雙向標(biāo)量的數(shù)學(xué)描述與雙向標(biāo)量公式

萬(wàn)學(xué)斌

(湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖北孝感 432000)

雙向標(biāo)量的數(shù)學(xué)描述與雙向標(biāo)量公式

萬(wàn)學(xué)斌

(湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖北孝感 432000)

本文重點(diǎn)闡述了雙向標(biāo)量的數(shù)學(xué)描述,同時(shí)說明了雙向標(biāo)量公式在使用中必須注意正方向的匹配問題,一定的公式情形依賴一定的正方向配合,離開了正方向的配合,公式?jīng)]有任何意義。

雙向標(biāo)量 數(shù)學(xué)描述 正方向 代數(shù)量 雙向標(biāo)量公式

物理學(xué)中的標(biāo)量按數(shù)學(xué)性質(zhì)可分為兩類:一類是只需用算術(shù)量表示的量稱為單向標(biāo)量，如質(zhì)量、體積、絕對(duì)溫度和電阻等。這些物理量的特點(diǎn)是沒有負(fù)的量值，或者說其負(fù)的量值沒有實(shí)際物理意義。這類物理量在數(shù)學(xué)描述上不會(huì)出錯(cuò)，處理起來很簡(jiǎn)單。

另一類是如電荷量、電流強(qiáng)度、電壓、電位、功、勢(shì)能、攝氏溫度等。在物理學(xué)理論和實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)遇到這些量，而這些量又是貫穿物理學(xué)的始終，處理這些量的時(shí)候，往往由于數(shù)學(xué)描述上的不清晰，物理教材也沒有系統(tǒng)的講解，而是分散在各個(gè)不同的部分，或者是直接應(yīng)用，從而導(dǎo)致處理這些量的時(shí)候常常出錯(cuò)，處理好這些量是學(xué)習(xí)好物理學(xué)的關(guān)鍵所在。下面擬就這類物理量有關(guān)的問題進(jìn)行討論。

1 雙向標(biāo)量

例如電荷量q有電荷量的大小和正負(fù)、電流強(qiáng)度有大小和沿著導(dǎo)線兩個(gè)相反的方向、AB兩點(diǎn)的電壓有大小和正負(fù)、電位也有大小和正負(fù)、力對(duì)系統(tǒng)做的功有大小和正負(fù)、在參考位置確定以后，勢(shì)能也有大小和正負(fù)、在攝氏零度確定后，攝氏溫度有大小和正負(fù)。

這類物理量有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是它們既有大小，又有方向或正負(fù)，僅且僅有兩個(gè)相反的方向或正負(fù)，我們把這類物理量稱為雙向標(biāo)量。

也就是說，判斷一個(gè)物理量是否為雙向標(biāo)量，主要是看它是否具有兩個(gè)彼此相反的方向或者是正負(fù)值。按照這樣的判斷方法，那么時(shí)間、高度、一條直線上的分矢量就都可以作為雙向標(biāo)量處理了。因?yàn)闀r(shí)間有過去與將來、高度有上與下、一條直線上的分矢量有左和右這兩個(gè)方向，所以說這些量都可以作為雙向標(biāo)量來處理[1][2]。

在這里不要把雙向標(biāo)量和矢量混淆，雙向標(biāo)量?jī)H且僅有兩個(gè)兩個(gè)彼此相反的方向或正負(fù)值，而矢量卻有無限多個(gè)可能方向。

2 雙向標(biāo)量的數(shù)學(xué)描述

既然物理學(xué)中大量的出現(xiàn)雙向標(biāo)量，那么用什么數(shù)學(xué)工具來描述呢？下面來看看雙向標(biāo)量的兩個(gè)要素:大小和方向。

首先是看雙向標(biāo)量的大小要素:其實(shí)大小是一個(gè)相對(duì)的量，必須有一個(gè)參考點(diǎn)和一個(gè)度量單位，如果沒有這兩項(xiàng)無法確定物理量的大小，例如以長(zhǎng)度的度量為例，對(duì)于一個(gè)一米長(zhǎng)的書桌，以書桌的左方為參考點(diǎn)，如果用米作為度量單位度量書桌就是一米長(zhǎng)，如果用尺作為度量單位，這個(gè)書桌就是三尺長(zhǎng)等。當(dāng)然，在這里我們也可以選擇右方為參考點(diǎn)，從右向左度量其長(zhǎng)度，也會(huì)得出同樣的結(jié)果。由此可見，雙向標(biāo)量的大小要素可以細(xì)分為參考點(diǎn)和度量單位兩個(gè)要素。對(duì)于雙向標(biāo)量的參考點(diǎn)的選擇一般是由人為的定義的，其實(shí)各類儀表的校零就是一個(gè)參考點(diǎn)的校正的問題；對(duì)于雙向標(biāo)量的度量單位我們一般選擇國(guó)際單位或者是行業(yè)單位。

