淺談數學中的“數以類聚，形以群分”

陳群芳

(杭州天成教育集團，浙江杭州310000)

所謂分類討論，即對問題中的各種情況進行分類，或對所涉及的范圍進行分割，然后分別研究和求解，最后整合得答案，即是有“分”有“合”，先“分”后“合”的一種解題策略，是一種常見的數學思想方法。應用分類討論解題時，我們既要弄清引發分類討論的原因，又要掌握科學分類的原則，即同一性原則、互斥性原則、相稱性原則、多層次原則，做到不重復、不遺漏，避免發生錯誤的分類。

由于分類討論問題涉及面廣、綜合性強，能提高分析問題和解決問題的能力，是學生必須要掌握的一種數學思想方法。故本文就引發分類的幾種常見的原因分析在不同情況下的求解方法。

1.涉及的數學概念是分類定義的

由數學概念引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數的定義、直線與平面所成角、直線的傾斜角、向量的共線等，這類問題應以定義的概念來進行分類討論，并且在解題中要注意概念本身所受的限制。

案例1：求直線ax+by+c=0的斜率及傾斜角.

分析：根據直線的斜率及傾斜角的概念進行分類討論。

(2)b=0, k不存在，傾斜角α為x2

2.運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的

由函數的性質、定理、公式的限制引起的分類討論如有些函數性質，定理，公式在不同的條件下有不同的結論或者在一定的限制條件下才成立。

案例2：設y=log1[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0)求使y為負值的x的取值范圍

解：由題設條件有log1[a2x+2(ab)x-b2x+1]<0

所以，a2x+2(ab)x-b2x+1>1，a2x+2(ab)x+b2x>2 b2x

解此指數不等式時利用兩邊同時取對數須注意對數函數的單調性，從而要對a,b大小關系分類討論。

(1)當a=b時，由式（*）得x∈R;

(2)當a>b時，由式（*）得x>loga(b-1)

案例3：已知函數f(x)=ax3+3x2-x+1在a上是減函數，求a的取值范圍。

分析：本題是以導數為工具，研究函數單調性的問題，所以求導數是必不可少的步驟。求出f’(x)恒小于0時a的范圍，因而由已知的解析式知a∈R，故需對a的取值范圍分類討論。

解：求函數f(x)的導數得：f’(x)=3ax2+6x-1

當f’(x)<0（x∈R）時，f(x)是減函數

3ax2+6x-1<0（x∈R）?a<0且△=36+12a<0?a<-3，所以當a<-3時，由

f’(x)<0知f(x)（x∈R）是減函數.

所以所求范圍（-∞，-3）只是所求取值范圍的一部分，是它的充分條件。還需對a的取值范圍進行分類，再對每一項研究f(x)是否是R上的減函數。因為由已知解析式可知a的取值范圍是全體實數，所以再劃分為-3與(-3,+∞)兩類來討論。

(3)當a

由函數y=x3的單調性及圖像的平移變換，可知當a=-3時,f(x)（x∈R）是減函數。

(2)當a>-3時，在R上總存在一個區間，其上有f’(x)>0，所以當a>-3時，函數f(x)（x∈R）不是減函數

綜上知，所求的取值范圍是(-∞,-3]

3.求解的數學問題的結論有很多種情況或多種可能

有些題目的條件開放，致使求解結果不唯一，若對這類問題考慮不全面，時常發現漏解現象。

案例4：已知一個等腰三角形的周長為26厘米，一腰上的中線把周長分為兩部分，這兩部分之差為4厘米，求這個等腰三角形一腰的長。

解：設等腰三角形ABC中，AB=AC=2x cm則:BC=(26-4x)cm,當AC>BC，則有(2x+x)-(26-4x+x)=4，解得2x=10，即AB=AC=10cm;

當AC

經檢驗，它們均符合題意。

4.數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同的結果

由參數的變化引起的討論：某些含有參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得結果的不同，或者由于對不同的參數值要運用不同的求解或證明方法，如汗參數的方程或不等式，直線的點斜式方程等，這時需要進行分類討論。

案例5：解x關于的不等式2x2+(3a-7)x+(3+a-2a2)<0

解：原不等式化為(2x-a+1)(x+2a-3)<0，其對應的一元二次方

5.由圖形位置的不確定性引起的分類討論

當書籍條件不能確定圖形的形狀時，在求解過程中，則需根據可能出現的圖形形狀進行分類討論。此類問題在立體幾何和解析幾何中較為常見。

（1）經過B、C兩點的直線的解析式；

（2）三角形ABC的面積。

因點C可能在點A的左側，也可能在點A的右側，故需分類討論。

(Ⅰ)當點C在點A左側時，可得：b=1-x----② ;a2=3+x2-----③

由①②③得3+x2=(-2x)2，解得x1=-1,x2=1,（舍去）

（Ⅱ）當點C(x,o)在點A的右側時，b=x-1-----④

由①③④得3+x2=(2x-4)2，解得x1舍去）

(2)當c(-1,0)時，AC=2,SABC=.當c(,0)時，AC=,SABC=

有些幾何問題，尤其是未畫出圖的幾何題，經常出現兩種或者兩種以上的圖形，此時需要分類討論.

案例7：已知圓0的半徑r=4cm,AB,CD為圓0的兩條弦，AB,CD的長分別為的兩根，其中AB>CD，且AB‖CD，求AB與CD間的距離

6.分類討論在生活中的實際應用

案例8：甲、乙兩人在環形跑道上練習跑步，已知環形跑道一圈長400米，乙每秒跑6米，加的速度是乙的倍，現在甲乙兩人在跑道上相距8米處同時出發，問：經過多少秒鐘，兩人首次相遇？

解：設經過x秒甲乙兩人首次相遇

⑶若兩人反向跑步，面對面相距8米，則：

⑷若兩人反向跑步，背對背相距8米，則：

答：略。

案例9：已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其價格分別為A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元。我市湄池中學計劃將100500元錢用于從該電腦公司購進其中兩種不同型號的電腦共36臺。請你設計出幾種不同的購買方案供該校選擇，并說明理由。

解：設從該電腦公司購進A型電腦x臺，購進B型電腦y臺，購進Z型電腦z臺，則可分以下三種情況考慮：

（1）只購A進型電腦和B型電腦，依照題意可列方程組

5000x+4000y=100500;x+y=36

解得：x=21.75,y=57.75，不合題意，應該舍

(2)只購進A型電腦和C型電腦，依照題意可列方程組

6000x+2500z=100500,x+z=36

解得：x=3,z=33

（3）只購B進型電腦和C型電腦，依照題意可列方程組

4000y+2500z=100500,y+z=36

解得：y=7,z=29

答：有兩種方案可供該校選擇，第一種方案是購進A型電腦3臺，C型電腦33臺；第二種方案是購進B型電腦7臺，C型電腦29臺。

當我們在解決數學問題時，有時由于被研究對象的屬性不同，影響了研究問題的結果，因而需對不同屬性的對象進行分類研究；或者由于在研究問題過程中出現了不同情況，因而需對不同情況進行分類研究。通過分類討論，常能化繁為簡，使解題過程清晰明了，解答更為嚴密完整，使問題易于解決。當然，在運用分類討論的數學思想時，我們應該明確我們用的是哪種情況下的分類討論，該如何運用分類討論，一級是否真正需要用到分類討論。

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