基于單調性和凹凸性的一類級數斂散性判斷

杜厚維

（長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州434025）

秦超

（荊州市文星中學，湖北 荊州434000）

陳忠

（長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州434025）

判別級數的斂散性方法比較多，將級數一般項或者部分和進行放縮，借助經放縮后級數的斂散性來判斷原級數的斂散性，是其中方法之一。而函數的單調性、曲線的凹凸性都可用于證明不等式，下面筆者將利用函數單調性、曲線的凹凸性來判斷一類級數的斂散性。

1 基本概念

定義1［1］設f（x）在區間Ⅰ上連續，如果對Ⅰ上任意2點x1、x2恒有：

則稱f（x）在區間Ⅰ上的圖形是凸的。

如果恒有：

則稱f（x）在區間Ⅰ上的圖形是凹的。

引理1［1］設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內具有一階和二階導數，則：

1）若在（a，b）內f″（x）＞0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凹的；

2）若在（a，b）內f″（x）＜0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凸的。

引理2［1］設f（x）在［a，b］上連續， 在（a，b）內f″（x）＜0，則：

定義2［1］若級數收斂，則稱級數絕對收斂。

引理3［1］若級數絕對收斂，則級數收斂。

引理4［1］若0≤un≤vn，級數收斂，則級數收斂。

2 主要結論

定理1 設當x∈［0，＋∞）時，f′（x）＞0，f″（x）＜0. 且F（x）為f（x）在［0，＋∞）上的原函數，則：

證明 由f′（x）＞0可知f（x）在區間［0，＋∞）單調遞增，從而：

則：

又：

由引理2，令a＝i－1，b＝i（i＝1，2，…，n），可得：

綜合式（1）和式（2）即得定理1結論。

3 算例

解 令un＝

若0＜α＜1，令f（x）＝xα，則f（x）滿足定理1的條件，故而級數收斂，由引理3，引理4知級數絕對收斂。

解 令：

可取適當正整數N0，當x∈［N0，＋∞）時：

由定理1得：

其中，C1，C2僅與N0相關。

例3［2］證明

由定理1有：

即得：

定理1是例3結論的一種推廣。

除上述應用外，定理1還能與夾逼準則相結合，用于求極限。

［1］同濟大學 .高等數學 ［M］.北京 ：高等教育出版社，2001.

［2］劉培杰數學工作室 .歷屆美國大學生數學競賽試題集 ［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2009.