基于ARIMA-BP神經網絡的組合模型在地基沉降預測中的應用研究

鄒進貴，肖揚宣，張士勇

(1.武漢大學測繪學院，湖北 武漢430079;2.精密工程與工業測量國家測繪地理信息局重點實驗室，湖北武漢430079)

一、引 言

工程設計、施工、竣工后的沉降監測與控制極為重要，如果對軟土地基沉降的預測不準確，則可能導致建筑物的功能失效，甚至造成坍塌等嚴重事故。現階段，大多數組合預測方法是通過權系數把若干種不同單一方法加權組合進行預測，能夠在一定程度上提高預測精度。本文對基于ARIMA-BP神經網絡的3種組合預測模型進行了研究，并根據某地基沉降數據進行了預測研究，對3種方法的預測結果與精度進行了分析。

二、單一預測模型

1.時間序列分析法

時間序列分析法是利用數據的自相關性建立相對最優的模型來分析客觀現象的動態特征［1］。時間序列分析的目的是認識產生觀測序列的隨機機制，再基于序列歷史數據，對序列未來的可能取值給出預測或預報［2］。其主要模型為ARIMA(auto regressive integrated moving average)模型。

如果一個時間序列 Yt{ }的d次差分Wt=ΔdYt是一個平穩的ARMA過程，則稱 Yt{}為自回歸滑動平均求和模型，記為ARIMA(p，d，q)，其中d為差分次數。

ARIMA模型的通用表達式為

式中，φ1，φ2，…，φp是自回歸系數;p是自回歸階次，θ1，θ2，…，θq是滑動平均系數;q是滑動平均階次;et是白噪聲序列，該模型通常表示為ARIMA(p，d，q)，其中d為差分階次。

ARIMA模型的建模及預測過程分為以下幾個步驟。

1)模型識別:檢驗序列的平穩性，對非平穩序列進行差分處理，再對模型定階。

2)參數估計:對模型φ，θ等系數進行估計。通常采用最小二乘估計、極大似然估計等。

3)模型診斷:進行模型適用性檢驗，分析擬合模型的殘差。

4)預測:用所得時間序列模型進行預測。

2.BP神經網絡法

BP神經網絡是人工神經網絡中使用最多的一種網絡。BP(back-propagation)是前饋的意思，該網絡由3層組成:輸入層、隱含層和輸出層［3］，如圖1所示。

圖1 BP神經網絡結構

3層的節點個數分別記為:N、Q、M。BP神經網絡神經元模型［4］，如圖2所示。

圖2 神經元模型

其中，xj(j=1，2，…，N)為神經元 j的輸入信息;wij則為網絡的連接權重;ui是輸入信號和連接權值內積的結果，是神經元i的輸入信號;經過閾值θi的調整，作為激活函數的自變量，得到神經元的輸出yi。神經元的激活函數常采用Sigmoid函數

BP神經網絡的學習過程為信號的正向傳播和學習誤差項的反響傳播。信號正向傳播過程為:信號從輸入層進入，通過權值調整進入隱含層。輸入層和隱含層閾值組合形成隱含層的輸入，再經過激活函數的輸出。從隱含層到輸出層的過程類似。

學習誤差項反向傳播:網絡根據學習誤差的大小，重新調整網絡的權值和閾值。權值重新調整之后，再進行訓練樣本的學習。如果訓練誤差仍沒有達到精度要求，則繼續反向傳播，直到訓練誤差達到要求。

三、組合預測模型

1.誤差平方和最小組合模型

假設 xt{}為有N個數據的序列［5］，現有m種預測方法，第i種預測方法在t時刻的預測值為xit，第i種預測方法所占權重為li，則序列 xt{}在t時刻的預測值^xt滿足式(3)

這是把權系數的求解轉化為求解一個最優化問題，使組合模型的誤差平方和達到最小。

設序列 xt{ }在t時刻的誤差為eit，則可得該模型以下的最優化問題

2.調和平均組合模型

假設 xt{}為有N個數據的序列，現有m種單項預測方法，第i種預測方法在t時刻的預測值為xit，第i種預測方法所占權重為li。設組合模型在t時刻的預測值為xt，根據加權調和平均數計算公式［6］

為便于對該模型進行組合權系數的估計，稍微轉換式(5)后引入誤差項

可得該模型以下的最優化問題

3.對序列線性和非線性規律單獨描述的組合模型

由于軟土地基特殊的性質［7］，其沉降規律受到多種因素制約，使沉降過程既包含線性規律又包含非線性規律。歷史數據中既有線性趨勢，又有非線性趨勢［8］，單獨使用某一種模型無法準確刻畫其規律。需要使組合模型不僅可以通過ARIMA模型有效捕抓到序列間的相關性，還能通過BP人工神經網絡模型來彌補ARIMA模型所無法刻畫的序列的非線性關系。