圖1 I、U關(guān)聯(lián)方向

圖2 I、U非關(guān)聯(lián)方向

其次是看雙向標(biāo)量的方向要素:由于雙向標(biāo)量具有兩個(gè)彼此相反的方向或正負(fù)，要想確定這兩個(gè)方向，我們必須規(guī)定其中一個(gè)方向?yàn)檎较颍敲矗硪粋€(gè)方向就是它的相反方向[1]。

至此為止，我們知道雙向標(biāo)量其實(shí)有三個(gè)要素，就是參考點(diǎn)、度量單位和正方向。這三個(gè)要素都可以是人為規(guī)定的，這和數(shù)學(xué)中的數(shù)軸的三個(gè)要素是一樣的，也就是說，雙向標(biāo)量的幾何描述就是數(shù)軸，對(duì)應(yīng)的量就是代數(shù)量。在今后的物理學(xué)學(xué)習(xí)中一定應(yīng)該注意雙向標(biāo)量的三個(gè)要素，特別是方向要素。這個(gè)要素在研究者的心中應(yīng)該是清清楚楚的，不能有半點(diǎn)的含糊。

3 雙向標(biāo)量公式與正方向匹配

物理學(xué)中大部分公式是含有兩個(gè)或者是多個(gè)雙向標(biāo)量的公式。對(duì)于這些公式，在使用時(shí)一定應(yīng)該注意物理圖像上的正方向匹配問題，下面以我們熟悉的歐姆定律為例說明正方向的匹配問題。

歐姆定律中包含有兩個(gè)雙向標(biāo)量電流和電壓，對(duì)于這兩個(gè)雙向標(biāo)量的正方向規(guī)定有兩種情形。一種是兩個(gè)雙向標(biāo)量的正方向規(guī)定為一致，如圖1所示，我們把這種正方向匹配稱為正方向的關(guān)聯(lián)配合，也稱為關(guān)聯(lián)方向，在關(guān)聯(lián)方向下，歐姆定律的表示為U=IR。

另一種是兩個(gè)雙向標(biāo)量的正方向規(guī)定為相反，如圖2所示，我們把這種正方向匹配稱為正方向的非關(guān)聯(lián)配合，也稱為非關(guān)聯(lián)方向，在非關(guān)聯(lián)方向下，歐姆定律的公式為U=-IR。

可見，一定形式的公式是依賴正方向配合而存在的，離開了正方向的配合，公式的形式?jīng)]有任何意義。對(duì)于以上歐姆定律的兩個(gè)公式，它們不僅可以計(jì)算I、U的大小，還可以計(jì)算I、U的方向。大小就是對(duì)應(yīng)量的絕對(duì)值，方向由計(jì)算結(jié)果的正負(fù)數(shù)確定，結(jié)果為正數(shù)，實(shí)際方向和正方向一致；結(jié)果為負(fù)數(shù)，實(shí)際方向和正方向相反。現(xiàn)在看來，這兩個(gè)公式的歐姆定律比初中學(xué)習(xí)的歐姆定律的功能就要強(qiáng)大得多。特別是第一情形下的公式，從表面上看，公式形式一模一樣，但是這兩個(gè)公式卻有著不同的內(nèi)涵，初中的公式只能計(jì)算大小，不能計(jì)算方向，而這里的公式大小和方向都能夠一次計(jì)算完成，提高了解決問題的效率[3]。

4 結(jié)語(yǔ)

雙向標(biāo)量是有大小和兩個(gè)彼此相反方向或者是正負(fù)數(shù)的量，它用代數(shù)量表示；在雙向標(biāo)量的公式中一定應(yīng)該注意各個(gè)雙向標(biāo)量的正方向規(guī)定，離開了正方向的規(guī)定，公式形式?jīng)]有任何意義[3]。

[1]梁燦彬,秦光戎,梁竹健.電磁學(xué).北京:高教出版社1980.

[2]趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué),北京:人民教育出版社,1980.

[3]萬(wàn)學(xué)斌.物理學(xué)中標(biāo)量,矢量表示及代數(shù)量等式探討[J].孝感教院學(xué)報(bào),1999,(7).

萬(wàn)學(xué)斌(1963—),男,湖北孝感人,湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院副教授,主要研究機(jī)電一體化、電氣基礎(chǔ)、電工電子技術(shù)應(yīng)用與安全。