則稱函數f（x）在點x0處不可導。

（二）導數與微分的理論體系。函數y=f（x）在點x=x0處的導數是一個構造性的定義，它是連續的充分而不必要條件，由定義得到導數四則運算的法則、復合函數的鏈式求導法則、反函數的導數，從而得到6個基本初等函數的導數，進而解決了初等函數的導數問題。函數y=f（x）在點x=x0處的導數的充分必要條件是左右導數存在且相等。以上理論主要用來討論函數在一點的導數或導函數的計算問題。

微分的理論有：函數y=f（x）在點x=x0處的充分必要條件是函數y=f（x）在點x=x0處可微，建立了函數改變量與導數（微分）的近似關系，微分的洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式，建立了函數與導數的公式關系，或是將函數近似表系數為各階導數的多項式，借用導數的性質來解決函數問題。

（三）導數的廣泛應用。應用導數解決的問題是廣泛的，基本應用是解決函數曲線問題，利用微分理論將函數問題轉化為利用導數的性質給予解決，很多問題只需用到一、二階導數的正負號就能解決，導數不僅在數學上，而且在物理學，經濟學等領域都有廣泛的應用，也是開展科學研究必不可少的工具。

（四）案例教學中滲透數學建模思想的處理。教學中不僅要有過程的知識性教學，從實例抽象出概念及理論體系的建立再到數學理論的應用，更要有建構知識體系的數學思想方法提升，有意識有目的滲透數學建模的過程和思想方法;教學中不僅是教師的系統講授和思想滲透，更要促使學生去領悟和掌握，有整體把握也有細微處理，學習和實踐，會應用來解決實際問題。

高等數學教學的目的是提高教學質量，更是促使學生數學素養的提升，通過案例滲透數學數學建模思想方法是一種有效的做法。