彈性梁損傷識別模態應變能法

劉文光 李 俊 嚴 鋮 賀紅林

南昌航空大學，南昌，330063

0 引言

在航空航天領域內，有關構件的振動疲勞損傷問題十分突出。因為零部件的使用壽命直接影響機器設備的正常運作，所以與飛行器結構設計相關的損傷識別問題扮演越來越重要的角色。近幾十年來，空難事件頻繁發生，其肇因引發了各方研究者的深入探討［1］。因此，航空領域設計上的安全保障不容忽視。彈性梁是飛行器廣泛采用的一種基本構件，如飛機機翼、直升機旋翼、發動機葉片等在一定條件下均可以簡化為梁模型來研究。受加工、制造、環境因素以及外界載荷、疲勞效應等原因的影響，任何彈性梁都不可避免地存在各種損傷，加之振動貫穿于飛行器的發射、飛行直至完成使命的全過程，在振動作用下，尤其是振動載荷頻率與飛行器結構固有頻率相交時，很容易導致損傷擴展，最終引發失效。為了避免此類問題的繼續產生，研究探討彈性梁的損傷識別方法具有十分重要的意義。

從結構動態或靜態特性的變化來推斷結構可能存在的損傷是一種行之有效的方法，它在很多工程實際中得到了應用，其中基于模態參數的結構損傷識別方法引起了廣泛的關注。近幾十年，很多研究者把結構模態參數改變量定義為結構早期損傷發生的重要標志，各類指標主要有頻率、振型、阻尼、柔度、能量等［2］。固有頻率是模態參數中最容易測試且識別精度較高的參數之一，用其改變量作為損傷指標相對于模態振型而言更為準確［3］。但是不同位置的損傷可能引起相同的頻率變化量，如完全對稱結構對稱位置發生損傷引起的頻率變化量完全相同，此時便無法確定損傷位置［4］。相對于頻率變化，振型變化對損傷更為敏感，但根據振型變化卻無法檢測出損傷發生位置，而且單調變化難以用來診斷損傷程度［5］。因為振型曲率的變化大小和損傷程度密切相關，而且損傷越大，曲率變化越大，于是有研究者提出用損傷前后振型曲率變化的絕對值來判斷損傷位置［6］。考慮到損傷會導致結構柔度增大，也有研究者利用結構損傷前后柔度矩陣差變化作為損傷檢測指標［7］。近年來，基于損傷前后結構應變能變化，有學者提出利用單元模態應變能作為結構損傷指標的研究思路［8］。

盡管國內外研究者在彈性結構損傷識別模態診斷方法研究上取得了重要進展，但是鮮有成果推廣到工程實際中，其原因在于這些方法或多或少存在一定的局限性。為了進一步推動彈性梁損傷識別方法的發展，本文以單元模態應變能為基礎，通過對比結構單元損傷前后模態應變能的變化率構建新的損傷指標，并通過數值計算和實驗測試驗證損傷識別方法的有效性。

1 彈性梁的模態應變能

忽略梁的剪切變形以及截面繞中性軸轉動慣量的影響，梁的彎曲自由振動方程為

式中，E（x）為彈性模量；I（x）為截面慣性矩；ρ（x）為材料密度；A（x）為梁的橫截面面積；w為橫向振動位移；x為坐標；t為時間。

假設彈性梁的橫向固有振動形式為

式中，W（x）為梁的橫截面中性軸在x處的橫向振動幅值函數；T（t）為描述運動規律的函數。

等截面彈性梁的振型函數近似如下［9］：

式中，C1、C2、C3、C4為待定系數；ω 為彈性梁的固有頻率；EI為截面的抗彎剛度。

＇根據均勻材料等截面彈性直梁的固有振型正交性條件，彈性梁的第r階模態質量Mr和模態剛度Kr分別表示為

對于任何彈性體結構，通常情況下其應變能的表達式為

式中，σi、εi分別為彈性體中任意一點上沿x、y、z方向的正應力和正應變分量；τi、γi分別為彈性體中任意一點上沿x、y、z方向的剪應力分量和剪應變分量；V為彈性體體積范圍。

根據應變能表達式，彈性梁振動時的模態應變能計算式為

彈性梁受損后，結構單元的剛度退化，柔度增加導致其應變能發生變化，可表示為

式中，上標H、D分別表示彈性梁無損狀態和受損狀態。

2 損傷指標的構建

為了更好地理解損傷指標的含義，假定把彈性梁離散化，可以認為梁的剛度是由單元剛度共同作用形成的，則在第r階模態下第j單元對彈性梁剛度的貢獻度為

式中，kj為第j單元的單元抗彎剛度。

將單元剛度貢獻度與彈性梁模態剛度的比值定義為單元剛度靈敏度Srj：

在任何模態情況下，單元剛度靈敏度均滿足

式中，NE為單元的個數。

如果彈性梁被離散為很多個單元，則單元剛度靈敏度Srj遠小于1，于是彈性梁損傷時和無損時的關系可以用下式近似聯系起來：

綜合以上各式可進一步得出

考慮彈性梁損傷前后剛度的變化，將式（5）和式（9）代入式（13），并運用積分中值定理可得

在損傷不太大的情況下，＾kH和＾kD近似相等，借助式（14），可利用單元剛度的變化比來構建損傷指標：

損傷指標βjr描述第r階模態下彈性梁損傷前和損傷后各單元模態應變能的變化比。彈性梁損傷后，損傷位置的單元剛度肯定降低，于是損傷指標的閾值取1，即判斷彈性梁的第j單元出現損傷的準則為

