基于鮑摩-瓦爾夫模型及算法在木材倉儲中心選址中的應用

豆佳梅，孟利清，錢良輝，潘 祥（西南林業大學 機械與交通學院，云南 昆明 650224）

在木材倉儲中心的選址規劃過程中，如何確保總的木材倉儲成本和運輸成本最優化，是非常重要的問題。由于木材生產的地域性、季節性與需求的分散性、廣泛性之間的矛盾，使得木材物流相當復雜，隨著木材物流運輸倉儲等問題的不斷出現，不少林產企業已經充分認識到木材物流的重要性，迫切希望通過木材倉儲選址的優化提高木材物流管理水平以及降低木材的運輸成本，以開發木材行業的第三利潤源，目前我國對于木材物流研究仍不很深入，相關研究報道較少，而鮑摩－瓦爾夫模型及算法的應用發展為之提供了切實可行的實現途徑，在這種背景下，研究木材倉儲中心選址優化并加以應用是十分及時和必要的。

對于擬定的木材倉儲中心選址，要能確保一定區域內木材運輸、倉儲過程中的最佳方案，以達到總運輸費用和倉儲費用最小化的目的。

1 問題描述及模型建立

有m個伐區楞場，經過木材倉儲中心發售給n個地區的需材點。其中楞場伐區的生產能力已知，每個需材點的需求量已知。模擬建立若干個木材倉儲中心，候選地點有S個，問題是如何從S個候選地點中選擇若干個地點作為木材倉儲中心，使木材物流費用達到最小。上述問題可以簡單表述為：在伐區楞場、需材點一定的情況下，在若干個備選地址中，找出木材物流節點的數量和位置，使得通過木材物流節點所運送的木材的固定成本和可變成本在下列約束條件下最低：（1）不能超過每個伐區楞場的供貨能力；（2）所有需材點的需求必須得到滿足；（3）每個木材倉儲中心的總進貨量等于總出貨量。

式中：i為楞場伐區（i=1,2,…,m ）；j為木材倉儲中心（j=1,2,…,s）；k為需材點（k=1,2,…,n ）；Ai為楞場伐區i的供應量（i=1,2,…,m ）；Bk為需材點k的需求量（k=1,2,…,n ）；Cij為從楞場伐區i到木材倉儲中心j的單位運輸成本；Djk為從木材倉儲中心j到需材點k的單位運輸成本；Zj為木材倉儲中心j的產品通過量；Vj為木材倉儲中心j的固定費用；r（ Zj）為Zj=0時取0，否則取1；Wj為木材倉儲中心j每單位通過量的變動成本（在考慮變動成本時，引進指數p，滿足條件0＜p＜1，以便考慮木材倉儲中心的規模經濟性，木材倉儲中心j的變動費用為WjZjp，如果不考慮規模的經濟性，可令p=1）；Xij為伐區楞場i到木材倉儲中心j的運量；Yjk為木材倉儲中心j到需材點k的運量。

2 模型求解

由于木材物流總成本函數是非線性的，因此，上述問題是一個非線性規劃問題，可以先求出初始解，然后迭代計算，主次逼近最優解。步驟如下：

第一步，求初始解，首先對伐區楞場與需材點之間的所有組合（i,k），求每單位運輸成本最小值。即求出從伐區楞場i到需材點k的運輸成本最低的路線，其運輸成本為：C0ik=min｛ Cij+ Djk｝

