隨機擾動下的金融混沌系統動力學演化分析

徐玉華，謝承蓉，李軍

（鄖陽師范高等專科學校數學與財經系，湖北 十堰442000）

目前，人們不僅關心通過數據的研究驗證混沌現象，也普遍關注隨機現象對金融復雜系統的動力學行為是如何影響的［1－2］。通過分析隨機現象對金融復雜系統動力學的影響，可以了解受隨機擾動（內部擾動和外部擾動）下的金融復雜系統的動力學特征，這樣有利于分析如何保持金融復雜系統的穩定性，避免金融風險。由混沌理論可以知道，對混沌系統的微小沖擊可以顯著地改變系統的行為，由于隨機金融模型和非隨機金融模型的數學結構是不同的，隨機擾動對系統的動力學特征會產生一定的影響［3－6］。

黃登仕等［7］建立的金融模型給出了某些長期行為具有無規則性及其對狀態初值的參數變化極端的敏感性，該模型簡化僅含3個最主要參數的簡單模型：

式中，x表示利率；y表示投資需求；z表示價格指數；a為儲蓄量；b為投資成本；c為商品需求彈性。下面，筆者將分析系統（1）在外部和內部擾動情況下的動力演化性質。

1 混沌動力系統外部擾動情形

考慮如下隨機外部擾動下的金融系統：

式中，a＝0.9；b＝0.2；c＝1.2；σ（t）是有界噪聲擾動函數；wi（t），i＝1、2、3是一個1維布朗運動。

為了分析微小擾動對混沌系統動力學的影響，假設噪聲擾動函數是有界的，且很小，當擾動較大時，對金融系統可能產生顛覆性的影響，系統的動力學就會完全改變。

設σ（t）˙w1＝0，σ（t）˙w2＝d sin wt，則系統（1）變為：

1.1 耗散性和吸引子的存在性

對于金融系統（3），有下列表達式：

因此隨機有界擾動的金融混沌模型（3）是耗散的，其指數收斂形式如下：

即體積元V0在時刻t時收縮為體積元V0eft＝V0e－2.3t。這表明當t→∞，系統軌線的每個體積元均以指數率z收縮到0。因此運動軌跡固定在一個吸引子上。

1.2 分數維與李雅普洛夫指數

李雅普洛夫指數是刻畫系統鄰近軌道平均分離快慢的平均量，若系統的最大的李雅普洛夫指數大于零，則通常認為系統是混沌系統。對于系統（3），當d＝0.1，w＝0.1時，計算得到系統的李雅普洛夫指數為L1＝0.3573，L2＝－0.0005，L3＝－0.4532，李雅普洛夫分數維是：

1.3 平衡點的穩定性

令：

經計算，系統的特征方程都為：

則其中之一特征根為λ1＝－b＜0，另外2個特征根由下列方程決定：

即：

從上面討論可知，擾動d sin wt顯然會影響系統的穩定性。

另外，對于平衡點E1，x＝0，y＝z＝0， 將d sin wt＝σ（t）˙w2代入E1， 則y＝即σ（t）d w2＝（yb－1）d t，兩邊取期望Eσ（t）d w2＝Ε（yb－1）d t，如要得到理性預期均衡點，可假設金融系統隨機擾動滿足E d w2＝0即可，也就是Eσ（t）d w2＝Ε（yb－1）d t＝0，即對于平衡點E2，3也可作類似討論。

1.4 邊界、重心、譜圖，龐開萊圖和分岔圖

當d＝0.1，w＝0.1時，經仿真可得到動力系統擾動后的邊界為：

而系統擾動前的邊界為：

顯然，擾動后的系統邊界擴大。同時邊界也表明混沌系統是有界的。另外，也可得到吸引子的重心（見圖1），它表明吸引子軌跡運動圍繞重心達到平衡。圖2顯示了金融系統的連續寬帶特征。圖3為新系統在x＝1上龐開萊映像，映像中的吸引子的葉片被折疊，這就導致了金融混沌系統復雜的動力學行為。另外，對于參數變化，金融系統的分岔圖（見圖4）展示了金融系統有復雜的分岔特性。

圖1 吸引子的重心

2 混沌動力系統內部擾動情形

考慮如下隨機有界擾動下的金融系統：

圖2 金融混沌系統的功率譜

圖3 金融混沌系統的龐開萊圖（x＝1）

設σ（t）˙w1＝0，σ（t）˙w2＝0，σ（t）˙w3＝d sgn z，系統（5）變為：

下面僅討論擾動項對動力系統形成機制的影響。從仿真圖5～圖10可看出，擾動項對混沌系統形成機制是有影響的，擾動后的混沌系統是由2個渦卷共同形成的。

混沌動力系統內部擾動情形的其他性質類似于外部擾動的分析，這里省略。

圖4 金融混沌系統的分岔圖（0≤c≤2）

圖5 當d＝－0.9時系統的相圖

圖6 當d＝－0.7時系統的相圖

圖7 d＝－0.3時系統的相圖

圖8 d＝0.3時系統的相圖

圖9 d＝0.7時系統的相圖

圖10 d＝0.9時系統的相圖

3 結語

通過分析在擾動的情況下金融混沌系統的動力學演化性質可知，在擾動不太大的情況下，系統仍然能保持混沌特征；但是對金融混沌系統的微小外部擾動或者微小內部擾動都可以顯著地改變金融混沌系統的動力學行為，如平衡點的穩定性、吸引子邊界的范圍、李雅普諾夫指數的大小、分數維的大小、吸引域的范圍，甚至是系統的形成機制都有所改變。

［1］徐寅峰 .經濟模型及經濟混沌 ［J］.西安交通大學學報，1994，125（2）：92－95.

［2］李紅權，羅思哲 .金融市場的復雜性與金融風險調控 ［J］.金融理論與實踐，2009，385（5）：8－11.

［3］辛寶貴，陳通，劉艷芹，等 .一類分數階混沌金融系統的復雜性演化研究 ［J］.物理學報，2011，4（048901）：（1－6）.

［4］何孝星，趙華 .關于混沌理論在金融經濟學與宏觀經濟中的應用研究述評 ［J］.金融研究，2006，313（7）：166－173.

［5］馬軍海，盛昭瀚，陳春旺，等 .經濟時序動力系統的分形及混沌特性研究 ［J］.系統工程學報，2000，15（1）：13－18.

［6］姚洪興，石桃麗 .一類金融市場模型的混沌控制 ［J］.微計算機信息，2007，23（9）：50－53.

［7］黃登仕，李后強 .非線性經濟學的理論與方法 ［M］.成都：四川大學出版社，1993.