基于歐拉角分析法的電動二維轉鏡讀數修正

王濤，王勁松，徐翔宇，陶宗慧

（1.長春理工大學 光電工程學院，長春 130022；2.長春中國光學科學技術館，長春 130022）

電動二維轉臺廣泛應用于跟蹤、測量及仿真領域。在這些領域中，二維轉臺多作為發射源，或者是接收源的調整與測量工具，如激光跟蹤和光電發射平臺，對光學目標位置的描述多是用俯仰角與方位角［1］。

本文的二維轉鏡是電動二維轉臺在光學測量上的一種應用。在光學儀器中，二維轉臺用于光學調整和測量［2］，但是由于二維轉鏡的調整特點，出射光線的在俯仰和方位方向的走動量與二維轉臺方位和俯仰方位的轉動角之間存在不一致的現象。本文針對電動二維轉臺在光學調整中存在的轉角值與像移不一致的問題，利用歐拉角加以分析，并提出了一種軟件修正的方法。

1 問題的提出

實際應用中二維轉臺多數采用力矩電機實現方位、俯仰方向的轉動功能，高精度的光電編碼器給出轉臺兩軸的轉角值［3］。如圖1所示的二維轉鏡即是一個實例。本文中的二維轉鏡是用于輕武器紅外瞄具瞄準基線變化量測量系統。在測量系統中二維轉鏡對光線進行調整，并對光線走動量進行測量。

二維轉臺包括方位和俯仰兩個方向的轉動，其中俯仰的轉動軸是固定的，方位的轉動軸方向隨著俯仰軸的轉動改變。其通過對平面鏡進行調整進而對出射光線方向進行調整和讀數。它的方位角和俯仰角是用來對平面鏡的姿態進行描述。出射光線的方位角與俯仰角無法通過二維轉臺直接讀出，其與二維轉臺俯仰角方位角存在函數關系。為了求出射光線的方位俯仰角，需要利用歐拉角的知識建立坐標系。

圖1 轉臺結構示意圖

2 歐拉角坐標系的建立

在測量系統中入射光線是不變的，為了求出出射光線，需要知道平面鏡法線的方向向量坐標［4，5］。法線向量在動態坐標系下是不變的，需要將法線向量由動態坐標系（XYZ）轉換到實驗參考系（xyz）下。具有公共坐標原點和尺度的空間直角坐標系之間的坐標轉換，最方便的是采用歐拉角來描述。歐拉角有多種取法，如圖2所示的歐拉角αβγ就是最常見的一種［6，7］。

圖2 歐拉角示意圖

歐拉角是用來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對于任何參考系，一個剛體的取向是依照順序，從參考系做三個歐拉角的旋轉而設定的，所以剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定［8，9］。換句話說，任何關于剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣復合而成的。對于在三維空間里的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現［10，11］。參考系又稱為實驗室參考系，即為圖中的xyz坐標系，是靜止不動的，而動態坐標系則固定于剛體，即為圖中的XYZ坐標系，隨著剛體的旋轉而旋轉。

對于二維轉臺，俯仰軸和方位軸是正交的，兩者之間成90度角。俯仰方向的轉動軸對于實驗室參考系來說是固定不動的，而方位轉軸的方向是隨著俯仰方向的轉動而變化的。俯仰坐標系對應的是歐拉角坐標系中的實驗室參考系，方位坐標系對應的是動態坐標系。

圖3 二維轉鏡坐標系

根據上述分析，建立二維轉鏡的坐標系。該坐標系以二維轉鏡的圓心為原點，取方位方向的旋轉軸為z軸，取俯仰方向的旋轉軸為Z軸。如圖3所示是建立的坐標系，圖中XYZ為實驗室參考系，xyz為動態坐標系。

3 旋轉矩陣與出射光線矢量的推導

由二維轉臺兩軸轉動對應于歐拉角坐標系的轉動得出，α為俯仰軸的轉動量，γ為方位軸的轉動量，β為動態坐標系相對實驗室參考系轉動的角度。根據歐拉角的公式，可以得到二維轉臺的旋轉矩陣：

三個矩陣分別對應著三個轉動［5］，分別是動態坐標系繞著實驗室參考系z軸的轉動的轉動即俯仰軸的轉動、動態坐標系的轉動對應于方位軸的轉動和動態坐標系相對于實驗室參考系的轉動。對（1）式展開，得

根據二維轉臺坐標系特點知道β=π/2，而且是固定不變的。根據平面光學的知識，在平面鏡反射中，知道入射光線和法線就能得到出射光線。在動態坐標系xyz坐標系內取鏡面的單位法向量（0，1，0），通過旋轉矩陣將其轉換到實驗室參考系下得到法線在實驗室參考系下的坐標為：

