快速巧解材料力學靜定梁的約束力及剪力彎矩圖

張圣光ZHANG Sheng-guang

（東北農業大學工程學院農業機械化及其自動化系，哈爾濱 150030）

（Department of Agricultural Mechanization and Automation，Engineering College，Northeast Agricultural University，Harbin 150030，China）

0 引言

計算約束反力是畫剪力彎矩圖的基礎，一旦求錯就導致后面的解體都出錯，筆者根據自己的解題經驗總結出了“四大原理”，避免用理論力學解題時的繁瑣，方便快捷。

1 求靜定梁約束反力的“四大原理”

1.1 抬水原理

圖1 抬水原理圖

1.2 翹板原理

圖2 翹板原理圖

翹板原理一定要注意力的方向，距離力遠端與力的方向相同，距離力近端與力的方向相反。

1.3 力偶原理（↓方向向下）

圖3 力偶原理圖

分母a 為支點AB 的距離。兩個支反力的方向相反且支反力構成力偶的方向和已知力偶的方向相反。圖3 已知力偶的方向為順時針，所以支反力構成力偶的方向為順時針。

1.4 q 原理

圖4 q 原理圖

所謂q 原理即均部載荷問題，它綜合了前面所講的抬水原理和翹板原理。

對于既有力，力偶和均布載荷作用的梁要分別求其反力然后疊加求其合力。綜上如果靜定梁既有力偶，力和均布載荷作用時應分別算出再求其矢量和。

以上是求靜定梁約束反力的“四大原理”的總結規律。

2 分析載荷畫剪力彎矩圖

材料力學的教材基本都是先例出剪力彎矩的平衡方程在畫出剪力彎矩圖。雖然準確但也比較麻煩，更容易出錯。下面我們用新的思維的方法直接畫剪力彎矩圖。這樣無論在工程中的力學分析，還是考試解題都節省了時間。當然，總結規律要依靠高等數學，理論力學為基礎。

如圖5 所示直梁上作用有任意分布載荷，以梁的左端為坐標原點，取x 軸向右為正，x 處載荷集度為q(x)，并規定向上的去（x）為正。在梁中截取微段dx。微段上的分布載荷q(x)視為均勻分布，左截面內力為M(x)和Fs(x)，右端截面為M（x）+dFs(x)，假設內力為正[1]。

所以經過高等數學和理論力學的推導筆者總結出“三看一算”口訣：①看突變；②看趨勢；③看增減；④算大小。

具體解釋為對于畫剪力圖，一看突變如果在梁的某處出現力，則在剪力圖上產生突變即力突然變大。二看趨勢即看q(x)的趨勢，當q(x)為0 時剪力畫成平行于x 軸的直線，當q(x)為常數時剪力畫成傾斜的直線，當q(x)為斜線時即為一次函數時剪力畫成彎曲的曲線。三看增減當q(x)為減函數時F(x)的斜率逐漸減小，F″(x)＜0 應畫成凸函數，當q(x)為增函數時F(x)的斜率逐漸增大，F″(x)＞0 應畫成凹函數。在畫剪力圖時q(x)很少為一次函數一般為常數或0。四算大小，q(x)在某一區間跟x 軸圍成的面積即為F(x)的變化量同理，畫彎矩圖參照剪力圖。一看突變如果在梁的某處出現力偶，則在彎矩圖上產生突變即彎矩突然變大。二看趨勢即看剪力圖F(x)的趨勢，當F(x)為0 時彎矩畫成平行于x 軸的直線，當F(x)為常數時彎矩畫成傾斜的直線，當F(x)為斜線時即為一次函數時剪力畫成彎曲的曲線，曲線怎么彎曲要看去F（x）的正負及函數的增減性。三看增減，當F(x)為減函數時，M(x)的斜率逐漸減小，M″(x)＜0 應畫成凸函數，當F(x)為增函數時，M(x)的斜率逐漸增大，M″(x)＞0 應畫成凹函數。四算大小，F(x)在某一區間跟x 軸圍成的面積即為M(x)的變化量。

下面筆者通過一道例題運用求約束力的“四大原理”以及力彎矩圖的畫法的“三看一算”口訣解靜定梁的約束力以及畫剪力彎矩圖。

qa（↑方向向上）；qa（↑方向向上）（根據q 原理分析均部載荷q）

qa（↓方向向下）；3qa（↑方向向上）（根據翹板原理分析力2qa）

圖7 剪力圖

圖8 彎矩圖

綜上所述通過總結求約束力的“四大原理”以及力彎矩圖的畫法的“三看一算”口訣，清晰明確，直觀具體，使材料力學的解題更加簡單方便。

[1]趙淑紅.材料力學[M].北京：化學工業出版社，2010.

[2]金江.《材料力學》教材改革初探[J].南通工學院學報(社會科學版)，1998(04).

[3]王霞,李占君.科學方法論在材料力學課程教學中的應用[J].安陽工學院學報，2010(06).