基于Archard理論分析彈體質量侵蝕＊

郭 磊，何 勇，張年松，龐春旭，鄭 浩

（南京理工大學智能彈藥技術國防重點學科實驗室，江蘇 南京210094）

動能彈侵徹混凝土過程中，彈體的質量侵蝕現象是一個十分復雜的物理問題。早期研究中，彈體侵徹速度較低，為了理論分析方便，常假設彈體為理想剛性體，然而，隨著侵徹速度的提高（＞1km／s），彈體的侵蝕效應變得顯著［1－3］，該剛性假設已經不再成立。同時，混凝土材料的非均質特點導致彈體在侵徹過程中受力不對稱，可能導致侵徹彈道彎曲或彈體結構破壞等情況，從而使彈體的質量侵蝕更嚴重，對侵徹能力的影響更明顯。因此，研究高速侵徹混凝土過程中彈體的侵蝕效應具有重要意義。

彈體的質量侵蝕現象最早由M.J.Forrestal等［1］在研究動能彈侵徹混凝土靶的實驗中發現，質量損失率高達（7～12）%。D.J.Frew等［4－5］開展了不同材料和幾何形狀的高強合金鋼質尖卵形彈體的侵徹實驗，獲得了不同撞擊速度下的侵徹深度和彈體質量損失率。何翔等［2］、楊建超等［3］也開展了彈體高速侵徹混凝土的實驗，發現熔融和磨損是導致彈體質量侵蝕的主要原因。S.A.Silling等［6］擬合大量實驗結果，發現彈體侵徹后的質量損失百分比與彈體的初始動能存在線性關系。陳小偉等［7］發現彈體動能和混凝土骨料硬度對彈體的侵蝕效應有顯著影響。S.E.Jones等［8］和R.N.Davis等［9］假設侵徹中摩擦功全部作用于彈體，且彈體質量損失來源于彈頭表面材料的熔化脫落，得到了質量損失的計算表達式。J.R.Klepaczko等［10］通過模擬彈靶接觸面上的微觀凸起斷裂來分析摩擦因數的變化。L.Guo等［11］對比高速侵徹前后彈體表面材料細觀組織變化提出了受影響區的3個組織分區。何麗靈等［12－14］通過總結S.E.Jones等［8］和S.A.Silling等［6］的工作，得到了影響彈體質量侵蝕量的7個重要參數，并編程模擬了侵徹過程中彈頭形狀的演化。鄭浩等［15］利用數值模擬的方法對比分析了彈體剛性侵徹和考慮侵蝕效應的侵徹過程。楊陽等［16］、Mu Zhong－cheng等［17］、趙曉寧等［18］通過修正質量損失百分比與彈體初始動能的線性關系，提出了計算彈體侵蝕的工程鈍化模型。目前，大部分關于彈體質量侵蝕的研究是基于實驗數據的經驗公式或半經驗半理論方法，或者簡單假設摩擦力所做的功全部作用于彈體，彈體材料熔化而產生質量損失，在高速條件下，其預測結果可能與實際不符，且不能很好地預測新工況下的彈體侵蝕情況。

本文中，基于模具與工件磨損的相關研究［19－21］，結合侵徹混凝土過程中彈體表面高溫、高壓、高應變率的特殊環境，采用從彈體微粒的細觀塑性變形到宏觀質量損失的分析方法，提出了一種基于Archard粘著磨損理論的彈體質量侵蝕表征模型，得到了彈體侵蝕速度，其大小與彈靶表面法向應力以及切向速度等因素有關。在一定假設條件下，通過差分計算，得到了彈體的外部輪廓演化情況，并且分析了彈體質量侵蝕效應對侵徹深度的影響，計算結果與實驗結果吻合較好。

1 Archard磨損模型簡介

J.F.Archard等［19－20］和J.T.Burwell等［21］在對模具與工件的磨損深入研究的基礎上提出了粘著磨損理論，即2個光滑表面接觸作用，其真實接觸面存在于大量微凸起（微米量級）上，由于局部應力集中，微凸起會發生塑性變形。設兩接觸微凸起為一對半徑相同的半球形且半徑為a，如圖1所示，上微凸起材料較脆弱，其硬度為H，該對微凸起所受法向載荷為δF。根據材料硬度的定義，則該對微凸起塑性變形后的接觸面積為δA＝πa2＝δF／H。

圖1 粘著磨損理論的簡化模型Fig.1 Asimplified model for the adhesive wear theory

設一次滑動產生一個磨損體積為δVL的顆粒。物理實驗顯示，磨損顆粒的形狀是等軸的，因而半球形微凸起的體積為δVL＝2πa3／3。假設這對微凸起滑動摩擦持續的行程δL為最長滑動行程模式，則δL＝2a。可以求得單位行程的磨損體積為：

