一種基于前景理論和投影的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法

付沙，李博，宋丹 （湖南財政經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息管理系，湖南 長沙410205）

多屬性決策 （Multiple Attribute Decision Making，MADM）已成為現(xiàn)代決策科學(xué)的重要組成部分，目前主要運用在考慮多個屬性的情形中，如何選擇最佳備選方案或?qū)Ψ桨概判虻臎Q策問題，該理論和方法已在工程、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、軍事和管理等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。基于客觀世界的復(fù)雜性和人們主觀決策的不確定性等因素，容易導(dǎo)致決策信息的不確定性與不完備性，因此在實際的多準(zhǔn)則決策問題中，決策者對某些準(zhǔn)則的評價難以賦予一個確定的數(shù)值，而往往僅能給定一個取值范圍，從而導(dǎo)致準(zhǔn)則值以區(qū)間數(shù)的形式出現(xiàn)。文獻(xiàn) ［1］針對決策者偏好信息和屬性值均為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題，對區(qū)間型多屬性決策的心態(tài)指標(biāo)法進(jìn)行了較為詳細(xì)的研究。文獻(xiàn) ［2］探討了屬性值為區(qū)間數(shù)且已有方案偏好信息的多指標(biāo)決策方法。文獻(xiàn) ［3］提出區(qū)間數(shù)型模糊VIKOR方法，在決策過程中運用心態(tài)指標(biāo)對區(qū)間數(shù)予以排序。

綜合國內(nèi)外研究文獻(xiàn)，文獻(xiàn) ［4］針對決策者所給期望信息的風(fēng)險型混合多屬性決策問題，提出了基于前景理論的決策分析方法。文獻(xiàn) ［5］針對具有決策者期望的混合型多屬性決策問題，提出了基于累積前景理論的決策分析方法。文獻(xiàn) ［6］針對準(zhǔn)則偏好值為區(qū)間數(shù)的不確定性決策問題，提出了基于前景理論的多準(zhǔn)則決策方法。這一系列方法為解決帶有決策者期望信息的多屬性決策問題提供了較好的研究思路，但亦可發(fā)現(xiàn)該領(lǐng)域?qū)傩灾禐閰^(qū)間數(shù)且權(quán)重信息不完全，同時還將決策者風(fēng)險態(tài)度的多屬性決策納入考慮的研究相對較少。

通過對現(xiàn)有理論知識的綜合探討研究，筆者在區(qū)間數(shù)多屬性決策中引入前景理論，提出基于該理論的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法，并通過算例分析驗證該方法的有效性與合理性。

1 前景價值

Kahneman和Tversky給出了價值函數(shù)v的一種形式，它可以更好的滿足決策者在面臨收益時趨向于風(fēng)險規(guī)避以及面臨損失時趨向于風(fēng)險追求的偏好特性［7］。Tversky等給出的價值函數(shù)為冪函數(shù)［8］，具體表述為：

式中，Δx是表面價值的收益與損失，收益為正，損失為負(fù)；α和β分別表示收益和損失區(qū)域價值冪函數(shù)的凹凸程度，0＜α＜1，0＜β＜1，α和β愈大表明決策者越傾向于冒險；θ為損失規(guī)避系數(shù)，若θ＞1，則決策者對損失更為敏感。Tversky等［9］認(rèn)為，決策權(quán)重是決策者依據(jù)事件結(jié)果出現(xiàn)的概率p給出的某種主觀判斷，其函數(shù)π的表達(dá)如下：

前景價值由價值函數(shù)和決策權(quán)重函數(shù)共同決定，即：

2 區(qū)間數(shù)及其運算

定義3［11］設(shè)和且則稱：

3 基于前景理論的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法

在研究多屬性決策問題中，設(shè)有一個有限備選方案集A＝｛A1，A2，…，Am｝（m≥2），其中Ai表示第i個決策方案；屬性集C＝｛C1，C2，…，Cn｝（n≥2），［fLij，fUij］表示第i個方案的第j個屬性值，wj＝［wLj，wUj］為各屬性的權(quán)重。根據(jù)客觀實際存在的或相關(guān)專家給出區(qū)間數(shù)決策矩陣，基于前景理論的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法對備選方案的屬性值和各屬性權(quán)重均采用區(qū)間數(shù)形式，可更好的解決如何判定客觀事物的復(fù)雜性與不確定性等問題。

在各屬性權(quán)重信息不完全且屬性值為區(qū)間數(shù)的情況下，在區(qū)間數(shù)多屬性決策中引入前景理論，提出基于該理論的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法，其具體步驟如下：

Step 1 給出各方案在各屬性下的區(qū)間數(shù)評價值，構(gòu)造區(qū)間數(shù)決策矩陣為消除各屬性之間由于量綱不同而對決策結(jié)果所產(chǎn)生的影響，可運用區(qū)間數(shù)決策矩陣規(guī)范化的方法將區(qū)間數(shù)決策矩陣轉(zhuǎn)化為規(guī)范化區(qū)間數(shù)決策矩陣表示第i個方案Ai對應(yīng)于第j個屬性Cj的區(qū)間數(shù)值結(jié)果。采用屬性類型為效益型和成本型。

對于效益型屬性，有：

對于成本型屬性，有：

Step 2 前景理論的核心在于如何選取決策參照點，決策者在決策過程中將對照參照點來衡量收益或損失。分別選定正、負(fù)理想點作為參照點［12］，規(guī)范化后決策矩陣的正、負(fù)理想方案分別為：

