附有限制條件的間接平差的求解方法探討

李愛國，胡圣武

(1.長安大學地測學院，陜西西安710054;2.河南理工大學 測繪學院，河南焦作454000)

一、引 言

附有限制條件的間接平差模型是5種平差模型之一，對其計算公式有嚴密的推導［1-3］。不過附有限制條件的間接平差的公式相對于條件平差、間接平差等平差模型而言，其計算公式比較復雜，不易掌握。因此，應探討用一種比較簡單的方法來求解。

二、現有附有限制條件的間接平差的求解方法的簡述

附有限制條件的間接平差的數學模型為

按照最小二乘準則，要求VTPV=min，可求得如下公式

這就是附有限制條件的間接平差的主要計算公式，具體推導可參閱相關的教材［1，4-6］。

三、新的附有限制條件的間接平差的方法的求解原理

新方法的實質就是消除限制條件方程，把附有限制條件的間接平差模型轉換為間接平差來求解，主要有3個步驟。

1.確定獨立參數的個數，并把非獨立參數表達成獨立參數的函數

如果限制條件方程是非線性方程，則把非獨立參數化為獨立參數的線性表達。

2.消除限制條件

把非獨立參數代入條件方程中，則限制條件就不存在了，達到了消除限制條件的目的，從而得到了新的條件方程

3.間接平差求解

消除限制條件后，則附有限制條件的間接平差模型就轉化為間接平差模型，按間接平差模型來求解，從而達到計算簡單的目的。

四、實例分析

下面通過舉例來說明本方法的結算過程。

如圖1所示，將一個大矩形分為兩個小矩形(設各角度均為90°)。下列觀測值等權且相互獨立:L1=2.00 m，L2=3.00m，L3=1.00m，L4=4.10 m，L5=1.94 m。若有強制附合條件S1=3S2，試計算面積S1及S2的最小二乘估值及其權倒數。

圖1 矩形示意圖

解:本題由于有強制附合條件，則可選用附有限制條件的間接平差模型，設L1、L2、L3的平差值為參數并取

由于必要觀測數t=2，所選參數u=3，參數之間不獨立，非獨立參數個數為1，觀測數為5，則誤差方程數c=5，限制條件方程個數s=1。

列出誤差方程和限制條件方程為

1)確定獨立參數，并把非獨立參數表示成獨立參數的函數。由于所選參數為3個，參數之間相關，選^x1和^x3作為獨立參數，把^x2表示成^x1和^x3的函數，根據式(10)可得

2)消除限制條件。將式(11)代入式(9)可得

3)按間接平差求解，根據式(12)可得

由于觀測值是等權且獨立，則其隨機模型為

則有

根據式(13)和式(14)，按間接平差可求得

根據式(11)可得

根據式(13)可得

因此有

由于

得

因此有

同理得

以上計算就是用新方法的計算過程，下面就本例用附有限制條件的間接平差模型進行計算。

根據附有限制條件的間接平差模型，可以列出式(9)和式(10)的條件方程和限制條件方程。隨機模型與上述一樣。

則有

根據式(2)可得

根據式(3)可得

根據式(7)可得

可見，兩種方法求算的結果完全一致，說明兩種方法是等價的，也證明了所提出方法的正確性和科學性。

五、結束語

附有限制條件的間接平差的計算公式及公式的推導都比較繁瑣，這給平差的學習帶來不利的影響，完全可以用間接平差取代。目前有很多學者在其著作中已經把附有限制條件的間接平差不作重點介紹是科學的和合理的［7-10］。

［1］胡圣武，肖本林.誤差理論與測量平差基礎［M］.北京:北京大學出版社，2012.

［2］武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎［M］.2版.武漢:武漢大學出版社，2009.

［3］王穗輝.誤差理論與測量平差基礎［M］.上海:同濟大學出版社，2010.

［4］金日守，戴華陽.誤差理論與測量平差基礎［M］.北京:測繪出版社，2011.

［5］隋立芬，宋力杰，柴洪洲.誤差理論與測量平差基礎［M］.北京:測繪出版社，2010.

［6］葛永慧，夏春林，魏峰遠，等.測量平差基礎［M］.北京:煤炭工業出版社，2007.

［7］陶本藻，邱衛寧.誤差理論與測量平差［M］.武漢:武漢大學出版社，2012.

［8］趙超英，張勤.再論經典測量平差模型間的內在聯系［J］.測繪通報，2006(3):26-27.

［9］鄧永和.《再論經典測量平差模型間的內在聯系》的研究［J］.鐵道勘察，2009(2):8-10.

［10］張俊，張鵬飛.測量平差課程教學改革探討［J］.測繪科學，2010，35(5):247-249.