總體最小二乘的改進與信道估計應用＊

（海軍駐上海地區電子設備軍事代表室 上海 200233）

1 引言

早在1795年，高斯就提出了最小二乘（Least Squares，LS）法，應用于行星和彗星運動軌道的計算。LS法用于超定方程的參數估計，使得觀測值與計算值之間的誤差在均方意義上最?。?/p>

式中A為已知的數據矩陣，y為觀測值，h為待估計的系數。此后最小二乘法被用來解決許多實際問題，針對不同用途，對最小二乘法進行修正，產生了各種各樣的最小二乘算法。普通最小二乘（Ordinary Least Squares，OLS）問題中，假定誤差只存在于觀測值中

其中r為y的誤差，OLS問題的解xOLS使得r的L2范數最小。1980年Golub等［1］提出總體最小二乘（Total Least Squares，TLS）的概念，總體最小二乘問題與OLS問題不同，TLS問題中假定誤差不只存在于觀測值中，而且存在于數據矩陣中

其中E和r分別為A 和y的誤差。TLS問題的解xTLS使得［E b］的l2范數最小。一般的估計問題中TLS法可以得到比LS法更加合理的結果。R．D．Degroat等［2］提出在信道均衡中，誤差只存在于數據矩陣中，提出了數據最小二乘（Data Least Squares，DLS）：

DLS問題的解xDLS使得E 的L2范數最小，DLS在FIR 信道均衡中性能優于TLS。但是在具有誤差先驗知識的情況中，OLS，DLS，TLS都無法限定誤差的特性，不能充分利用系統的先驗知識，因此無法獲得最優解。約束總體最小二乘（Constrained Total Least Squares，CTLS）［3］和結構總體最小二乘（Structured Total Least Squares，STLS）分別限定了誤差矩陣［E b］的統計特性和結構特性，適用于具有一定誤差先驗知識的系統參數估計問題。文獻［4］指出CTLS和STLS得到的解是等價的。本文介紹一種STLS 算法—結構總體最小范數（Structured Least Squares Norm，STLS）［5～7］，解決具有Toeplitz結構誤差矩陣的參數估計問題，并將該算法應用于疊加訓練序列（Superimposed Training，ST）［8～11］信道估計中。

本文所用的標記說明：大寫（小寫）粗體字母代表矩陣（列向量），上標T代表轉置運算，上標H代表共軛轉置，上標?代表偽逆運算，?代表Kronecker積，δ（τ）代表Kronnecker函數。IN代表N×N維單位矩陣，IK代表K×1維矢量。

2 STLN 算法

針對式（3）的TLS 問題，已知誤差矩陣E 為Toeplitz矩陣。設α為E的第1列，若α或E中任意一個已知，則可求出另一個的值。剩余矢量β＝y-（A＋E）h為α，h的函數，即β＝β（α，h）。STLN問題可寫為

矢量Eh 必須寫成包含α 的形式。定義矩陣H，使得

因此H的第1列為［h（0）h（1） …h（L-1） 0 … 0］T且

令Δα為α的擾動，Δh對應于h中的擾動。根據式（6）有

忽略下式中Δα和Δh的二階以上統計量

表達式（5）的線性表達式為

STLN 算法總結如下［5］：

輸入：確定性矩陣A，矢量y，初始估計值h，容錯值ε。

輸出：Toeplitz結構的誤差矩陣E，信道沖擊響應估計值h，STLN 問題的誤差‖βT，αT‖2。

開始

1．令α＝0，則E＝0。令誤差向量β＝y-（A＋E）h。

2．重復

（b）令α∶＝α＋Δα，h∶＝h＋Δh

（c）通過α重構E，由h重構H。計算β＝y-（A＋E）h。

直到 （‖Δα‖2，‖Δh‖2≤ε）

結束

解超定方程

式（11）的OLS解

事實上不需要重復步驟2直到‖Δα‖2，‖Δh‖2≤ε，重復兩到三次一般就可以得到足夠精確的估計值。

3 基于STLN 算法的疊加訓練序列信道估計

3．1 疊加訓練序列系統模型

無線通信系統中，通常采用訓練序列進行信道估計。傳統的時分復用訓練序列降低了帶寬利用率。疊加訓練序列中，周期訓練序列與信息序列相加后發送，從而節約了寶貴的帶寬資源，但是卻降低了發送端的信噪比。在疊加訓練序列信道估計中信息序列作為干擾嚴重降低了信道估計性能，在仿真中增大了歸一化信道均方誤差（Normalized Channel Mean Squares Error，NCMSE）。本節將推導疊加訓練序列頻率選擇性信道估計中誤差（干擾）矩陣的Toeplitz結構。