對于整個接觸平面來說，可得磨損量為：

式中：K1為比例常數，引入的原因是一次摩擦中產生一個磨損顆粒的假設與實際不符。取K＝K1／3，同時，dWv＝dVL／dL，載荷dF用dp表示，可得到用于模具磨損的Archard模型公式：

式中：dVL為磨損體積，dp為工件與材料接觸表面的法向壓力，dL為工件與模具之間的切向相對滑移距離，H為模具硬度；K為磨損因數，與K1具有相同的物理意義，代表一對微凸起相互摩擦產生一個微凸起磨損顆粒的可能性［19］。研究表明，磨損因數K在不同典型實驗情況下相差很大。由式（3）可知：磨損量與摩擦行程和法向載荷成正比，與較軟材料的表面硬度或強度成反比。

2 彈體質量侵蝕模型

研究彈體高速侵徹過程中的侵蝕效應，需要充分理解彈體與靶體的相互作用。彈體高速侵徹混凝土的過程中，彈體處于高溫、高壓、高應變率狀態。由于侵徹過程時間短（微秒量級），熱量來不及擴散，集中在彈體表面薄層，導致彈體材料的性能發生變化。當高應變率下的溫升對材料的軟化效應大于應變硬化效應時，彈體材料表面微粒出現塑性變形，即該微粒會產生塑性流動并存在流動速度，這里稱之為彈體侵蝕速度va，方向沿彈頭表面內法線方向。在細觀尺度上，磨損微粒是由混凝土微粒對彈體微粒切削磨損和熱熔化造成的，最終導致宏觀上彈體的質量損失，這與Archard磨損理論中簡化模型的條件相似。

將Archard公式進行變換，左邊dVL＝dAdh，右邊dp＝σndA，dL＝vtdt，其中dA為磨損微粒面積，dh為磨損深度，σn為靶體作用在彈體表面上的法向應力，vt為切向相對速度，dt為彈靶間單位作用時間，彈體頭部表面受力如圖2所示。在彈體高速侵徹條件下，用Kp代替磨損因數K，代入式（3）化簡得到彈體侵蝕速度：

圖2 彈體頭部表面受力Fig.2 Forces on the nose of the projectile

式中：Kp為彈體侵蝕因數。

由式（4）可知，彈體質量損失與彈體侵蝕因數、所受的法向應力、相對運動速度以及材料的硬度有關。對 He Li－ling等［13］提出的影響彈體質量損失的7個參量（分別為彈體初始撞擊速度、初始頭形、熔化熱、彈徑、靶體密度、無約束抗壓強度和骨料莫氏硬度）進行分析，同時對比式（4），可以推斷彈體侵蝕因數Kp與彈材的屈服強度、熱相關因數、混凝土靶的抗壓強度、骨料硬度和撞擊條件等有關。為了更清晰地反映彈體強度對質量侵蝕的影響，將硬度H用彈體材料的屈服強度Yp表示，則侵蝕速度va的表達式為：

在Archard公式中，J.T.Burwell等［21］研究發現，在一定的接觸壓力內，磨損因數K與壓力p成正比，超出一個閾值（H／3）后，K成指數形式增長，如圖3（a）所示。考慮到侵徹中彈體侵蝕問題與工件磨損的相似性，假設彈體侵蝕因數Kp與法向應力σn之間具有相同的變化趨勢，在式（5）中，侵蝕因數Kp表征彈體受侵蝕的劇烈程度，在相同的彈靶條件下，假設Kp只與σn有關，在σn達到彈體材料的閾值（Yp／3）前，Kp為定值K0，超過閾值后，Kp隨σn的增大而增大。為了簡化計算，認為Kp與σn成線性關系（如圖3（b）所示）：

式中：a1、b1的具體值可通過實驗數據確定。在不同彈靶條件下，其相應的a1、b1也將不同。

圖3 磨損因數與侵蝕因數的相似性Fig.3 Similarity between wear coefficient and erosion coefficient

3 差分計算

為了表征彈體頭部表面離散點的運動，需要在彈體上建立相對坐標系XOY，以彈尖為原點O，彈頭部長為b，彈體總長為l，半徑為r，曲徑比為ψ。將整個彈體按軸向長度為lc離散為有限多個微小段，通過研究每個離散點的運動情況，來模擬整個彈體外形輪廓的變化，從而得到彈體的侵蝕情況，如圖4所示，下標j表示第j個離散點。由于開坑階段時間短，開坑過程中對彈體做剛性處理［12］。