為了更加精確地判斷彈性梁的損傷位置以及損傷程度，考慮所有可能獲得的模態，上述損傷指標可以進一步修正為

為了減小試驗數據的隨機性以及在考慮某一指標閾值下損傷識別結果的可靠度，對損傷指標進行歸一化可得到新的損傷指標：

式中，μβj為所有單元損傷指標βj的平均值；σβj為βj的標準偏差。

3 數值算例

考慮圖1所示的均質方形等截面簡支梁，其長度l＝2m，截面尺寸為0.4m×0.2m。彈性梁材料為304不銹鋼［10］，彈性模量為204GPa，材料密度為7.86g／cm3，泊松比為0.3。

圖1 簡支梁模型

為了驗證理論分析的有效性，通過Patran建立圖1所示彈性梁的有限元模型，將模型劃分為六面體單元，仿真時設計以下3種損傷情況：①在簡支梁的0.8m處設計其受損程度分別為5%、10%和20%。②在簡支梁的0.8m處設計其受損程度為20%，而在簡支梁的1.7m處設計其受損程度分別為5%、10%和20%。③在簡支梁的0.8m處設計其受損程度為20%，在簡支梁的1.2m處設計其受損程度分別為5%、10%和20%，在簡支梁的1.7m處設計其受損程度為10%。

在實際結構中，裂紋會引起結構抗彎剛度的降低，而結構質量幾乎保持不變。所以在有限元建模時，根據受損程度按相應的百分比對損傷截面材料的彈性模量進行折減，以此模擬彈性梁的損傷大小。為提高損傷識別精度，考慮多階模態對損傷的貢獻，本文取前4階模態來識別損傷。識別結果見圖2，圖中損傷百分比與設計情況相對應。

分析發現，不論是單損傷還是多損傷，該方法均能準確地識別出損傷位置并定性地反映損傷程度，而且識別精度高，需要的模態階數少。

4 實驗驗證

圖2 數值識別結果

實驗設備如圖3所示，實驗所采用的模型為一鋁合金彈性梁，其幾何尺寸為600mm×30mm×5mm，材料力學性能如下：彈性模量為70.3GPa，密度為2660kg／m3，泊松比為0.33。

圖3 模態測試系統

實驗時把梁劃分為17個單元，將加速度傳感器安裝在第5單元下面。采用力錘激勵法對損傷前后的彈性簡支梁進行振動模態實驗，并通過模態分析軟件分析加速度信號，得到彈性梁損傷前后的模態振型。為驗證方法的有效性，在彈性梁表面設計以下兩種損傷情況：①在彈性梁的第11單元上線切割出寬0.2mm、深0.5mm的表面貫穿直裂紋缺口；②在彈性梁的第6單元和第11單元上同時線切割出寬0.2mm、深0.5mm的表面貫穿直裂紋缺口。

分析時取前4階模態代入損傷指標計算公式，得到損傷識別結果如圖4、圖5所示。結果表明，彈性梁含有單缺口時，指標數值在損傷位置發生了明顯突變，除第5單元外，其余無損傷部位發生的突變量較小。第5單元指標值發生突變可能與其下方的加速度傳感器所帶來的附加質量有關。然而，即便損傷發生在傳感器附近，損傷指標值也很明顯，所以用該方法進行損傷識別效果不錯。分析表明，由于實驗采用簡支梁模型，梁中間位置的彈性應變顯著，故對損傷敏感性較強。

圖4 單個損傷的實驗識別結果

圖5 多個損傷的實驗識別結果

5 結論

（1）基于單元模態應變能的變化，本文提出一種新的結構損傷識別方法，該方法以結構損傷會導致其模態應變能變化為原則，定義結構單元損傷前后模態應變能的變化率為損傷指標。（2）因為低階模態在實際測量中比較容易準確獲得，所以本文方法僅需少量模態就可以準確地識別結構損傷，能滿足現有測量技術條件下對損傷識別要求的準確性。（3）利用實驗數據進行損傷識別，識別效果比數值識別效果差，主要原因在于實驗模型劃分的單元數與數值模型劃分的單元數相比明顯偏少、數值模型模擬損傷采用的模量折減法與實驗所設計的缺口損傷有一定的區別。另外，附加傳感器所引起的集中質量對結構損傷識別的準確度也有一定的影響。

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