非高斯隨機分布系統研究現狀的分析

屈毅QU Yi；穆麗寧MU Li-ning；賴展翅LAI Zhan-chi

（①咸陽職業技術學院電子信息系，咸陽 712000；②蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院，蘭州 730050）

（①Department of Electronics and Information，Xianyang Vocational Technical College，Xianyang 712000，China；②College of Electrical and Information Engineering，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China）

0 引言

在近幾十年，隨機系統是控制領域中的一個重要研究方向。經過多年的發展，隨機控制已具有完善的理論體系。目前，隨機系統研究的主要成果有自校正控制，線性高斯二次型，馬爾可夫參數過程控制，最小方差控制等，其主要研究系統輸出均值和方差等滿足規定的性能指標[1,2]。

1 非高斯隨機分布系統研究背景

在設計隨機系統時，假設系統變量服從高斯分布。這樣，在糧食加工中的糧食顆粒尺寸的大小分布、鍋爐爐腔燃燒的火焰分布等眾多工業生產過程中，系統變量如果不符，就需要從新假設高斯分布[3,4,5]。

在上述工業生產中過程中，不難看出系統變量的分布與動態變化過程是緊密相關的，但是這些隨機的統計特性不滿足高斯分布的假設。依據概率知識，系統中變量分布可由概率密度函數[1,2]（Probability Density Function：PDF），即γ（y，t）來描述。在時刻t，概率密度函數γ（y，t）可由偏微分方程（Partial Differential Equation：PDE）得到。

式中ε（·，·）為非線性函數。但是，直接應用該模型十分困難。

2 非高斯隨機分布系統建模國內外研究現狀

非高斯隨機分布系統控制是控制領域界研究的一個熱點，也是一個亟需發展的研究領域。經過近十年的發展，非高斯隨機分布控制已形成一個較為完善的理論研究框架。

2.1 非高斯隨機分布系統的建模理論

2.1.1 非高斯隨機分布系統的靜態模型

①平方根B 樣條模型。建模原理與線性B 樣條模型近似，不同的是逼近的是系統輸出概率密度函數的平方根。

②有理B 樣條模型。利用B 樣條基函數與權值向量之間的有理函數關系逼近系統輸出概率密度函數。

③有理平方根B 樣條模型。建模原理與有理B 樣條模型近似，不同的是逼近的是系統輸出概率密度函數的平方根。

2.1.2 非高斯隨機分布系統的動態權值模型

由于基函數是預先指定的函數，則系統輸出概率密度函數γ（y，u（t））的數學表示就可轉化為用與基函數相對應的權值來描述（可將這組權值用向V 表示），即動態權值模型的表達式如下[1]：

對于非高斯離散隨機分布系統，則動態權值模型的表達式如下[1]：

式中函數f（·，·）表示權值向量與控制輸入之間具有線性或者非線性關系。

2.2 非高斯隨機分布系統控制國內外研究現狀

非高斯的隨機分布系統建立后，就需要設計一個控制算法，以此來實現系統輸出概率密度函數追蹤目標概率密度函數，這樣滿足期望或者規定的性能指標。

2.2.1 非高斯隨機分布系統常用性能指標

①直接型性能指標。非高斯隨機分布系統實際輸出概率密度函數γ（y，u（t））應逐漸收斂于給定的目標概率密度函數γg（y），我們稱為直接型性能指標。

②二次型性能指標。非高斯隨機分布系統研究中最常用的性能指標，我們稱為二次型性能指標，其表達式如下所示：

式（5）中第一項是系統輸出概率密度函數測量值γ（y，u（t））和目標值γg（y）之間的測度，第二項是對非高斯隨機分布系統輸入能量的約束。

③平方根二次型性能指標。在平方根二次型性能指標中，系統輸出概率密度函數的測量值和目標值之間的測度，我們要用測量值的平方根與目標值的平方根的差值的平方的積分來表示：

式（6）中第二項是對非高斯隨機分布系統輸入能量的約束。

2.2.2 非高斯隨機分布系統常用控制算法

①系統二次性能指標J 具有非負性，這與李亞普諾夫函數（Lyapunov function）的基本性質一致，故可將二次性能指標J 做為一個李亞普諾夫函數，然后根據李亞普諾夫函數穩定判據，可求得相應的控制器，即根據不等式?J/?t≤0 可求得。

②結構化控制算法。以上系統控制器設計時，僅研究系統控制輸入和輸出量，并未考慮控制器的結構，被便于分析系統的穩定性和魯棒性。從系統魯棒性和穩定性的角度出發，在設計系統控制器時，首先有清晰的結構，比如系統輸出PDF 廣義PID 控制器，該PID 控制器不僅是時間上的函數，也是空間上的函數，與傳統的PID 控制不同。

3 總結

非高斯隨機分布系統控制是控制理論與應用研究領域的一個非常重要的分支。主要目標就是通過系統特性來設計確定非高斯隨機分布系統的穩定性。

[1]屈毅,李戰明,李二超.隨機分布系統的神經保性能控制器設計[J].計算機集成制造系統,2012(11).

[2]張柏,陳敏澤,周東華.一種非線性非高斯隨機系統的故障診斷方法[J].控制工程，2005(S2).

[3]Qu Y,Li Z.M,Li E.C.Fault Tolerant Control for Non-Gaussian Stochastic Distribution Systems [J].Circuits Syst Signal Process,2013,32(1):361-373.

[4]Guo L,Wang H.Observer-Based optimal fault detection and diagnosis using conditional probability distribution [J].IEEE Transactions on Singnal Processing,2006,54(10):3712-3719.

[5]Qu Y,Li Z.M,Li E.C.Fault detection and diagnosis for non-Gaussian stochastic distribution systemss with time delays via RBF neural networks[J].ISA Transactions,2012,51:786-791.

[6]Wang H,P.Afschar,Yue H.ILC-based generalised PI control for output PDF of stochastic systems using LMI and RBF neural networks [J].Proc.of the IEEE Conference on Decision and control,2006:5048-5053.

[7]Qu Y,Li Z.M.,Li E.C.Fault Detection and Diagnosis for Non-Gaussian Singular Stochastic Distribution Systemss via Output PDFs[J].Automatika,2012,53(3):236-243.