圖4 彈體的離散情況Fig.4 The dispersion of the projectile

將整個侵徹過程離散成有限個微小時間步，假設在每個微小時間步Δt內，彈體軸向方向上所受到的載荷（加速度ax）不變。上標i表示第i個時間步，可知：

式中：vx、ax和Fx分別為彈體軸向的瞬時速度、瞬時加速度和瞬時阻力，m為彈體的瞬時質量，Δz為單個時間步內彈體的行程。為了準確地計算離散質點的運動情況，假設：（1）彈體正侵徹混凝土靶；（2）彈體表面輪廓均受到侵蝕作用；（3）由于彈體表面受力軸對稱分布，侵蝕回退軸對稱，計算簡化為二維模型；（4）摩擦力為零；（5）侵徹過程中，彈體密度恒定不變。

如圖5所示，為求彈體在第i時刻的頭部輪廓，在已知第i時刻的彈體軸向速度v（i）x時，有：

圖5 第i步時彈體上第j個質點的運動情況Fig.5 The movement of node j at step i

式中：vn、vt分別為彈體軸向速度沿表面輪廓法線和切向方向的分量。將混凝土看成均質材料，靶體對彈體的作用用響應函數代替，由 M.J.Forrestal等［22］提出的動態空腔膨脹理論，得到靶體響應函數表示為：

式中：YT、ρT分別為混凝土無圍壓抗壓強度和混凝土密度；v＝vxsinθ為空腔膨脹速度；參數A、B、C可通過擬合得到，與混凝土材料有關。

聯立式（5）～（6）、（11）～（12）得到i時刻j點的坐標：

從而得到下一個時間步的初始計算參數：

如此循環，直至彈體軸向速度vx減小到零，停止計算。

4 計算結果與分析

以M.J.Forrestal等［1］實驗中工況4的條件進行計算，其中彈體材料為4340鋼，彈體材料密度ρp＝7.81t／m3，直徑D＝30.5mm，屈服強度Yp＝1 481MPa，曲徑比ψ＝3，初始質量m0＝1.6kg，長徑比為10。靶體為石英骨料素混凝土，密度ρT＝2.3t／m3，無圍壓抗壓強度YT＝51MPa，根據撞擊速度為405m／s下試算確定式（6）中參數K0＝0，a1＝－6.39kPa－1，b1＝1.42×10－11，由混凝土參數擬合得到式（12）中參數A＝9.72，B＝0，C＝1。

為分析侵蝕效應對彈體侵徹能力的影響，表1將侵蝕模型和剛性模型的計算結果與實驗結果進行對比，其中剛性模型是令彈體表面質點的侵蝕速度為零時得到的計算結果。由表1可以看出，該侵蝕模型能較準確地計算彈體在高速條件下的侵徹深度P和質量損失百分比εm。侵蝕模型計算得到的彈體質量損失百分比隨撞擊速度vs的增大而增大，與實驗結果吻合較好。與此同時，剛性模型計算得到的侵徹深度在低速條件下與實驗結果基本吻合，但是在高速條件下，剛性模型計算誤差也隨之增大。可見，高速條件下的侵徹問題必須考慮彈體的侵蝕效應，彈體侵蝕效應對侵徹深度的影響隨著撞擊速度的增大而增強。

表1 侵蝕模型和剛性模型的計算結果與實驗結果的對比Table 1 Comparisons among erosion model results，rigid model results and experimental results

彈體侵徹過程中各表征參數隨時間的變化如圖6所示，這里選取撞擊速度分別為651和1 201m／s進行分析。通過對比發現：考慮彈體侵蝕效應時的侵徹過程與剛性彈有較大不同，當撞擊速度較低時（651m／s），侵蝕效應不明顯，對侵徹過載G、侵深和速度的影響都較小，可忽略不計。但是，在撞擊速度較高時（1 201m／s），侵蝕效應變得顯著，與剛性模型計算結果相比，侵徹時間變短，侵徹深度降低。如圖6（a）所示，在1 201m／s的撞擊速度下，彈體侵徹最大過載較剛性條件下有較大提高（約11%），且最大過載出現在開坑段結束后、穩定侵徹段的初始階段。這是由于彈體侵蝕效應改變頭部外形，在較高的撞擊速度下，導致靶體響應函數值增大造成的。該結果可為高速侵徹條件下戰斗部設計中裝藥過載問題的計算提供了一定參考。

圖6 （a）彈體侵徹過程中加速度的時間歷程曲線Fig.6 （a）Deceleration of the projectile versus time during penetration