Step 3 計算各方案Ai到正、負(fù)理想方案的距離集。各方案Ai到正理想方案的距離集為：

各方案Ai到負(fù)理想方案的距離集為：

Step 5 針對屬性權(quán)重信息不完全的情形，引入投影的思想［13］，可得以下多目標(biāo)規(guī)劃模型，記做模型Ⅰ：

式中，ej、fj分別為權(quán)重值wj的下限與上限。若上述2目標(biāo)的重要性程度一致，則模型Ⅰ可轉(zhuǎn)化為如下的單目標(biāo)規(guī)劃模型，記做模型Ⅱ：

模型Ⅱ可通過Lingo與Visual C＋＋混合編程仿真計算求得最優(yōu)解，即得到滿足目標(biāo)函數(shù)max H（w）的屬性權(quán)重清晰數(shù)w＊＝（w＊1，w＊2，w＊3）［5］。

Step 6 根據(jù)所得各屬性權(quán)重，計算各方案針對各屬性收益與損失的決策權(quán)重函數(shù)：

式中，π＋（wj）和π－（wj）各表示收益與損失的非線性權(quán)重函數(shù)；r和δ各表示收益與損失的決策權(quán)重函數(shù)的彎曲程序。

Step 7 計算各方案的綜合前景值，依據(jù)其大小將方案予以排序為：

4 算例分析

某企業(yè)根據(jù)信息化建設(shè)的需要，擬定5個備選采購方案（A1，A2，A3，A4，A5），主要評價指標(biāo)（屬性）有3個（C1，C2，C3），其中C1代表產(chǎn)品價格，C2代表產(chǎn)品性能，C3代表售后服務(wù)。評估專家對5個備選方案進(jìn)行評估，其數(shù)據(jù)整理后如表1所示。

在上述屬性中，C1為成本型屬性，C2、C3為效益型屬性。已知的各屬性權(quán)重信息：w＝（w1，w2，w3），在不完全信息下各屬性權(quán)重范圍大致為：0.3≤w1≤0.5，0.25≤w2≤0.55，0.17≤w3≤0.23［14］；且

1）依據(jù)式 （6）、（7），構(gòu)建規(guī)范化區(qū)間數(shù)決策矩陣，如表2所示。

表1 區(qū)間數(shù)決策矩陣

表1 區(qū)間數(shù)決策矩陣

C1 C2 C3 A1 ［1750，1840］ ［6.47，6.49］ ［7.36，7.56］A2 ［2060，2250］ ［8.23，8.92］ ［7.28，7.64］A3 ［1950，2040］ ［8.19，8.83］ ［8.85，9.24］A4 ［1810，1900］ ［8.04，8.49］ ［7.65，7.89］A5 ［2140，2200］ ［7.53，8.74］ ［8.04，8.44］

表2 規(guī)范化區(qū)間數(shù)決策矩陣

表2 規(guī)范化區(qū)間數(shù)決策矩陣

C1 C2 C3 A1 ［0.468，0.518］［0.347，0.376］［0.402，0.430］A2 ［0.383，0.440］［0.441，0.517］［0.398，0.435］A3 ［0.422，0.465］［0.439，0.511］［0.484，0.526］A4 ［0.453，0.501］［0.431，0.492］［0.418，0.449］A5 ［0.391，0.424］［0.404，0.506］［0.440，0.480］

表3 正負(fù)理想方案

2）按照式 （8）、（9）計算規(guī)范化區(qū)間數(shù)決策矩陣的正、負(fù)理想方案，如表3所示。

3）按照Step 3計算各方案Ai到正、負(fù)理想方案的距離集，如表4、表5所示。

表4 各方案到正理想方案的距離集

4）由Step 4計算各方案在各屬性下的正、負(fù)前景值。α、β和θ的取值可采用文獻(xiàn)［12］中的數(shù)據(jù)，即α＝β＝0.8，θ＝2.5。則正、負(fù)前景值分別為：

表5 各方案到負(fù)理想方案的距離集

表6 決策權(quán)重函數(shù)

5）將表2、表3中的數(shù)據(jù)代入模型Ⅱ，得到如下數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：

通過Lingo與Visual C＋＋混合編程求解該模型，得到滿足該模型的目標(biāo)函數(shù)值為：max H（w）＝0.003394。同時，得到各屬性權(quán)重清晰數(shù)為：

6）由式（11）計算各方案的決策權(quán)重函數(shù)，取r＝0.61，δ＝0.69，結(jié)果如表6所示。

7）由式（12），計算各方案的綜合前景值為：

Vi＝（V1，V2，V3，V4，V5）＝（－0.4334，－0.2237，0.0858，－0.0726，－0.2429）最后，依據(jù)各方案的綜合前景值，得到其排序結(jié)果為A3＞A4＞A2＞A5＞A1。經(jīng)計算分析，筆者所得的結(jié)果與文獻(xiàn) ［3］完全一致，證明此方法是可行與有效的，且由計算分析的步驟與過程可看出，該方法相比同類文獻(xiàn)所提出的方法更具合理性。

5 結(jié)語

根據(jù)前景理論的思想，將決策者對各屬性的正、負(fù)理想點作為參照點，給出針對區(qū)間數(shù)形式屬性值的收益與損失計算方法，通過計算各方案的綜合前景值以對其進(jìn)行排序。在屬性權(quán)重的確定上引入投影的思想，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型以得到相應(yīng)的權(quán)重。筆者所提的決策方法概念清晰、計算過程簡單且適用面廣，具備良好的推廣應(yīng)用與實際決策價值。最后，筆者例舉典型的多屬性決策問題——信息化建設(shè)中產(chǎn)品的采購決擇，驗證了該方的可行性與有效性，為解決考慮決策者心理行為的決策問題 （如采購決策、項目選擇等問題）提供了一種更為有效的決策方法與思路。

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