改進FFT和小波變換在電力系統諧波檢測中的應用研究

紀萍，陳玲 （河海大學文天學院電氣信息系，安徽 馬鞍山243031）

隨著電子技術的迅猛發展，電子產品的功能越來越完善，給用戶生活生產帶來極大方便。但是，由于非線性器件的存在，給電網帶來了越來越多的諧波問題。對電力系統諧波進行檢測，是電能質量評估的重要方面之一。電力系統的諧波檢測，通常采用快速傅里葉變換來實現。然而，在實際數據采集中，即使采樣頻率滿足奈奎斯特采樣定理，也會產生頻譜泄漏和柵欄效應，從而使得檢測結果產生誤差。對于上述問題，主要采用加窗插值的方法來抑制，選擇窗函數的要求是主瓣窄，旁瓣低，旁瓣跌落速度快。近年來，小波技術逐漸應用于信號檢測中，小波變換是將信號根據高頻和低頻進行逐級分析，可以根據檢測信號的自身特性，劃分不同頻率，然后對不同頻段進行檢測。下面，筆者分別采用改進的FFT算法和小波變換技術，對電力系統諧波進行檢測，通過對諧波信號幅值檢測仿真和實時性仿真對比，給出了電力系統諧波的合理檢測方法?河海大學文天學院校級項目 （WT130004）。。

1 小波變換理論

小波變換是一種時間－頻率分析方法，在時間、頻率都具有表征信號局部特性的能力，即在高頻部分，時間分辨率較高，頻率分辨率較低；而在低頻部分，頻率分辨率較高，時間分辨率較低。設ψ（t）∈L2（R），（ω）為ψ（t）的傅里葉變換。當：

若ψ（t）滿足下面的條件：

則CWT存在逆變換，其逆變換公式為：

2 改進FFT算法

設一待檢測模擬信號x（t），信號表達式如下：

式中，A為幅值；f0為信號頻率；fs為采樣頻率，加窗后的連續傅里葉變換為：

式中，w（n）為窗函數。由于在－f0和f0處的頻譜是對稱的，可取一處進行頻譜函數分析，現取頻點f0，用表示其頻譜函數為：

對式（9）進行離散抽樣，即f＝k·Δf，得到其離散傅里葉變換：

式中，f0＝k0·f表示信號的峰值頻率；f＝fs／N為采樣頻率間隔，由于信號采樣過程中，頻譜線很難正好落在峰值點上，要獲得峰值點頻率，可以采用峰值點左右臨近的2條譜線k1和k2來近似逼近真實值，其中，k1和k2為峰值點附近的幅值最大和次最大譜線，k1≤k0≤k1＋1。在具體工程應用中，首先要確定k1和k2的值。

令k1處的信號幅值為處的信號幅值為則由式（10）可得：

由式（11）可知，當窗函數已知時，可以得出所求的k0值，繼而可得到修正后的峰值頻率。

當0≤k0－k1≤1時，引入一個輔助參數α＝k0－k1－0.5，α的取值范圍為［－0.5，0.5］，令將y1和y2帶入展開，可得：

當N值較大時，利用求反函數求解原理求解α，可將式（12）改寫為α＝F－1（β），采用多項式逼近的方法，得到式（13）：

由于噪聲干擾和頻譜泄漏的存在，單獨采用一根譜線進行修正，易產生誤差。因此，考慮使用峰值左右臨近的2根譜線進行修正。k1和k2表示峰值左右的2根譜線，對其幅值進行加權平均，來計算實際的峰值幅度，其表達式為：

對于常用的窗函數，當N較大時，可采用多項式逼近的方法，則式（14）可修改為：

式中，b0，b2，…，b2l為2l次逼近多項式的偶次項系數。

由上述算法可以推導出Hanning窗的幅值的修正表達式：

實際中，由于外界環境的干擾，信號工頻f0是時刻發生波動的。在該系統中，采用動態的信號頻率來代替理想的額定信號頻率。在計算基波時，用信號的額定頻率作為工作頻率進行計算，根據上面的算法求得α。根據f0＝k0·f，α＝k0－k1－0.5，f＝fs／N 可得：

式中，fm1為計算基波時求得的工作頻率值，通過加窗插值傅里葉的算法，計算得到的fm1與實際的基波存在誤差，但是計算得到的額定值更接近實際信號頻率。將計算獲得的基波的頻率fm1用在二次諧波的測量中，再次利用上述的加窗插值算法進行計算。以此類推，對信號的頻率進行不斷的修正，使所檢測頻率無限的接近信號的真實頻率值。

3 仿真分析

為了驗證算法，對如下形式的信號進行諧波分析仿真：

其中，標準基波頻率f0為50Hz；信號的采用頻率fs為3200Hz；采樣點數為1024。仿真信號的基波及各次諧波的幅值如表1所示。

表1 仿真信號的諧波成分

在小波變換中，小波基的選擇至關重要，在眾多小波家族中，Daubechies小波由于其具有緊支撐性、連續性等優點，是工程上應用較多的小波函數，因此，采用Daubechies小波中的db20進行諧波分析。改進FFT算法中，考慮到實際儀器儀表的設計制作，采用結構簡單Hanning窗，可以提高系統的運算速度。電力系統基波頻率在理想狀態下即f0為50Hz，2種方法的諧波檢測結果和仿真數據如表2所示；信號頻率發生變動即f0為48.5Hz 2種方法的諧波檢測結果和仿真數據如表3所示。從表2、表3中可以看出，改進的FFT算法可以精確的檢測出各次諧波，相對小波變換，檢測精度有了很大的提高，小波變換雖然也能將各次諧波有效分離出來，但是，除了基波以外，其他各次諧波的檢測誤差較大，特別是諧波的基頻偏離理想值時，檢測效果受到很大影響。

表2 基波為50.2Hz的仿真結果對比

表3 基波為48.5Hz的仿真結果對比

在理想頻率下2種方法的實時性仿真結果如表4所示。從表4中可以看出，小波變換的實時性，相對采用加hanning窗的改進FFT算法有了很大的提高，適合有實時性要求的檢測系統。

4 結語

改進的FFT算法和小波變換技術都可以檢測電力系統諧波，改進的FFT算法計算精度準確，對基波及各次諧波都可以準確測量，但是由于其算法的復雜性，導致其實時性較差，改進的FFT算法比較適合要求精確檢測的系統。小波變換具有很好的實時性，能夠準確計量基波，但是對n次諧波的計量效果稍差。小波變換技術適合用在檢測受諧波危害不嚴重的電網中，進行實時在線檢測。

表4 實時性仿真結果對比

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