包絡定理及其應用

陳頌 閆曉芳

摘 要：包絡在數學中是一個很基本的概念，在各個學科上都有自己獨特的含義。通過討論包絡在數學中的概念，研究和數學聯系非常緊密的經濟學中包絡的應用。

關鍵詞：包絡；包絡定理；克萊羅方程

包絡，形象地說就是許多橢圓形曲線交織，外觀看起來是包起來的一樣，故名包絡。它在數學、物理學、文學、經濟學、地質學、傳統中醫學等上都有自己獨特的含義。本文主要討論包絡在數學中的概念，以及和數學聯系非常緊密的經濟學中的應用。本文共分五個部分，具體如下：

一、包絡的概念

在數學上，一族平面直線（或曲線）的“包絡”（envelope）是指一條與這族直線（或曲線）中任意一條都相切的曲線。假設這族平面曲線記為F（t，x，y），這里不同的t對應著曲線族中不同的曲線，則包絡線上的每一點滿足下面的兩條方程：

F（t，x，y）=0■（t，x，y）=0

由這兩條方程消去t后便可得出包絡線的隱式表示。類似地可以定義空間中一族平面（或曲面）的包絡。

數學中包絡線的例子很多。例如，繡曲線是包絡線；直線族（A-s）x+sy=（A-s）（s）（其中A是常數，s是直線族的變量）的包絡線為拋物線。

二、包絡在幾何中的概念

幾何中有包絡原理（the envelope principle），它的定義為：平面內，以A、B為頂點的一條線段的一側有若干個點，與A，B相連構成一個凸多邊形，則該圖形除AB外所有邊之和大于AB；

若在該圖形之外且在AB同側有另外若干點與AB構成另一個凸多邊形，則此多邊形的周長大于上一圖形的周長。

利用此原理，可證明一個圓的周長大于其內接凸多邊形，小于其外切凸多邊形，進而可以不斷地縮小π的取值范圍。

三、包絡在微分方程中的概念

在微分方程中，一階微分方程的奇解是通解曲線族的包絡。例如，在常微分方程克萊羅（Clairaut）方程u=tu′+f（u）′中，兩邊對t取導數，得：u′=u′+tu′+f′（u′）u″整理得：（t+f′（u′））u″=0

由此可知u″=0或u″=-t.當u″=0時，u=Ct+f（C），稱為克萊羅方程的一般解。當u′=-t時，只有一個解，其圖像是一般解的圖像的包絡線。也就是說，克萊羅方程的通解是直線族，而奇解是克萊羅方程的奇積分曲線，對應的是通解的包絡。用圖形可以非常直觀的表示出來，這樣也可以更好地理解這一概念。

四、包絡在光學中的應用

科學家惠更斯提出了包絡面理論，他認為，在波的傳播過程中，總可以找到同相位各點的幾何位置，這些點的軌跡是一個等相位面，叫做波面（即包絡面）。

惠更斯是世界知名物理學家、天文學家、數學家和發明家。他曾提出次波的假設來闡述波的傳播現象，創建惠更斯原理?；莞乖砜杀硎鋈缦拢喝魏螘r刻波面上的每一點都可作為次波的波源，各自發出球面次波；在以后的任何時刻，所有這些次波面的包絡面形成整個波在該時刻的新波面。光的直線傳播、反射、折射等都能以此來進行較好的解釋。此外，惠更斯原理還可解釋晶體的雙折射現象。

起初惠更斯原理是比較簡單的，用它只能解釋波繞過障礙物的非直線傳播，而不能解釋衍射現象產生的明暗條紋。菲涅耳在惠更斯原理的基礎上，補充了描述次波的基本特征——位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干疊加”的原理，從而發展成為惠更斯—菲涅耳原理。

菲涅耳以惠更斯原理和干涉原理為基礎，用新的定量形式建立了惠更斯—菲涅耳原理，完善了光的衍射理論。由于他在物理光學研究中的重大成就，被譽為“物理光學的締造者”。

五、包絡在經濟學中的應用

包絡在經濟學上指的是每條包絡線上，在連續變化的每一個產量水平上，都存在著長期成本LTC曲線和一條短期成本STC曲線的相切點。

經濟上的包絡定理考慮含參量a的函數f（x，a）的無條件極值問題（x是內生變量，a是外生變量），顯然，其最優解V是參量a的函數，即V（a）。

包絡定理指出：V對a的導數等于f對a的偏導數（注意是f對“a所在位”變量的偏導數）。

包絡定理主要用于比較靜態分析。比如，價格P1變化對效用最大值的邊際影響，包絡定理，求拉格朗日方程對P1的偏導就能得到，其結果是-X1*λ，其中X1是需求量，λ是拉格朗日乘子。

這里注意，事實上λ和X1也都是價格的函數。但包絡定理的結論是，在求偏導的時候不用考慮這一點。

參考文獻：

[1]陳維桓.微分幾何[M].北京大學出版社，2006.

[2]Eugene Siberberg，Wing Suen.The Siructure of Ecinomics[M].北京：清華大學出版社，2003.

作者簡介：陳頌，女，1985年7月出生，碩士，就職于河南省永城市永城職業學院，研究方向：數學教學。

閆曉芳，女，1980年5月出生，碩士，就職于河南省永城市永城職業學院，研究方向：數學教學。