一類擬Hamilton碰振系統的全局分岔及多解共存現象分析
2014-11-20 17:22:34張思進尹磊磊文桂林
湖南大學學報·自然科學版 2014年10期
張思進+尹磊磊+文桂林
基金項目：國家杰出青年科學基金資助項目（11225212）；國家自然科學基金資助項目（11372101，11002052）
作者簡介：張思進（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學教授，博士
通訊聯系人，Email：sj_zh@sina.com
（湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統的全局動力學特性，參照同宿軌道的Melnikov函數形式，構造了周期軌道次諧Melnikov函數.并用一類擬Hamilton碰振系統詳細介紹了其計算方法和運用，數值結果驗證了構造的次諧Melnikov函數的有效性.另外用改進的胞映射方法對這類系統的全局分岔和多解共存現象進行了分析，發現隨著外激勵力的變動吸引子數量發生變化，各個吸引域形態復雜且相互纏繞.
關鍵詞：擬Hamilton系統；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射
中圖分類號：O322
非光滑動力系統廣泛地存在于工程力學、工程機械、電子電路、生態種群等多個科學領域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統的相空間中的流不連續，這類系統常常有非常復雜的動力學行為，包括傳統上的倍周期分岔、鞍結點分岔，也會產生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動力學系統中，通過計算穩定流形和不穩定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運用于計算擬Hamilton系統產生混沌運動的參數閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計算了擬Hamilton系統的Melnikov函數，并得出了系統的Hopf分岔條件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對應的Melnikov函數，并且得到了產生混沌時的系統參數閾值.由于非光滑擬Hamilton系統相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對非光滑動力學系統必須構建新的Melnikov函數來分析系統的全局特性，目前國內外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構建了非光滑碰振系統同宿軌道的Melnikov函數，能很好地預測在碰撞面和外激勵共同作用下同宿軌道發生破裂產生混沌的參數范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統，給出了有關極限環分岔以及Melnikov函數展開形式的結果.但是這些少量關于非光滑系統的Melnikov函數計算方法的文章也只是針對同宿軌道而言的，并沒有考慮同時存在的同宿軌道內部周期軌道族在碰撞面和激勵力共同作用下的多種非線性動力學現象.
湖南大學學報（自然科學版）2014年第10期張思進等：一類擬Hamilton碰振系統的全局分岔及多解共存現象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統同宿軌道的Melnikov函數的計算方法，得到同宿軌破裂產生混沌的參數范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數形式，并用一類擬Hamilton碰振系統作為算例，詳細介紹了其計算方法和運用，數值結果驗證了我們構造的Melnikov函數的有效性.另外根據同宿軌道的Melnikov函數和次諧軌道Melnikov函數確定的區域將整個參數范圍分為3個區域，并對其中運動形式較復雜的重疊區域繪制了全局分岔圖，運用改進的胞映射方法進行全局動力學分析，發現系統存在多種吸引子共存現象，隨著激勵力變化吸引子數目形態發生變動，且各個吸引域形態復雜、相互纏繞.
1同宿軌道的Melnikov方法
2周期軌道次諧Melnikov函數及混沌分析
雖然針對非光滑碰振系統同宿軌道的Melnikov函數已給出，能很好地預測同宿軌道破裂產生混沌的參數范圍，但是并不能解釋（在非混沌區域）同宿軌道內部存在的一簇簇周期軌道在激勵力和碰撞面的共同作用下產生的各種非線性運動現象.本文嘗試給出非光滑碰振系統共振周期軌道次諧Melnikov函數，用以確定系統可能出現的次諧周期解參數范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統，系統的模型方程同上，具體表達式見（1）.在同宿軌道內部圍繞中心有以參數為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對稱，本文分析x>0部分.
參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數的形式，也是分為兩個部分：類似光滑非線性動力系統部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數可以假定定義為：
2.1周期軌道次諧Melnikov函數運用算例
基金項目：國家杰出青年科學基金資助項目（11225212）；國家自然科學基金資助項目（11372101，11002052）
作者簡介：張思進（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學教授，博士
通訊聯系人，Email：sj_zh@sina.com
（湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統的全局動力學特性，參照同宿軌道的Melnikov函數形式，構造了周期軌道次諧Melnikov函數.并用一類擬Hamilton碰振系統詳細介紹了其計算方法和運用，數值結果驗證了構造的次諧Melnikov函數的有效性.另外用改進的胞映射方法對這類系統的全局分岔和多解共存現象進行了分析，發現隨著外激勵力的變動吸引子數量發生變化，各個吸引域形態復雜且相互纏繞.
關鍵詞：擬Hamilton系統；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射
中圖分類號：O322
非光滑動力系統廣泛地存在于工程力學、工程機械、電子電路、生態種群等多個科學領域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統的相空間中的流不連續，這類系統常常有非常復雜的動力學行為，包括傳統上的倍周期分岔、鞍結點分岔，也會產生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動力學系統中，通過計算穩定流形和不穩定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運用于計算擬Hamilton系統產生混沌運動的參數閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計算了擬Hamilton系統的Melnikov函數，并得出了系統的Hopf分岔條件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對應的Melnikov函數，并且得到了產生混沌時的系統參數閾值.由于非光滑擬Hamilton系統相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對非光滑動力學系統必須構建新的Melnikov函數來分析系統的全局特性，目前國內外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構建了非光滑碰振系統同宿軌道的Melnikov函數，能很好地預測在碰撞面和外激勵共同作用下同宿軌道發生破裂產生混沌的參數范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統，給出了有關極限環分岔以及Melnikov函數展開形式的結果.但是這些少量關于非光滑系統的Melnikov函數計算方法的文章也只是針對同宿軌道而言的，并沒有考慮同時存在的同宿軌道內部周期軌道族在碰撞面和激勵力共同作用下的多種非線性動力學現象.
