獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)改革之?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——Matlab 平臺(tái)上“四步法”研究函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

劉亞輕LIU Ya-qing；沈大慶SHEN Da-qing

（北京工業(yè)大學(xué)耿丹學(xué)院，北京 101301）

（Gengdan Institute of Beijing University of Technology，Beijing 101301，China）

0 引言

高等數(shù)學(xué)是各高等院校的公共基礎(chǔ)課程，根據(jù)非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)理念傾向于弱化繁瑣的計(jì)算，注重?cái)?shù)學(xué)的思想傳授，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。而借助數(shù)學(xué)軟件，使高等數(shù)學(xué)直觀化，是高等數(shù)學(xué)改革的一個(gè)新動(dòng)向[1]。Matlab 是一套功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)，具有書寫簡(jiǎn)單，內(nèi)容豐富，功能強(qiáng)大，直觀生動(dòng)等特點(diǎn)。函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性是高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分的一個(gè)重要內(nèi)容，本文借助Matlab 軟件，應(yīng)用畫圖功能，給出了直觀的研究函數(shù)圖像性質(zhì)的詳細(xì)有效的求解步驟—四步法，該方法采用先求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)再畫圖的順序，能夠準(zhǔn)確，簡(jiǎn)捷地得出函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性，且不容易丟掉極值點(diǎn)或拐點(diǎn)。

1 函數(shù)單調(diào)性、極值與凹凸性、拐點(diǎn)的判定

高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分的一個(gè)主要內(nèi)容是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與凹凸性、拐點(diǎn)，相應(yīng)的判定定理有：

定理1：設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)，有f′（x）>0，（f′（x）＜0），那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增（遞減）。

定理2：設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）＞0，（f″（x）＜0）那么函數(shù)y=f（x）的曲線在（a，b）內(nèi)是凹的（凸的）。

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0）（f（x）>f（x0））則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大（小）值，稱x0函數(shù)f（x）的一個(gè)極大（小）值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。連續(xù)曲線凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)。

2 Matlab 平臺(tái)上“四步法”研究函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

Matlab 是一套強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，具有高性能的數(shù)值分析和計(jì)算功能。借用Matlab 軟件的畫圖功能，為直觀、準(zhǔn)確、迅速地研究出函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性，提出“四步法”，即①求導(dǎo)；②求零點(diǎn)；③畫圖；④確定單調(diào)性或凹凸性。下面通過實(shí)例進(jìn)行詳細(xì)的說明。

例1：研究函數(shù)f（x）=2x3-9x2+12x-3 的單調(diào)區(qū)間與極值。

解：①求函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)。

②求一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。

③做出原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像。

fplot ('2*x^3-9*x^2+12*x-3',[0,3],'b-) %選定的作圖區(qū)域（[0,3]）需包含一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。

運(yùn)行輸出圖1。

④確定函數(shù)的單調(diào)性與極值。

從圖1 可以看出，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1]，[2，+∞）單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減。極大值點(diǎn)xmax=1，極小值點(diǎn)xmin=2。

即極大值ymax=2，極小值ymin=1。

②求二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。

f=inline(‘32/(1+2*x^2)^3*x^2-4/(1+2*x^2)^2’)；% 求一般函數(shù)的零點(diǎn)。

③做出原函數(shù)與二階導(dǎo)函數(shù)的圖像。

fplot ('1/(1+2*x^2)',[-1,1],'b-')%選定的作圖區(qū)域（[-1,1]）需包含二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。

運(yùn)行輸出圖2。

④確定函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)。

從圖2 可以看出，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-0.4082]，[0.4082，+∞）上是凹函數(shù)，在區(qū)間[-0.4082，0.4082]上是凸函數(shù)。拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-0.4082 和x=0.4082。

即函數(shù)f（x）的拐點(diǎn)為（-0.4082,0.7500），（0.4082,0.7500）[2]。

3 結(jié)論

通過上面數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)，本文對(duì)應(yīng)用Matlab 軟件研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與凹凸性、拐點(diǎn)給出了詳細(xì)有效的步驟—四步法，不僅使學(xué)生對(duì)函數(shù)的特點(diǎn)有了直觀的認(rèn)識(shí)，對(duì)抽象的定理加深了理解與認(rèn)識(shí)，而且弱化了高等數(shù)學(xué)中繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，同時(shí)也使學(xué)生掌握了函數(shù)畫圖，求導(dǎo)，求多項(xiàng)式和一般方程的零點(diǎn)等數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法。本文巧用Matlab 軟件研究高等數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)問題變得通俗、直觀、簡(jiǎn)單，該特點(diǎn)對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生尤其明顯，是順應(yīng)目前高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)有效途徑。

[1]崔秋珍，李龍星，Matlab 平臺(tái)上函數(shù)單調(diào)性與凹凸性判定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[J].河南：洛陽工業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2003，13（2）：46-47.

[2]章棟恩，馬玉蘭，等，Matlab 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008，11：50-55.

[3]丁永勝，李朝紅.Mathcad 平臺(tái)上函數(shù)間斷點(diǎn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[J].高師理科學(xué)刊，2001（03）.