一類共形平坦的(α，β)-度量的研究

程新躍，李海霞

(重慶理工大學數學與統計學院學院，重慶 400054)

芬斯勒幾何中有很多重要的非黎曼幾何性質。一個是基本的幾何量——嘉當張量C，另一個就是由Busemann-Hausdorff體積形式確定的撓率τ。對每個切空間中的撓率τ作豎直微分就得到了平均嘉當張量I∶=τykdxk。C、τ和I是一類將芬斯勒幾何和黎曼幾何區分開來的重要幾何量。將C沿測地線進行微分得到Landsberg曲率L。τ沿測地線的水平斜變導數是S-曲率S∶=τ|kyk。將I沿測地線作水平斜變導數得到平均Landsberg曲率J∶=I|kyk。如果說黎曼曲率刻畫了空間的形狀，那么非黎曼幾何量則描述了這個空間的色彩變化，所以芬斯勒空間是一個“充滿色彩”的幾何空間。研究發現:旗曲率與這些非黎曼幾何量密切相關［8-9］。

通過上述定義可知:J/I可以看作是平均嘉當張量沿著測地線的相對變化率。芬斯勒流形M上的一個芬斯勒度量F如果滿足J+cFI=0，則稱它具有相對迷向的平均Landsberg曲率，這里c=c(x)是M上的標量函數。特別地，當c=0時，J=0，此時F稱為弱Landsberg度量。許多芬斯勒度量滿足J+cFI=0［8-10］。李本伶等［11］刻畫了弱Landsberg的(α，β)-度量F，并給出了在流形維數大于2的情形中存在是弱Landsberg而非Landsberg度量的例子。本文針對文獻［12］研究和刻畫了具有相對迷向的平均Landsberg曲率的(α，β)-度量。本文首先研究了共形平坦的弱Landsberg的(α，β)-度量，并得到定理1。

定理1 芬斯勒流形M上任意共性平坦的弱Landsberg的(α，β)-度量一定是黎曼度量或閔可夫斯基度量。

進一步研究了共形平坦且具有相對迷向的平均Landsberg曲率的(α，β)-度量，得到定理2。

1 預備知識

設M是一個n維的光滑流形，TM是M上的切叢。芬斯勒度量F是TM上的函數，即 F∶TM→［0，∞)，且滿足:①F在TM{0}上是光滑的;② 對任一點x∈M，Fx(y)∶=F(x，y)是TxM上的一個閔可夫斯基范數。稱(M，F)是一個n維芬斯勒流形。

設(M，F)是一個芬斯勒流形，且

給定一個芬斯勒度量F，測地線可以由如下二階常微分方程描述:

這里

且(gij)=(gij)-1，Gi稱作F的測地系數。

設

定義TM{0}上的雙線性張量C∶=Cijk(x，y)dxi?dxj?dxk，稱C為嘉當張量。平均嘉當張量I=Iidxi定義為

進一步有［8-9］

在 TM{0}上，Landsberg 曲率 L∶=Lijkdxi?dxj?dxk，Lijk∶=Cijk|mym。L 可以進一步表示為

滿足Lijk=0的芬斯勒度量稱為Landsberg度量。

平均Landsberg曲率J∶=Jidxi定義為

容易看出Ji=Ii|mym。滿足J=0的芬斯勒度量F稱為是弱Landsberg度量。更一般地，如果F滿足J+cFI=0，那么稱它為具有相對迷向的平均Landsberg曲率，這里c=c(x)是流形的上的標量函數。

流形M上的芬斯勒度量(α，β)-度量具有以下形式:

特別地，當φ=1+s時，F=αφ(β/α)是一個 Randers度量 F=α+β。我們用“|”表示關于 α的水平協變導數。

定義

將F和α在相同坐標系下的測地系數分別記為Gi和Giα，則有［13］

這里 yj=aijyi。

2 定理1的證明

現在證明主要定理。首先提出關于(α，β)-度量的平均嘉當張量的引理。

引理 1［12］對于(α，β)- 度量，平均嘉當張量

由Deicke定理，芬斯勒度量是黎曼度量，當且僅當I=0。由式(5)和φ(s)＞0，有φ(s)-sφ'＞0(|s|≤b＜b0)。因此，由引理1可以得到引理2。

引理2［12］(α，β)-度量F是黎曼度量，當且僅當 Φ=0。

令 J∶=Jjbj，由式(7)有引理 3。

引理 3［11］對(α，β)-度量，J可由式(9)給出:

