GPS 衛星鐘差二次多項式預報模型的總體最小二乘算法

張清鸞ZHANG Qing-luan；魏朋WEI Peng；危威WEI Wei

（昆明理工大學國土資源工程學院，昆明 650093）

（Faculty of Land Resource Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650093，China）

0 引言

在GPS 精密單點定位技術中，需要提供衛星的精密軌道和鐘差。目前，國際GNSS 服務組織（International GNSS Service，IGS）已能提供預報時長僅需3 小時的、精度5cm 的衛星軌道預報，但是在鐘差預報方面，IGS 所提供的SP3 精密星歷中的鐘差數據雖能達到0.1ns 的精度以滿足厘米級的定位要求，但有13 天的延時性，無法滿足實時定位要求，所以衛星鐘差的預報對精密單點定位有著及其重要的意義。目前，對于衛星鐘差短期常用二次多項式模型實施預報，它是一類以時間為變量的函數模型，其基本算法是通過最小二乘原則對模型參數進行估計，代入模型對衛星鐘差進行預報，文章通過另一種算法即總體最小二乘原則對模型參數進行估計，并比較兩類算法的預報精度。

1 數學模型

1.1 基本模型

目前常用的衛星鐘差短期短期預報模型為二次多項式模型，該模型的實質是將冪函數作為冪函數對時間間隔均勻的鐘差時間序列做擬合，基本模型如下：

衛星鐘在時刻t 的鐘差一般可表示為

其中a0、a1、a2為待估參數，a0表示t0時刻原子鐘的鐘差，a1表示t0時刻該原子鐘的鐘速（頻偏），a2表示t0時刻該原子鐘的半加速度（頻漂項）。其中，若時鐘讀數秒長均勻，a2應為零。

1.2 模型參數的最小二乘估計

設相對于時刻t1，t2，…，tn的衛星鐘差為x1，x2，…，xn，其觀測誤差為vi，可由式（1）建立誤差方程

則（3）可寫為

按最小二乘估計原則，有估計值

1.3 模型參數的總體最小二乘估計

當觀測方程系數陣以及觀測值均含有隨機誤差時，最小二乘解為有偏，此時顧及系數陣隨機誤差，按總體最小二乘準則估計計算出的總體最小二乘解則是無偏的。該結論已被文獻[3]所證明，此時，令觀測值隨機誤差向量

式（4）系數陣隨機誤差向量為σA，則有如下誤差方程：

由該估計原則有

式（7）中的參數估值可由迭代法解得，具體方法如下：

2 算例分析

選取2013 年12 月29 日的事后SP3 精密星歷PG01與PG02 兩個衛星的鐘差數據，依據二次多項式模型按最小二乘估計原則進行計算分析，發現其中t0（2013 年12 月29 日0 時0 分0 秒）時刻兩顆衛星原子鐘的半加速度a2（頻漂項）的估計值分別為-1.3×10-7和0.9×10-7，不為零，說明時鐘讀數的秒長并不均勻，誤差方程的系數陣A 含有誤差。所以，對衛星鐘差預報的二次多項式模型參數應按照總體最小二乘原則進行估計。

對PG01、PG02 兩顆衛星2013 年12 月31 日的鐘差依據二次多項式模型分別按最小二乘估計原則和總體最小二乘估計原則，進行短期預報，以該日的事后SP3 精密星歷鐘差數據作為真值，比較預報精度。

結果如圖1、圖2。

圖1

圖2

以上結果表明，從第三天短期預測結果上，總體最小二乘算法與最小二乘算法預報結果接近。從預報中誤差來看，令σ、σ′分別為總體最小二乘算法與最小二乘算法預報 中 誤 差，有σPG01=±1182.4ps，σ′PG01=±1182.8ps；σPG02=±4510.9ps，σ′PG02=±4511.0ps；σPG01＜σ′PG01，σPG02＜σ′PG02。

3 結論

對于鐘差預報的二次多項式模型，由于存在頻漂項，時鐘計時是不均勻的，衛星鐘差的觀測方程系數陣含有誤差。此時按最小二乘與總體最小二乘兩類算法的預報結果結果相近，但是兩類算法結果相比較，總體最小二乘算法的預報精度仍然優于最小二乘算法的預報精度。

[1]朱陵鳳，唐波，李超.兩種模型用于衛星鐘差預報的性能分析[J].飛行測控學報，2007 年6 月.

[2]魯鐵定，周世健.總體最小二乘的迭代解法[J].武漢大學學報 信息科學版，2010 年11 月.

[3]王樂洋.總體最小二乘解的性質[J].大地測量與地球動力學，2012 年10 月.

[4]周忠謨，易杰軍，周琪.衛星測量原理與應用[M].北京：測繪出版社，1997：99-103.

[5]丁克良.總體最小二乘法及其在測量數據處理中的若干應用研究[D].武漢：中國科學院測量與地球物理研究所，2006.

[6]朱曉東，魯鐵定，陳西江.正交多項式曲線擬合[J].東華理工大學學報：自然科學版，2010，33（4）：398-400.