由（4）式可知，法線的坐標是關于俯仰軸的轉動量γ，方位軸的轉動量α的函數。

由光的反射定律知，入射光線與法線的夾角和出射光線與法線的夾角相等［3］。如圖4所示，入射光線OA，法線OC，出射光線OB在同一個平面上。在實驗室參考系中已知法線，入射光線單位方向向量，需要求出出射光線的坐標。入射光線的方向向量為(1 0 0)。

?是小鏡子的轉動量，OE=cos?，cos?=。由三角形 ΔEOF 與ΔCOD相似得，CD長度是C點的縱坐標也就是法線單位向量的縱坐標，EF就是E點的縱坐標。由AE=EB和三角形相似，可知B點的縱坐標是E點縱坐標的2倍數，這樣就得到了出射光線方向向量的縱坐標。

圖4 出射光坐標解算示意圖

表1 與經緯儀對比測量結果表 單位：秒

表2 修正前后讀數比較 單位：秒

同樣的方法可以得到B點的x坐標，y坐標，z坐標。這樣就可以得到B點的坐標。

得出出射光線的單位方向向量是（2cos2γsin2α-1，sin2αsin2γ ，-cosαsin2γ）。出射光線在垂直面上的投影與水平面的夾角即出射光線俯仰角為：

出射光線在水平面上的投影與垂直面的夾角即為出射光線方位角：

4 驗證實驗

為了驗證上述模型的正確性，實驗采用高精度經緯儀對出射光線進行測量，得到光線在方位和俯仰方向上的走動量，并與光學模型得到的數據進行對比。實驗裝置如圖5所示。

圖5 實驗實物圖

調節精密二維調整臺的兩個軸角到零位，以經緯儀對準設備的十字分劃，俯仰和方位角相對為零。將經緯儀按照實驗規劃的空間點的位置在俯仰方位兩個方向各轉動相應的角度，然后調節精密轉臺，讓設備十字分劃與經緯儀再次對準，這樣就獲得了出射光線在方位俯仰兩個方向上的角度。與修改前的讀數進行對比，由表2中的數據可以看出，沒修正時讀數是錯誤的。再將其與上述模型求出的數進行對比如表1，可知光學模型得出的值與實際測量所得值之間的差值小于4秒，與分析計算吻合。

5 結論

本文對二維轉鏡的調整特點進行了研究，運用歐拉角的知識構建了光學模型，并進行了驗證實驗。此方法在不改變轉臺結構的情況下，解決了由于二維轉鏡調整特點引起的讀數問題。在俯仰和方位方向上的測量精度達到4秒，符合輕武器紅外瞄具瞄準基線變化量測量系統對二維轉鏡的精度要求。并對二維轉臺在其他方面應用時誤差分析與修正有指導意義。

［1］劉萬里，王占奎，曲興華，等.激光跟蹤測量系統跟蹤轉鏡的誤差分析［J］.光學精密工程，2008，16（4）：585-589.

［2］王勁松，安志勇，李海蘭.反射式平行光管的紅外瞄具零位走動量測量方法研究［J］.兵工學報，2010，31（11）：1421-1425.

［3］張西龍，孫寶玉，孫建偉，等.高精度二維轉臺指向誤差分析［J］.長春工業大學學報，2012，33（4）：377-382.

［4］郁道銀，談恒英.工程光學［M］.北京：機械工業出版社，2006.

［5］白素平，王春艷，龐春穎.基于坐標變換的動態光學成像性質研究［J］.光子學報，2001，20（7）：846-850.

［6］XU Xu，Chang Chienchi，Gert S Faber，et al.Estimation of 3-D peak L5/S1 joint moment during asymmetric lifting tasks with cubic spline interpolation of segment Euler angles［J］.Applied Ergonomics，2011，43（1），115-120.

［7］Wong Yueshuen，Kim Wangdo，Ying Ning.Passive motion characteristics of the talocrural and the subtalar joint by dual Euler angles［J］.Journal of Biomechanics，2004，38（12）.2480-2485.

［8］肖偉，梁久禎，陳瑋琪.基于四元數的3D物體旋轉及運動插值［J］.系統仿真學報，2012，24（3）：624-627.

［9］金華，戴金海.坐標變換方法及在卷弧翼彈彈道仿真中的應用［J］.計算機仿真，2007，24（7）：43-46.

［10］劉忠，梁曉庚，賈曉洪，等.基于四元數的導彈反步控制及全方位算法應用［J］.系統仿真學報，2006，18（10）：2734-2737.

［11］趙彥，張新鋒，施滸立.基于四元數的射電望遠鏡指向誤差分析方法［J］.機械科學與技術，2009，28（10）：1359-1363.