圖1為單輸入單輸出（Single-Input Single-Output，SISO）疊加訓練序列通信鏈路的離散等效基帶模型。

圖1 離散等效基帶模型

接收序列

其中N為數據塊長度，P為訓練序列周期，K＝N／P且K為整數，L-1為非零信道沖擊響應的最大延遲時間且P≥L。發送序列

有如下假定：

（H1）信息符號b（n）根據調制方式等概率地取自有限調制符號集，均值E［b（n）］＝0，方差E［｜b（n）｜2］＝σ2b。

（H2）｛v（n）｝為加性高斯白噪聲，均值E［v（n）］＝0，方差E［v（n＋τ）vH（n）］＝（τ）。

（H3）訓練序列c＝1K?cp，cp＝［c（0），c（1），…，c（P-1）］T。為了降低峰均功率比，采用優化的時／頻域恒包絡訓練序列。文獻［10］給出了最優訓練序列c（n）＝σcexp（j2πn（n＋i）／P）（當P為偶數時，i＝0；當P為奇數時i＝1，n＝0，1，…，P-1）。訓練序列的平均功率＝｜c（0）｜2。

信道環境為慢時變，且無多普勒（Doppler）頻率擴展。頻率選擇性信道的參數在一個數據塊內不變，在數據塊之間可以發生改變。信道沖擊響應為h＝［h（0），h（1），…，h（L-1）］T。

式（13）的系統模型可以寫成矢量形式

其中x＝［x（0）x（1） …x（N-1）］T，v＝［v（0）v（1） …v（N-1）］T，S為N×N維矩列循環Toeplitz矩陣的前L列組成的矩陣

式（15）隱含在發送端加入了長度為L-1的循環前綴（Cyclic Prefix，CP），在接收端去除了CP。S的第1列為不包含CP的發送序列s。

根據式（14），式（15）可以寫成

其中B和C具有與S相同的結構。

C也是一個塊重復的矩陣。矩陣

則C＝1K?CP。

令J＝（1／K）（?IP），用J左乘式（17）得到接收序列的循環均值y

其中E［（n）］＝0，（n＝0，1，…，P-1）。也是類似于CP的Toeplitz矩陣：

其中

3．2 基于STLN 算法的信道估計

由于E［b（n）］＝0，E｛v（n）｝＝0，可以認為ˉB＝0。LS信道估計為

4 仿真結果與分析

仿真的信道為L＝4 的時不變頻率選擇性Rayleigh衰落信道。信道系數的產生方法參考文獻［10］。信道沖擊響應進行了歸一化

通過1000個數據塊的蒙特卡羅仿真得到NC-MSE，其定義如下

假定系統已經同步，則訓練序列周期P＝9，數據塊長度N＝360。發送序列的功率為＋＝1，訓練序列占發送信道的功率比為／（＋）＝0．3，略微損失了發送序列的信噪比。QPSK 調制中，信息序列來自有限符號集，｛b（n）｝∈｛1，i，-i，-1｝。仿真中的信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）為單邊噪聲功率譜密度與發送序列的功率比。

圖2對比了疊加訓練序列的分別基于LS，DLS［2］，TLS［1］，STLN［5］的信道估計的NCMSE。仿真結果表明，本文應用的STLN 算法性能優于其他對比算法。STLN 算法的NCMSE 可以通過迭代提高精度，但是2次迭代就足夠了。圖3對比了基于LS，TLS，DLS，STLN 的信道估計的誤差范數，也表明STLN 算法的誤差范數最小。STLN 算法迭代2 次就足夠了，第3 次迭代的誤差范數和NCMSE的減小已經很少了。

圖2 基于LS，DLS，TLS，STLN 的疊加訓練序列信道估計的歸一化信道均方誤差

圖3 基于LS，DLS，TLS，STLN 的疊加訓練序列信道估計的誤差范數

5 結語

TLS算法假定誤差同時存在于數據矩陣和觀察值中，提高了參數估計性能，但是沒有考慮誤差矩陣的先驗信息。STLN 算法假定誤差矩陣具有Toeplitz結構，而ST 信道估計中信息序列均值構成的誤差矩陣也具有Toeplitz結構。本文對比了LS，DLS，TLS和STLN 算法在ST 信道估計上的應用。仿真結果表明，STLN 算法的NCMSE 最小，信道估計性能最優。

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