由式(7)和(8)可得［12］

進一步地可得引理4和5。

引理4［14］(α，β)-度量是局部閔可夫斯基度量，當且僅當α是平坦的且bi|j=0(β關于α是平行的)。

引理5 如果φ=φ(s)滿足Ψ1=0，那么F是黎曼度量。

證明 由 Ψ1=0，即，得到那么對|s|≤b ＜ b0，是一個常數。令s=b得到Λ(s)=0。因此Λ(s)≡0，得Φ=0。由引理2知F是黎曼度量。

如果φ=φ(s)滿足b2Q+s=0，得到這里k是一個與 s無關的常數。所以有引理6。

引理6 如果φ是關于s的多項式，那么b2Q+s≠0。

現在假設F=αφ(β/α)是共形平坦的，即F共形相關于一個閔可夫斯基度量那么存在流形上的一個標量函數σ=σ(x)使得=eσ(x)F。有

等價于

因此得到

進一步有

由式(17)很容易看出，對于共形平坦的(α，β)-度量，有

為了克服計算中的困難，在任意點x處取關于α的標準正交基，使得

這里 b∶= ‖βx‖α，在 TxM 上作坐標變換［15］ψ∶(s，uA)→(yi)，可得

由式(13)～(17)、(19)、(20)有

現在證明定理1。

假設F是一個弱Landsberg度量，那么它滿足J=0。把r0+s0=0代入式(9)中，得到Ψ1=0或r00-2αQs0=0。

如果Ψ1=0，由引理5可得F是黎曼的。

如果 r00-2αQs0=0，由式(20)～(22)可得

進一步可得

如果φ=φ(s)滿足b2Q+s=0，由引理6的證明知F是黎曼的。如果b2Q+s≠0，那么σA=0，加上前面證明的σ1=0可得σ=常數。所以F是閔可夫斯基度量。

3 定理2的證明

假設(α，β)-度量F共形平坦，且具有相對迷向的平均Landsberg曲率。由式(10)和r0+s0=0，可得

令式(27)中j=1，可得

把式(20)～(26)代入(28)中，并乘以2Δ(b2-s2)5/2，可得

由式(29)知

根據 Δ =Q'(b2-s2)+sQ+1，式(31)可簡化為(b2Ψ1ΔQ+Ψ1Δs)=0，即

令式(27)中j=A，可得

將式 (20)～(26)代入(33)，使用與j=1情形中同樣的方法，得到

很容易看出式(35)和(30)相同。進一步地，將式(34)乘以uA，得到

可以看出式(36)等價于式(32)。

綜上，共形平坦且具有相對迷向平均Landsberg曲率的(α，β)-度量滿足式(30)和式(32)。

由引理6知b2Q+s≠0。由式(32)可知，Ψ1=0或σA=0。如果Ψ1=0，由引理5知F是黎曼的。根據引理2，Φ=0，因此式(30)成立。如果 Ψ1≠0，那么 σA=0。接著，從式(30)出發，證明當 Ψ1≠0時，σ1=0。

由假設知φ(s)是關于s的多項式。設

這里 a1，a2，…，am是跟 s無關的數，并且am≠0。

首先，考慮在式(38)中m＞1的情形。簡化式(30)，并乘以Δ2，得

將式(37)代入式(38)，并乘以2(-1+a2s2+2a3s3+…+(m-1)amsm)，通過Maple程序，得到

這里k1、k2、k3是跟m無關的常數。例如

當 m=100 時，k1=-19 794 060 593 980 200，k2=-156 773 780 240 111 397，k3=2 969 406 029。ηi(1≤i≤7)是關于 a1、a2、a3和 a4的多項式，且與 s和 m 無關，

從式(40)中可以看出k1nbca=0，因此有c=0。由式(30)可得σ1=0。加上前面證明的σA=0，可知σ是個常數，則F是一個閔可夫斯基度量。

其次，考慮式(37)中m=1的情形。在這種情況下，F是一個Randers度量。在文獻［10］中，筆者和沈忠民教授已經證明了Randers度量F=α+β具有相對迷向平均Landsberg曲率，當且僅當它具有迷向S-曲率(S=(n+1)cF)而且β是閉的。進一步地，在文獻［5］中，證明了共形平坦且具有幾乎迷向的S-曲率一定是黎曼度量或者閔可夫斯基度量。因此，對于Randers度量定理2是成立的。至此完成了定理2的證明。

［1］Bacso S，Cheng X.Finsler conformal transformalations and the curvature invariances［J］.Publ Math Debrecen，2007，70(1/2):221-231.

［2］Ichijy Y，Hashuiguchi M.On the condition that a Randers space be conformally flat［J］.Rep Fac Sci Kagoshima Univ，1989，22:7-14.

［3］Kikuchi S.On the condition that a Finsler space be conformally flat［J］.Tensor N S，1994，55:97-100.

［4］Hojo S，Matsumoto M，Okubo K.Theory of conformally Berwald Finsler spaces and its applications to(α，β)-metrics［J］，Balkan J.of Geometry and Its Applications，2000，5(1):107-118.

［5］Kang L.On conformally flat Randers metrics(in Chinese)［J］，Sci Sin Math，2011，41(5):439-446.

［6］田艷芳，程新躍.一類具有指數形式的Einstein(α，β)-度量［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2011，25(4):112-116.

［7］Chen G，Cheng X.An important class of conformally flat weak Einstein Finsler metrics［J］.International Journal of Mathematics，2013，24(1).

［8］Cheng X，Mo X，Shen Z.On the flag curvature of Finsler metrics of scalar curvature［J］.London Math So，2003，68(2):762-780.

［9］Shen Z.On a class of Landsberg metrics in Finsler Geometry［J］.Canadian Journal of Mathematics，2009，61(6):1357-1374.

［10］Cheng X，Shen Z.Randers metrics with special curvature propertities［J］.Osaka J Math，2003，40:87-101.

［11］Li B L，Shen Z.On a class of weak Landsberg metrics［J］.Science in China Series A，2007，50(1):75-85.

［12］Cheng X，Wang H，Wang M.(α，β)-metrics with relatively isotropic mean Landsberg curvature［J］.Publ Math Debrecen，2008，72(3/4):475-485.

［13］Chern S S，Shen Z.Riemann-Finsler Geometry，Nankai Tracts in Mathematics［M］.Singapore:World Scientific，2005.

［14］Antonelli P L，Ingarden R S，Matsumoto M.The Theory of Sprays and Finsler Spaces with Applications in Physics and Biology［M］.New York:Springer，1993.

［15］Cheng X，Shen Z.A class of Finsler metrics with isotropic Scurvature［J］.Israel Journal of Mathematics，2009，169(1):317-340.