模糊最優分割法及其在燕山水庫汛期水位分期劃分中的應用

□李成林（河南省燕山水庫管理局）

1 汛期分期特性及其定量描述

隨著全球氣候條件變化，洪澇災害和水資源短缺的問題同時并存，而我國北方地區整體上水資源短缺狀況日益加劇；同時，隨著社會經濟的發展，對水庫的防洪安全與供水保障提出了更高要求，也使水庫防洪與興利之間的矛盾加劇。在確保水庫防洪安全的前提下，科學地設計與運用汛限水位，合理地利用水庫防洪與興利、重疊庫容，是發揮水庫綜合利用效益，緩解我國水資源緊缺與防洪減災矛盾的有效手段之一。釆用科學方法，對汛期進行合理劃分，則是實施汛限水位動態控制的必要前提。

汛期分期從數學角度分析，實質是一個時間樣本序列的聚類分析問題。所謂聚類是指按照某種相似性原則將研究對象歸入相應的類。這種相似性原則在數學上常用的是“距離最小原則”，在數理統計上則表示兩序列擬合誤差最小。常用的聚類分析法包括:模糊聚類法、動態聚類法、變點分析法和最優分割法等。

汛期分期的定量描述如下：

以汛期作為論域X，水庫汛期內時段t(日或旬）內統計因子作為變量，表示為Xt=X1,X2,…Xn,結合研究對象具體情況，優選m個指標（降雨、徑流、洪峰、時段洪量等）用以表征汛期洪水特性，假設對象Xi的第k(k=1，2，…，m)個指標的特征值為xik,則Xi可以用這m個指標特征值來描述，記為Xi=(Xi1，Xi2，…，Xim)(i=1,2,…n)。按照聚類分析基本原理，將所有對象Xt劃分為 k 類(k=2,3,…，n-1)：{Xi1,Xi1+1,…，Xi2-1,}{Xi2,Xi2+1,…，Xi3-1,}，…，{Xik,Xik+1,…，Xn,}，對應的時段子集即為汛期的各個分期。

2 最優分割法

最優分割法是對有序樣本進行分類的一種統計方法。作為一種傳統的線性分類方法，已經在氣象統計預報、水文周期劃分、工業產品檢測、病情診斷分析等許多方面得到了成功的應用。該方法用來分類的基本依據是樣本的離差平方和最小，而進行分割的原則是：使得各段（類）內部樣本之間差異最小，而各段（類）之間的差異最大。具體過程如下：

對于n個有序樣本，釆用m個指標描述樣本特性，特征值為x1,x2，…，xn(每個是m維向量)。假定某一分類為xi,xi+1,…，xj(j＞i)，其均值向量及直徑為:

直徑公式含義表示該分類內部的差異情況，直徑越大，差異越大。

若將n個有序樣本分成k類，某一分法為：

F(n,k):［i1,i1+1,…，i2-1］,［i2,i2+1,…，i3-1］,…，［ik,ik+1,…，n］

其中，l=i1＜i2＜…＜ik≤n。

定義該分法的誤差函數為：

當n和k固定時，E[F(n,k)]越小，表示各類的直徑和越小，分類就越合理。尋求到E[F(n,k)]的最小值E[F*(n,k)]后，通過繪制[F*(n,k)]～k相關曲線，從曲線拐點處的k值確定最優分類數。

3 實例應用

釆用最優分割法，對燕山水庫汛期進行分期設計計算。燕山水庫總庫容9.25億m3,屬大（2）型工程，工程等級為二等，主要建筑物為2級，釆用500年一遇洪水設計、5000年一遇洪水校核。水庫控制流域面積1169 km2，多年平均徑流量3.64億m3。根據流域規劃的要求，燕山水庫的開發任務是以防洪為主，結合供水、灌溉，兼顧發電等綜合利用。

3.1 指標選擇

相比洪峰，時段洪量在汛限水位動態控制中起主要作用。選擇能反映流域暴雨洪水時程分布規律的降雨和徑流作為汛期分期的指標，其中降雨指標反映了氣象因素影響，徑流指標則是降雨與下墊面等多種因素綜合作用的反映。基于以上分析，根據燕山水庫的基本資料，具體選取了6個指標：旬暴雨日數、旬面平均雨量、旬最大1日面平均雨量、旬最大3日面平均雨量、旬最大7日面平均雨量以及旬入庫水量，其特征值見表1。

表1 燕山水庫汛期分期指標特征值表

本次所釆用暴雨及降雨資料為樞紐建成后自2006年至2013年流域各站點記錄的逐日降雨量，通過點面雨量分析獲得，應用流域金湯寨、小史店、治平、獨樹和官寨站5個典型站點，通過加權平均獲得流域面平均降雨量。五站點面積權重見表2。

表2 各雨量站面積權重表

3.2 指標特征值的一致無量綱化

由于各個指標的物理量量綱不同，在進行分期時首先要消除量綱的影響。為此，對各指標的特征值進行一致無量綱化處理：

式中：n為樣本個數；m為指標個數，xik為指標特征值；xik'為一致無量綱化的指標特征值；xmaxk和xmink分別為第k個指標中xik的最大和最小值。

3.3 燕山水庫分期計算與設計

利用上述6個指標，按照最優分割法的計算步驟，計算出分類數k為2～11的所有分類結果，見表3。

表3 最優分割法分類結果表

注：分類結果中的數字1～12分別代表汛期12個旬

做最小誤差函數E［F*（n,k）］～k相關曲線，如圖1所示。從中可以看出曲線在分類數為3時有一明顯拐點，該點之后趨向平緩，因此確定燕山水庫的汛期分3期為最優，分期結果為：6月上旬～6月中旬為前汛期；6月下旬～8月下旬為主汛期；9月上旬～9月下旬為后汛期。

圖1 最小誤差函數E［F*（n,k）］值隨分類數k變化曲線圖

4 結論

根據燕山水庫的基本資料，選取了：旬暴雨日數、旬面平均雨量、旬最大1日面平均雨量、旬最大3日面平均雨量、旬最大7日面平均雨量以及旬入庫水量等6個指標，釆用最優分割法，構建了燕山水庫汛期劃分計算模型，對燕山水庫汛期進行了劃分：前汛期6月1日至6月20日，主汛期6月20日至8月31日，后汛期9月1日至9月末。因此，本次分期劃分成果與初步設計報告成果基本一致，主汛由8月中旬延遲至8月下旬，增加前汛期分期。