該絡組合模型進行預測有以下幾個步驟:

1)使用時間序列分析方法對序列建立合適的ARIMA模型，并根據ARIMA模型計算擬合誤差序列并對樣本進行預測。

2)由1)中得到的擬合誤差序列，使用BP神經網絡建模并預測ARIMA模型擬合誤差。

3)用2)中得到的擬合誤差的預測值對1)中得到的預測值進行修正，得到最終組合模型的預測值。

四、工程應用

某工程地基歷史45期沉降數據如表1所示。運用3種組合預測模型，以前35期數據為基礎對其進行未來10期的預測，并與實際值比較，分析各模型的預測精度。

表1 地基實測沉降數據 mm

1.ARIMA模型預測

圖3為地基沉降量未經差分和經一次和兩次差分處理后的時間序列圖。

圖3 沉降量未經差分和差分后序列圖

由圖3(a)可知，需進行差分處理。圖3(c)為經二次差分后的時序圖，可見序列基本平穩，因此確定ARIMA模型差分次數d=2。

先利用差分后序列的ACF圖和PACF圖進行初步判斷，見圖4。

圖4 ACF圖和PACF圖

自相關和偏自相關函數的特征總結見表2。

表2 ARMA模型ACF和PACF的一般特征

可以看出ACF圖和PACF圖都是拖尾的，可初步判定差分后序列模型為ARMA模型。

輸出差分序列的EACF圖，如圖5所示。

圖5 EACF圖

從圖5可以看出，ARIMA(1，2，1)基本符合原始數據序列。

在利用極大似然估計法進行參數估計后，進行模型診斷，分析殘差的正態性和自相關性并進行Ljung-Box檢驗，滿足條件后根據 ARIMA(1，2，1)模型對原始序列進行未來10期的預測。預測結果及其誤差見表3。

2.BP神經網絡模型預測

采用滾動式［9］的預測方法來預測其誤差。以1—5期沉降值為網絡輸入，第6期為網絡輸出。2—6期預測誤差為網絡輸入，第7期為網絡輸出。以此類推到29—34期網絡輸入，35期為網絡輸出，組成樣本進行網絡訓練。經過反復試驗，選擇隱含層神經元個數為15。部分Matlab代碼如下

權值訓練算法采用L-M優化算法［10］，訓練次數設為1000，訓練精度為10-5，學習速率為0.01。網絡經過154次訓練到達最小誤差(見圖6)，對該序列進行未來10期的預測，其結果見表3。

3.組合模型預測及分析

設ARIMA模型預測加權系數為k1，BP神經網絡模型預測加權系數為k2，根據上文中的理論分別計算權系數。

以誤差平方和最小組合模型計算得到權系數向量為

圖6 BP神經網絡誤差曲線圖

表3 ARIMA和BP神經網絡單項模型預測值及誤差mm

以調和平均組合模型計算得到權系數向量為

根據權系數向量即可計算以上兩個組合模型的預測值及誤差。

對序列線性和非線性規律單獨描述的組合模型預測，先利用文中模型對歷史數據的擬合值計算擬合誤差，再利用BP神經網絡法對誤差進行未來10期的預測，方法同上，最后用擬合誤差的預測值對ARIMA預測值進行修正，得到最終的預測值，結果見表4。

為了對比3種組合模型的預測精度，采用誤差平方和(SSE)、均方誤差(MSE)、平均絕對誤差(MAE)這幾項誤差指標來度量。

誤差平方和(SSE)

表4 組合模型預測結果mm

均方誤差(MSE)

平均絕對誤差(MAE)

計算得到3種組合模型的精度指標見表5。

表5 3種組合模型預測精度比較

其中組合模型1為誤差平方和最小組合模型，組合模型2為調和平均組合模型，組合模型3為對序列線性和非線性規律單獨描述的組合模型。

從表5可以看出，由于組合模型1和組合模型2的加權系數相差不大，因此精度也差不多，而組合模型3的精度相比之下有較大的提高，因此對序列線性和非線性規律單獨描述的組合模型是相比各種加權組合模型更為可靠，是一種更有效的預測工具。

五、結 論

通過以上研究，主要得出以下幾個結論:

1)誤差平方和最小組合模型和調和平均組合模型比單一模型預測精度高，在一定程度上提高了預測的可靠性。

2)對序列線性和非線性規律單獨描述的組合模型，把序列中的線性規律用時間序列法預測，再用BP神經網絡法預測非線性規律的殘差，最后把二者相加得到最終結果，從根本上提高了預測精度，比加權組合模型預測結果更可靠。

3)由于軟土地基沉降的機理十分復雜，受到多種因素的影響，如施工過程中的預壓時間、土體性質以及排水條件等，對沉降量的預測無法達到絕對嚴格的準確，預測結果仍然需要進一步的檢驗。

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