有色噪聲對(duì)動(dòng)態(tài)尋北的影響

蔣慶仙，白云超，王成賓

(西安測(cè)繪研究所，陜西西安710054)

一、引 言

陀螺尋北儀是一種采用陀螺儀作為角速率傳感器快速精確測(cè)定真北方位的儀器。隨著慣性技術(shù)、電子技術(shù)和計(jì)算機(jī)等技術(shù)的進(jìn)步，陀螺尋北儀在車輛導(dǎo)航定位、海洋勘探、石油鉆井、隧道開(kāi)鑿等領(lǐng)域均得到了日漸廣泛的應(yīng)用。根據(jù)采樣和解算方式的不同，陀螺尋北儀有多種尋北方法。近年來(lái)興起了動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北法，在尋北過(guò)程中，慣性測(cè)量單元IMU(由陀螺儀和加速度計(jì)組成)繞其垂直中心軸連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)采樣陀螺的輸出信號(hào)解算出陀螺敏感軸的初始方位角［1-5］。其優(yōu)點(diǎn)是通過(guò)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)使陀螺的常值漂移、隨機(jī)漂移受到周期性調(diào)制，通過(guò)積分得到消除，因而可顯著提高尋北精度。

在動(dòng)態(tài)定位測(cè)量中，觀測(cè)誤差往往不屬于高斯白噪聲，而是具有一定時(shí)空相關(guān)性的有色噪聲。有色噪聲可看作是某一線性系統(tǒng)在白噪聲驅(qū)動(dòng)下的響應(yīng)，它的存在嚴(yán)重影響著動(dòng)態(tài)濾波的精度和可靠性，有必要在數(shù)據(jù)處理中加入有色噪聲的檢驗(yàn)和建模，以消除或減弱有色噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。現(xiàn)已形成了多種減弱和消除有色噪聲影響的方法，如附加有色參數(shù)濾波法、相鄰觀測(cè)值組差法、基于濾波殘差建模法、自適應(yīng)濾波和自適應(yīng)抗差濾波［6-8］。在數(shù)據(jù)處理中常利用白噪聲的定義與統(tǒng)計(jì)特性判斷觀測(cè)噪聲是屬于白噪聲還是有色噪聲。目前對(duì)有色噪聲建模比較麻煩，常用的建模方法一般分為相關(guān)函數(shù)法和時(shí)間序列分析法，如AR模型、指數(shù)相關(guān)函數(shù)和高斯相關(guān)函數(shù)［9-10］。通過(guò)對(duì)有色噪聲建模、擬合、預(yù)報(bào)，以及對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行誤差修正，使觀測(cè)值中僅留下白噪聲或近似于白噪聲，從而減弱有色噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。

為了分析有色噪聲對(duì)動(dòng)態(tài)尋北中方位角估值的影響，本文在一階自回歸AR模型的假設(shè)下推導(dǎo)了有色噪聲對(duì)參數(shù)最小二乘估值的影響函數(shù)，分析了其影響性質(zhì)。利用觀測(cè)殘差建立了有色噪聲的一階AR模型，并對(duì)有色噪聲進(jìn)行了擬合和預(yù)報(bào)［11］。為了削弱陀螺信號(hào)中異常噪聲對(duì)尋北精度的影響，對(duì)陀螺信號(hào)進(jìn)行了抗差估計(jì)以控制粗差的影響。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)陀螺信號(hào)中包含有色噪聲時(shí)，采用一階AR模型對(duì)有色噪聲進(jìn)行擬合和預(yù)報(bào)，能夠有效削弱有色噪聲的影響。采用一次啟動(dòng)漂移穩(wěn)定性為0.03°/h的動(dòng)調(diào)陀螺，在4 min之內(nèi)系統(tǒng)尋北精度小于0.6'，遠(yuǎn)高于不考慮有色噪聲影響得到的精度，極大地提高了系統(tǒng)的性能。

二、有色噪聲對(duì)參數(shù)最小二乘估值的影響

設(shè)有觀測(cè)序列 L1，L2，…，Ln，觀測(cè)方程為

式中，X為參數(shù)向量;A為設(shè)計(jì)矩陣;e為真誤差向量，其協(xié)方差矩陣為Σk。

當(dāng)e為高斯白噪聲序列時(shí)，參數(shù)的最小二乘(LS)解為［12］

當(dāng)e為有色噪聲時(shí)，采用時(shí)間序列分析法描述有色噪聲，即把平穩(wěn)的有色噪聲看做是由各時(shí)刻相關(guān)序列和各時(shí)刻出現(xiàn)的白噪聲所組成。將tk時(shí)刻的有色噪聲ek表示為［13］

