多項式因式分解與線性空間直和分解的關系

余興民

（商洛學院 數學與計算機應用學院，陜西商洛 726000）

1 引言及結論

設V是n維線性空間，σ是V的一個線性變換，因 σk，k=0，1，…，n2，一定線性相關，于是必存在非零多項式f(x)，使得f(σ)=0。把滿足f(σ)=0的次數最低的、首項系數為1的非零多項式f(x)稱為σ的最小多項式。類似可給出n階矩陣的最小多項式的定義。線性變換σ的最小多項式就是σ關于線性空間V的任意基的矩陣的最小多項式。

2 定理的證明

定理1設σ是n維線性空間V的線性變換，m(x)是σ的最小多項式，若m(x)=h(x)g(x)，且(h(x)，g(x))=1，則V能分解成σ的不變子空間W1和 W2的直和，其中 W1={α|h(σ)α=0，α∈V};W2={α|g(σ)α=0，α∈V}，并且 h(x)，g(x)分別是 σ|W1=σ1，σ|W2=σ2的最小多項式。

證明 1)分三步證明，

首先，Wi(i=1,2)為σ的不變子空間，設α,β∈W1，則 h(σ)α=0，h(σ)β=0。

由 h(σ)(α+β)=h(σ)α+h(σ)β=0，

h(σ)(kα)=kh(σ)α=k0=0，

h(σ)(σα)=σh(σ)α=σ0=0

即得W1為σ的不變子空間,同理可證W2為σ的不變子空間。

其次，V是W1與W2的直和，

因(h(x)，g(x))=1，故存在多項式 u(x)，v(x)使h(x)u(x)+g(x)v(x)=1，

因此 h(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)=ε，于是對 V 中任一向量α：

h(σ)u(σ)α+g(σ)v(σ)α=α

令 α1=g(σ)v(σ)α，α2=h(σ)u(σ)α，

則 h(σ)α1=h(σ)g(σ)v(σ)α=m(σ)v(σ)α=0

g(σ)α2=g(σ)h(σ)u(σ)α=m(σ)u(σ)α=0

所以

又若 β∈W1∩W2，則 h(σ)β=0，g(σ)β=0，于是(u(σ)h(σ)+v(σ)h(σ))β=ε β= β

所以 β=0，從而 V=W1⊕W2

最后，h(x)，g(x)分別是 σ1，σ2的最小多項式。

由 W1的定義，對任一向量 α1∈W1，h(σ)α1=0，若?(h1(x))＜?(h(x))，且 h(σ)α1=0

用 h1(σ)g(σ)作用(1)式 α=α1+α2的兩邊，得

h1(σ)g(σ)α=h1(σ)g(σ)α1＋h1(σ)g(σ)α2=0

所以 h1(σ)g(σ)=0，則 m(x)|h1(x)g(x)，即

h(x)g(x)|h1(x)g(x)，

就有 h(x)|h1(x)，這與?(h1(x))＜?(h(x))矛盾，因此h(x)為σ|W1=σ1的最小多項式。

同理可證g(x)為σ|W2=σ2的最小多項式。

定理2 若 m(x)=h1(x)h2(x)·…·hs(x)，且多項式hi(x)(i=1，2，…，s)兩兩互素，則V是σ的不變子空間 Wi的直和，其中 Wi={α|hi(σ)α=0，α∈V}，

且 hi(x)是 σ|Wi=σi的最小多項式(i=1，2，…，s)。

證明 對m(x)的因子個數s用歸納法。

當s=2時，由(1)式知結論成立。

假設對s-1成立，來證對s個因子結論也成立。

m(x)=h1(x)·…·hs-1(x)hs(x)=h(x)hs(x)，

其中 h(x)=h1(x)…hs-1(x)，

由所有 hi(x)(i=1，2，…，s)的兩兩互素，故

(h(x)，hs(x))=1，由(1)式得 V=W⊕Ws。

這里W，Ws都是σ的不變子空間，且h(x)，hs(x)分別是σ|W與σ|Ws的最小多項式。

由歸納假設，W是s-1個σ|W的不變子空間W1，W2，…，Ws-1的直和，且 hi(x)是 σ|Wi(i=1，2，…，s-1)的最小多項式。所以

V=W1⊕W2⊕…⊕Ws-1⊕Ws，

Wi為 σ 的不變子空間，hi(x)為 σ|Wi(i=1，2，…，s-1)的最小多項式，于是對任何自然數s(s＞1)結論成立。

作為定理2的特殊情況，在復數域上，就……