湖南大學學報（自然科學版）2014年第10期張思進等：一類擬Hamilton碰振系統的全局分岔及多解共存現象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統同宿軌道的Melnikov函數的計算方法，得到同宿軌破裂產生混沌的參數范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數形式，并用一類擬Hamilton碰振系統作為算例，詳細介紹了其計算方法和運用，數值結果驗證了我們構造的Melnikov函數的有效性.另外根據同宿軌道的Melnikov函數和次諧軌道Melnikov函數確定的區域將整個參數范圍分為3個區域，并對其中運動形式較復雜的重疊區域繪制了全局分岔圖，運用改進的胞映射方法進行全局動力學分析，發現系統存在多種吸引子共存現象，隨著激勵力變化吸引子數目形態發生變動，且各個吸引域形態復雜、相互纏繞.
1同宿軌道的Melnikov方法
2周期軌道次諧Melnikov函數及混沌分析
雖然針對非光滑碰振系統同宿軌道的Melnikov函數已給出，能很好地預測同宿軌道破裂產生混沌的參數范圍，但是并不能解釋（在非混沌區域）同宿軌道內部存在的一簇簇周期軌道在激勵力和碰撞面的共同作用下產生的各種非線性運動現象.本文嘗試給出非光滑碰振系統共振周期軌道次諧Melnikov函數，用以確定系統可能出現的次諧周期解參數范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統，系統的模型方程同上，具體表達式見（1）.在同宿軌道內部圍繞中心有以參數為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對稱，本文分析x>0部分.
參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數的形式，也是分為兩個部分：類似光滑非線性動力系統部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數可以假定定義為：
2.1周期軌道次諧Melnikov函數運用算例
基金項目：國家杰出青年科學基金資助項目（11225212）；國家自然科學基金資助項目（11372101，11002052）
作者簡介：張思進（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學教授，博士
通訊聯系人，Email：sj_zh@sina.com
（湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統的全局動力學特性，參照同宿軌道的Melnikov函數形式，構造了周期軌道次諧Melnikov函數.并用一類擬Hamilton碰振系統詳細介紹了其計算方法和運用，數值結果驗證了構造的次諧Melnikov函數的有效性.另外用改進的胞映射方法對這類系統的全局分岔和多解共存現象進行了分析，發現隨著外激勵力的變動吸引子數量發生變化，各個吸引域形態復雜且相互纏繞.
關鍵詞：擬Hamilton系統；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射
中圖分類號：O322
非光滑動力系統廣泛地存在于工程力學、工程機械、電子電路、生態種群等多個科學領域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統的相空間中的流不連續，這類系統常常有非常復雜的動力學行為，包括傳統上的倍周期分岔、鞍結點分岔，也會產生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動力學系統中，通過計算穩定流形和不穩定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運用于計算擬Hamilton系統產生混沌運動的參數閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計算了擬Hamilton系統的Melnikov函數，并得出了系統的Hopf分岔條件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對應的Melnikov函數，并且得到了產生混沌時的系統參數閾值.由于非光滑擬Hamilton系統相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對非光滑動力學系統必須構建新的Melnikov函數來分析系統的全局特性，目前國內外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構建了非光滑碰振系統同宿軌道的Melnikov函數，能很好地預測在碰撞面和外激勵共同作用下同宿軌道發生破裂產生混沌的參數范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統，給出了有關極限環分岔以及Melnikov函數展開形式的結果.但是這些少量關于非光滑系統的Melnikov函數計算方法的文章也只是針對同宿軌道而言的，并沒有考慮同時存在的同宿軌道內部周期軌道族在碰撞面和激勵力共同作用下的多種非線性動力學現象.
湖南大學學報（自然科學版）2014年第10期張思進等：一類擬Hamilton碰振系統的全局分岔及多解共存現象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統同宿軌道的Melnikov函數的計算方法，得到同宿軌破裂產生混沌的參數范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數形式，并用一類擬Hamilton碰振系統作為算例，詳細介紹了其計算方法和運用，數值結果驗證了我們構造的Melnikov函數的有效性.另外根據同宿軌道的Melnikov函數和次諧軌道Melnikov函數確定的區域將整個參數范圍分為3個區域，并對其中運動形式較復雜的重疊區域繪制了全局分岔圖，運用改進的胞映射方法進行全局動力學分析，發現系統存在多種吸引子共存現象，隨著激勵力變化吸引子數目形態發生變動，且各個吸引域形態復雜、相互纏繞.
1同宿軌道的Melnikov方法
2周期軌道次諧Melnikov函數及混沌分析
雖然針對非光滑碰振系統同宿軌道的Melnikov函數已給出，能很好地預測同宿軌道破裂產生混沌的參數范圍，但是并不能解釋（在非混沌區域）同宿軌道內部存在的一簇簇周期軌道在激勵力和碰撞面的共同作用下產生的各種非線性運動現象.本文嘗試給出非光滑碰振系統共振周期軌道次諧Melnikov函數，用以確定系統可能出現的次諧周期解參數范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統，系統的模型方程同上，具體表達式見（1）.在同宿軌道內部圍繞中心有以參數為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對稱，本文分析x>0部分.
參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數的形式，也是分為兩個部分：類似光滑非線性動力系統部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數可以假定定義為：
2.1周期軌道次諧Melnikov函數運用算例