式中，ρi＜1(i=1，2，…，p)為自回歸參數(shù);θi＜1(i=1，2，…，q)為滑動(dòng)平均參數(shù);ak為白噪聲，服從分布N(0，)。

式(3)稱為自回歸滑動(dòng)平均ARMA(p，q)模型。模型前半部分稱為自回歸模型AR(p)，后半部分稱為滑動(dòng)平均模型MA(q)。

設(shè)有色噪聲模型為一階AR模型，k時(shí)刻的觀測(cè)誤差向量表示為

式中，ek-1為 k-1 歷元的觀測(cè)誤差;ρk，k-1為相關(guān)系數(shù)矩陣;ak為高斯白噪聲。將Lk修正為

則近似有

式中，L'k為經(jīng)過(guò)有色噪聲改正后的觀測(cè)值。顧及式(2)可得參數(shù)最小二乘解為［9，11］

因而，有色觀測(cè)噪聲對(duì)參數(shù)解向量的影響函數(shù)(influence function，IF)為

由式(8)可見(jiàn)，純有色噪聲對(duì)參數(shù)最小二乘估計(jì)解的影響主要與觀測(cè)誤差、相關(guān)系數(shù)及設(shè)計(jì)矩陣有關(guān)。當(dāng)加大觀測(cè)的采樣間隔時(shí)，其相關(guān)系數(shù)ρk，k-1必然減小，前面歷元的觀測(cè)誤差對(duì)本歷元參數(shù)估計(jì)的附加影響就小。當(dāng)前一歷元的觀測(cè)精度很高，即ek-1很小時(shí)，有色噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響也將減小。

三、有色噪聲的擬合與預(yù)報(bào)

1.有色噪聲的擬合

當(dāng)觀測(cè)值中存在有色噪聲時(shí)，利用觀測(cè)殘差在一階自回歸模型的基礎(chǔ)上建立有色噪聲模型。將k時(shí)刻的觀測(cè)殘差表示為

對(duì)于觀測(cè)殘差序列，有誤差方程

當(dāng)誤差Δk服從正態(tài)分布時(shí)，有色噪聲模型參數(shù)的最小二乘估值為

2.有色噪聲的預(yù)報(bào)

有色噪聲改進(jìn)后，重寫(xiě)誤差方程如下

式(16)的解算一般采用迭代法，第k+1步的迭代解為

四、計(jì)算與分析

試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自動(dòng)調(diào)陀螺尋北儀，進(jìn)行了7個(gè)測(cè)回的尋北試驗(yàn)。動(dòng)調(diào)陀螺的一次啟動(dòng)漂移穩(wěn)定性為0.03°/h。轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速設(shè)定為5 r/min，分別采集陀螺儀x、y軸的輸出信號(hào)，采樣率為25 kHz。采用高精度的鎖相穩(wěn)速控制電路使轉(zhuǎn)臺(tái)速率的相對(duì)穩(wěn)定度達(dá)到10-4，DSP+FPGA構(gòu)成了數(shù)據(jù)的高速采集與解算單元。

采用第1個(gè)測(cè)回的數(shù)據(jù)計(jì)算狀態(tài)參數(shù)的初值，

在基于觀測(cè)殘差序列使用式(11)或式(13)獲得AR模型的參數(shù)后，有色噪聲的預(yù)報(bào)值可表達(dá)為［11］采用第2—7個(gè)測(cè)回的數(shù)據(jù)計(jì)算參數(shù)的估值并評(píng)定尋北精度。對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)采用以下5個(gè)方案處理，測(cè)值的權(quán)反映了每個(gè)測(cè)回的估值對(duì)本方案中方位角估值的貢獻(xiàn)。抗差估計(jì)中迭代收斂的條件為，等價(jià)權(quán)函數(shù)的臨界值c0、c1分別取為1.5和5。由于還沒(méi)有得到方位角的實(shí)際值，計(jì)算中采用觀測(cè)值的中誤差考核尋北精度。表1給出各個(gè)方案中方位角的計(jì)算結(jié)果。

方案1:不考慮有色噪聲影響的最小二乘估計(jì);方案2:不考慮有色噪聲影響的抗差估計(jì);

方案3:對(duì)有色噪聲進(jìn)行最小二乘擬合的最小二乘估計(jì);

方案4:對(duì)有色噪聲進(jìn)行最小二乘擬合的抗差估計(jì)。

表1 尋北結(jié)果

為了直觀顯示有色噪聲擬合的效果，由圖1、圖2分別給出觀測(cè)值的原始?xì)埐詈陀猩肼晹M合后的觀測(cè)殘差。由此可以看出原始?xì)埐畹姆禐?.2°/h，而經(jīng)過(guò)有色噪聲擬合后的觀測(cè)殘差為0.1°/h。

