用圖解法確定平面彎曲梁的彎矩

閆志琴

（晉中學(xué)院機(jī)械學(xué)院，山西 榆次 030619）

引言

梁有橫力彎曲和純彎曲兩種彎曲形式。梁在不同彎曲形式下危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度（此處只研究正應(yīng)力情況下的）、剛度的計(jì)算、校核需確定相應(yīng)梁橫截面上的內(nèi)力，即：純彎曲梁段需求相應(yīng)的彎矩值M，橫力彎曲段需確定相應(yīng)梁截面處的M（x）。

傳統(tǒng)的彎矩確定方法是采用“截面法”或“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”。

1）“截面法”的解題思路。首先，通過系統(tǒng)受力分析及靜力平衡式求解梁約束反力；接著，在需求截面處假想將梁截開，結(jié)合研究梁段截面處內(nèi)力假定正方向規(guī)則標(biāo)識內(nèi)力的受力分析、列出截面處的彎矩方程并結(jié)合數(shù)學(xué)理論分析，求出相應(yīng)的彎矩值，其間需多次截?cái)嗔?，并對梁段多次受力分析和靜力平衡式計(jì)算；最后，作彎矩圖，以直觀表述梁各截面處的彎矩值，并進(jìn)行相應(yīng)危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度、剛度計(jì)算和校核。

2）“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”的解題思路。首先，通過系統(tǒng)受力分析及靜力平衡式求解梁約束反力；接著，通過載荷集度與剪力間的微分方程關(guān)系，結(jié)合剪力突變特征、口算，快速繪制出剪力圖（筆者采用此方法繪制剪力圖）；最后，通過載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程關(guān)系，結(jié)合多個(gè)截開梁段截面處內(nèi)力假定正方向規(guī)則標(biāo)識內(nèi)力的多次受力分析、多次彎矩靜力平衡式及剪力圖特征和彎矩突變特征繪制出彎矩圖，以直觀表述梁各截面處的彎矩值，并進(jìn)行相應(yīng)危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度、剛度計(jì)算和校核。

如上兩種解題方法的缺點(diǎn)有三個(gè)，一是需多次繪制各研究梁段的受力分析圖；二是計(jì)算太過冗長；三是截面處假定內(nèi)力的正、負(fù)號確定原則和列式中應(yīng)遵循的正、負(fù)號原則交互繁雜，因而此過程極易導(dǎo)致出錯(cuò)。

本文采用圖解法解題。首先，只需一次系統(tǒng)受力分析求解梁約束反力；接著，借助載荷集度與剪力間的微分方程關(guān)系，結(jié)合剪力突變特征、口算，快速繪制剪力圖；最后，計(jì)算梁上任意截面處的剪力圖所圍面積總和，及相應(yīng)截面處施加的集中力偶矩的突變性，實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確計(jì)算特征點(diǎn)的彎矩值和完整繪制彎矩圖。此方法可避免由多次交互、繁雜確定力的符號、列式及計(jì)算而致的筆誤。

1 圖解法解題思路及步驟

1）建立x－M直角坐標(biāo)系。坐標(biāo)原點(diǎn)建立在梁端處；x軸為橫坐標(biāo)，其反映梁各截面位置及梁長；M軸為縱坐標(biāo)，其反映梁各截面處所對應(yīng)的彎矩值。

2）將截面梁分段。根據(jù)梁上相鄰兩力（主矢力和力偶矩）作用點(diǎn)之間為一段的原則初分段，并標(biāo)注在x軸上。

3）梁上有外加集中力偶矩作用的截面處，彎矩值有突變，突變量為其代數(shù)值。

4）梁上外加集中力偶矩正負(fù)號確定規(guī)則。若梁上力偶矩為順鐘向旋轉(zhuǎn)，則彎矩值為正；反之為負(fù)值。

5）邊界條件法確定梁端特征彎矩值。若“簡支梁兩鉸支處”、“懸臂梁最外伸出端處”、“外伸梁梁端鉸支處、外伸端處”無外加集中力偶矩作用，則其對應(yīng)點(diǎn)處的彎矩值均為零；若“簡支梁兩鉸支處”、“懸臂梁最外伸出端處”、“外伸梁梁端鉸支處、外伸端處”有外加集中力偶矩作用，則其對應(yīng)點(diǎn)處的彎矩值為外加力偶矩的代數(shù)值。

6）借助剪力圖上所圍區(qū)域面積的形狀、代數(shù)值總和及相應(yīng)截面處的外加力偶矩（見表1 和表2），計(jì)算特征點(diǎn)（分段點(diǎn)、外加集中力偶矩點(diǎn)和極值點(diǎn)）處的彎矩值，并結(jié)合彎矩圖圖形線特征，最終快速、準(zhǔn)確完成彎矩圖。

表1 研究區(qū)段剪力圖圖形與彎矩圖圖形線間的關(guān)系

表2 各截面處外加力偶矩與相應(yīng)截面處彎矩值間的關(guān)系

2 樣例

1）已知梁的受載情況、梁尺寸（見圖1［1］），試做梁的彎矩圖。

圖1 梁的受載情況

2）解題思路及過程。系統(tǒng)受力分析（見圖2），由靜力平衡式得支座約束反力分別為FB＝40kN，F(xiàn)D＝80kN。借助載荷集度與剪力間的微分方程關(guān)系，結(jié)合剪力突變特征繪制剪力（Fs）圖（見圖3）。

圖2 系統(tǒng)受力分析

圖3 剪力突變特征圖

3）圖解法繪制彎矩圖（見表3）。

綜上所述即繪得：梁的彎矩（M）圖（見圖4）。

圖4 梁的彎矩圖

表3 圖解法繪制彎矩圖的思路及過程

3 結(jié)論

1）此題用“截面法”、“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”的解析法準(zhǔn)確、完整繪制彎矩圖用時(shí)分別為300s、170s，而用圖解法繪制彎矩圖用時(shí)82s。對復(fù)雜受力梁彎矩圖的繪制更能凸顯圖解法的快速、準(zhǔn)確性。

2）本文解題方法中的理論觀點(diǎn)和思路簡單、清晰、明了，能夠使學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)形成深刻記憶。

3）本文解題方法可避免教師講授“截面法”或“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”繁雜內(nèi)力假定規(guī)則下的列式原理以及反復(fù)列式和冗長計(jì)算，也可避免學(xué)生以傳統(tǒng)解答方式練兵學(xué)習(xí)過程擠占本就不足的課時(shí)。

4）本文解題方法的準(zhǔn)確性與快捷性可大大縮減教師和學(xué)生用傳統(tǒng)的“解析法”在“彎曲內(nèi)力、彎曲應(yīng)力、彎曲變形”這三個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)總學(xué)時(shí)，筆者結(jié)合此“圖解法”在這三章的教學(xué)中僅用了總學(xué)時(shí)的一半時(shí)長，且效果良好。

5）本文解題方法具有普遍性，不論是簡支梁、懸臂梁、外伸梁、靜定梁、超靜定梁，還是不同的載荷作用方式都適用。

［1］茍文選.材料力學(xué)（Ⅰ）［M］.第二版.北京：科學(xué)出版社，2010：159.