圖6 （b）彈體侵徹過程中侵徹深度的時間歷程曲線Fig.6 （b）Penetration depth of the projectile versus time during penetration

圖6 （c）彈體侵徹過程中速度的時間歷程曲線Fig.6 （c）Velocity of the projectiles versus time during penetration

圖6 （d）彈體侵徹過程中質量的時間歷程曲線Fig.6 （d）Mass of the projectiles versus time during penetration

圖7 回收彈體與侵蝕模型計算得到的彈體輪廓對比Fig.7 Residual projectiles by experiment and simulation

圖8為彈體以1 201m／s的撞擊速度侵徹時不同時刻的彈體輪廓，對應的時刻從左到右依次為 0、276.3、456.3、816.3、3 705.6μs，相應的瞬時速度依次為1 201.0、1 103.3、1 029.6、875.6、0m／s。高速條件 下，頭部侵蝕較嚴重，且侵蝕現象在穩定侵徹的初期最劇烈，如圖9所示，彈體質量損失率Δm／Δt峰值出 現 在0.06ms時 刻，而 由圖6（a）知，彈體最大過載出現在0.6ms時刻，最大過載出現的時刻較質量損失率峰值出現的時刻有一定的滯后。相比之下，桿部的侵蝕可忽略。但是，隨著侵徹的進行，頭部與桿部的過渡段在不斷回退。

圖8 以1 201m／s的撞擊速度侵徹時不同時刻的彈形Fig.8 Shape variation of the projectile with the initial impact velocity of 1 201m／s

圖9 以1 201m／s的撞擊速度侵徹時，彈體質量損失率的時程曲線Fig.9 Mass loss rate versus time for the projectile with the initial impact velocity of 1 201m／s

彈體高速侵徹混凝土過程中，受到瞬時載荷作用，彈體處于高溫、高壓、高應變率的狀態。由于侵徹時間短暫，彈體表面薄層的熱量來不及擴散，當彈體材料表面微粒在高應變率下的溫升對材料的軟化大于應變硬化效應，出現塑性變形，宏觀上表現為彈體侵蝕現象。圖7為侵徹結束后回收的不同撞擊速度下，彈體與侵蝕模型計算得到的彈體輪廓的對比，計算得到的彈體輪廓與實驗后的彈體輪廓吻合較好。可以發現，隨著撞擊速度的增大，彈體發生了嚴重的侵蝕變形，其變形主要發生在彈體頭部，彈體頭部由卵形蛻變為鈍頭直至平頭。由于理論假設的受力對稱性，所以計算不會出現桿部彎曲等彈體動態結構響應現象。

侵徹過程中，彈體材料的屈服強度是影響侵徹效率的一個重要因素。這里取Yp分別為600、1 481和2 000MPa代入模型進行計算，撞擊速度取1 069m／s，侵徹深度的計算結果分別為1.54、1.87、1.92m，對應的質量損失百分比分別為15.0%、7.0%、1.2%。彈體屈服強度的提高能較好地減少彈體的質量損失，提高彈體的侵徹深度。但是，由于質量侵蝕的存在，彈體初始頭形被破壞，使得侵徹深度較理想剛性條件下都有下降。所以，在保證較小侵蝕的條件下，合理控制彈體頭部的侵蝕分布，使彈體在侵徹過程中保持有利的頭部外形，是提高彈體侵徹深度的一種重要方法。

5 結 論

基于模具與工件磨損中的Archard粘著磨損理論，采用從彈體微粒的細觀塑性變形到宏觀質量損失的分析方法，得到侵徹混凝土的彈體質量侵蝕表征模型，定義彈體表面的侵蝕速度，其大小與彈靶表面的法向應力和切向速度等因素有關，再運用動態球形空腔膨脹理論得到的彈體表面應力，計算得到了高速侵徹中彈體輪廓的鈍化回退過程，該侵蝕模型能較好地計算彈體在高速條件下的侵徹深度和質量損失，與實驗吻合較好。通過研究得出如下結論：（1）撞擊速度是影響彈體質量損失最重要的因素，彈體侵蝕效應對侵徹時間和深度的影響隨著撞擊速度的增大而增強。（2）由于侵蝕效應作用，彈體侵徹中最大過載出現在開坑段結束后、穩定侵徹段的初始階段，較質量損失率峰值有一定的滯后性，且最大過載較剛性條件下有較大提高。（3）提高彈體屈服強度能有效地減少彈體的質量損失，提高彈體的侵徹深度，在保證較小侵蝕的條件下，如何合理地控制彈體頭部侵蝕分布，使得侵徹過程中彈體保持較好的頭部外形，是提高侵徹深度的關鍵，也是下一步研究的重點。

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