圖1 原始?xì)埐?/p>

圖2 有色噪聲擬合后的殘差

五、結(jié) 論

分析上述結(jié)果，可得如下結(jié)論:

1)陀螺儀信號(hào)中包含有色噪聲時(shí)，動(dòng)態(tài)尋北的精度和可靠性將受到嚴(yán)重的影響(見(jiàn)方案1的尋北結(jié)果)。

2)抗差估計(jì)能夠削弱信號(hào)中存在的異常干擾的影響，并且可以將異常干擾剔除而不影響其余有用信號(hào)。算例中第6測(cè)回計(jì)算得到的方位角偏離了方位角的最終估值，但采用抗差估計(jì)時(shí)給予其零權(quán)處理，從而減弱了載體擾動(dòng)對(duì)方位角估值的影響。

3)采用一階自回歸模型對(duì)有色噪聲進(jìn)行擬合和預(yù)報(bào)，能夠有效削弱有色噪聲的影響，極大地提高了系統(tǒng)的尋北精度(見(jiàn)方案3、方案4的尋北結(jié)果)。

4)最小二乘估計(jì)不具有抗差性，其控制粗差影響的能力要低于抗差估計(jì)。在采用最小二乘估計(jì)對(duì)有色噪聲進(jìn)行擬合和預(yù)報(bào)后，再進(jìn)行抗差估計(jì)，獲得了明顯優(yōu)于最小二乘估計(jì)的結(jié)果。

綜上所述，有色噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響不容忽視，在動(dòng)態(tài)尋北測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，應(yīng)充分考慮有色觀測(cè)噪聲的影響。當(dāng)陀螺儀信號(hào)中包含有色噪聲和異常干擾時(shí)，采用最小二乘估計(jì)對(duì)有色噪聲進(jìn)行擬合和預(yù)報(bào)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行抗差估計(jì)能夠有效控制載體擾動(dòng)和有色噪聲兩者的共同影響。

［1］KIM S J，LEE S S，KWON Y S.Dynamic North-finding Scheme Based on a Fiber Optic Gyroscope［C］∥Proceeding of SPIE.Orlando:SPIE，1997:126-136.

［2］KIM I S.KIM Y，Matisov A，et al.Dynamic Scheme North Finder Using a Fiber Optic Gyroscope［C］∥Proceeding of SPIE.Beijing:SPIE，1996:228-236.

［3］鄒向陽(yáng)，孫謙，陳家斌，等.連續(xù)旋轉(zhuǎn)式尋北儀的尋北算法及信號(hào)處理［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，24(9):804-807.

［4］徐建華，謝玲，高亞楠，等.旋轉(zhuǎn)調(diào)制式尋北儀濾波技術(shù)研究［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，25(8):718-721.

［5］張思將，秦石喬，王省書(shū)，等.連續(xù)旋轉(zhuǎn)式激光陀螺尋北儀研究［J］.航空兵器，2006(1):12-15.

［6］趙長(zhǎng)勝.有色噪聲濾波理論與算法［M］.北京:測(cè)繪出版社，2011.

［7］崔先強(qiáng).動(dòng)態(tài)導(dǎo)航有色噪聲的影響與控制［D］.鄭州:信息工程大學(xué)，2003.

［8］崔先強(qiáng)，楊元喜，高為廣.多種有色噪聲自適應(yīng)濾波算法的比較［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2006，31(8):731-735.

［9］楊元喜，崔先強(qiáng).動(dòng)態(tài)定位有色噪聲影響函數(shù)——以一階 AR 模型為例［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2003，32(1):6-10.

［10］吳富梅，楊元喜.顧及有色噪聲的光纖陀螺信號(hào)的抗差譜分析［J］.測(cè)繪科學(xué)與工程，2006，26(3):50-53.

［11］楊元喜.自適應(yīng)動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位［M］.北京:測(cè)繪出版社，2006，178-185.

［12］楊元喜.抗差估計(jì)理論及其應(yīng)用［M］.北京:八一出版社，1993.

［13］劉永紅，范躍祖.激光陀螺漂移的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)建模［J］.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈控制技術(shù)，2004，46(3):99-102.

［14］YANG Y.Robust Estimation of Geodetic Datum Transformation ［J］.Journal of Geodesy，1999，73(5):268-274.

［15］YANG Y，CHENG M K，SHUM CK，et al.Robust Estimation of Systematic Errors of Satellite Laser Range［J］.Journal of Geodesy，1999，73(7):345-349.