注意式中左邊下標（i,k ）對應于某一個j值，引入變量Uik，表示從伐區楞場i經過某一個木材倉儲中心j到需材點k的流通量。解如下線性規劃（運輸）問題：

所有 Uik＞0

求出Zj的初次解Z0i。

第二步，求二次解，設經過木材倉儲中心j的所有（i,k）組成的集合為G（j），那么：

以運輸成本和變動費的合計最小為目標，求得最優路線，即令：上式是由配送總成本函數微分所得的每單位的總成本。解如下線性規劃問題：

所有 Uik＞0

利用所求的解Uik，求出對應的Z1j。

第三步，求最優解，按第二步方法反復計算，將（n－1）次解的木材倉儲中心通過量與n次解的木材倉儲中心通過量Znj進行比較，如果相等則終止計算，所得的解就是最優解。

3 算法分析

本例中有兩個伐區楞場A1,A2，故i=2；兩個伐區楞場向8個地區供應木材，在每個地區各有一個需材點，故k=8。現有5個木材倉儲中心候選地D1,D2,D3,D4和D5，選擇哪幾個木材倉儲中心使得總的運輸成本最小，故j=5。在此，要考慮規模經濟量，即運輸費用與木材通過量呈非線性關系。已知條件如伐區楞場到木材倉儲中心候選地的單位運輸成本（Cij）見表1，木材倉儲中心候選地的變動費（WjZpj）見表2，木材倉儲中心候選地的變動成本（Djk）見表3。

表1 伐區楞場到木材倉儲中心候選地的單位運輸成本（Cij）

表2 木材倉儲中心候選地的變動費（W jZ p j ）

3.1 初始解。對于伐區楞場到需材點的所有組合，找出使運輸成本和配送成本之和為最小的木材倉儲中心，見表4。解運輸問題得到初始解，見表5。

表3 木材倉儲中心候選地的變動成本（Djk）

表4 最小運輸成本

表4 最小運輸成本

注：括號內的Dj表示通過的倉儲中心

需材點伐區楞場A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8（D1）17（D1）10（D2）15（D2）20（D2）27（D2）43（D2）37（D2）47 A2（D1）37（D2）26（D3）17（D3）12（D3）16（D4）20（D4）24（D5）22

表5 初始解

3.2 第二次解。利用初始解，可以求出各木材倉儲中心候選地的通過量Z0j，進而求出C1ik。由于取p=0.5，所以木材倉儲中心單位量費用（變動費）按公式計算。各數據結果見表6和表7。

表6 木材倉儲中心通過量和變動費用

表7 最小運輸成本

表7 最小運輸成本

需材點伐區楞場A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8（D1）32（D1）25（D1）33（D3）40.5（D3）44.5（D4）55（D3）54.5（D4）59 A2（D1）52（D3）44.5（D3）32.5（D3）27.5（D3）31.5（D4）30（D4）34（D4）34

再對伐區楞場到需材點的所有組合，選擇運輸成本、配送成本與變動成本之和的最小值，對應的流動路線為最省路線，然后求解運輸問題，得到第二次解，見表8。

表8 第二次解

3.3 第三次解。利用第二次解，求出各木材倉儲中心候選地的通過量Z1j，進而求出C2ik。由于D2和D5沒有通過量，為了以后討論中除掉這兩個木材倉儲中心候選地，設D2和D5的變動費為無窮大，見表9。以此為基礎，對伐區楞場到需材點的所有組合，求出總成本最小值，然后求解運輸問題，得到第三次解，見表10和表11。

表9 木材倉儲中心第二次通過量和變動費用

表10 最小運輸成本

表10 最小運輸成本

需材點伐區楞場B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A1 A2（D1）27.6（D1）47.6（D1）20.6（D1）40.6（D1）28.6（D3）32.5（D1）37.6（D3）27.5（D1）45.6（D3）31.5（D4）53.5（D4）28.5（D3）54.5（D4）32.5（D4）57.5（D4）32.5

表11 第三次解（最終解）

由于第三次解的通過量與第二次解的通過量相同，所以第三次解便是最終解。由最終解可以看出，在五個候選地中，選取D1,D3,D4三處設置木材倉儲中心為宜。

4 結論

木材倉儲中心的選址布局對木材物流系統的合理化和經濟效益有重要影響。許多數量化、模型化的方法被加以應用并在實際中得到改進。計算較容易，可用物流總成本評價，目標是以最優解木材倉儲中心的通過量，決定設施規模，可根據木材倉儲中心的變動費，考慮規模的經濟性。本文在將鮑摩-瓦爾夫模型用于解決運輸費用和木材倉儲中心經濟規模費用倉儲中心選址問題時，表面看來只考慮了經濟效益，但是在經濟效益中運輸成本是由眾多因素決定的，木材倉儲中心規模的影響在模型中也得到了體現，所以此方法比較綜合和客觀地反映了木材倉儲中心的合理位置。實例分析表明，該方法能方便直觀地解決選址問題，是求解此類問題的有效方法。

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