基于顧客服務(wù)水平的物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題

單而芳，孫廣帥（上海大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200444）

0 引言

物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題是供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)中的一個(gè)主要問(wèn)題。以往研究物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題的文獻(xiàn)主要將物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題分為三個(gè)層面，即戰(zhàn)略層面、策略層面和運(yùn)營(yíng)層面。從戰(zhàn)略和策略層面上來(lái)研究，Miller[1]利用一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型解決了鐵路網(wǎng)絡(luò)選址的最優(yōu)化問(wèn)題；Crainic[2]利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法做了一個(gè)內(nèi)部服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)；Melkote和Daskin[3]使用混合整數(shù)規(guī)劃將設(shè)施選址的問(wèn)題和網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題結(jié)合在一起；Drezner和Wesolowsky[4]運(yùn)用啟發(fā)式算法介紹了一種確定設(shè)施連接的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題；高陽(yáng)和李雪[5]針對(duì)逆向物流網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)和回收廢舊品數(shù)量的不確定性，建立了隨機(jī)多目標(biāo)規(guī)劃模型；廖偉和潘瑤[6]考慮碳的成本和環(huán)境雙重因素，建立起碳交易下的低碳銷(xiāo)售物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型；伍星華和王旭[7]以再制造閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)為研究對(duì)象，以總運(yùn)營(yíng)收益最大為目標(biāo)，建立了再制造閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的同周期優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。然而，隨著對(duì)于物流網(wǎng)絡(luò)的逐漸深入的研究，學(xué)者們考慮更多的是將戰(zhàn)略、策略層面與運(yùn)營(yíng)層面相結(jié)合，從單一的物流網(wǎng)絡(luò)路線設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)為對(duì)物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)和商品運(yùn)輸、加工處理、倉(cāng)儲(chǔ)以及銷(xiāo)售相結(jié)合的問(wèn)題上來(lái)。例如：Jayaraman[8]在FLP結(jié)構(gòu)中加入了EOQ庫(kù)存模型和采購(gòu)成本（假設(shè)庫(kù)存有確定的批量和確定的需求）；Nozick和Turnquisk[9]提出了一個(gè)關(guān)于完全庫(kù)存成本的線性函數(shù)，并將其作為設(shè)置分配中心的函數(shù)；Daskin，Coullard和Shen[10]，Miranda和Garrido[11]發(fā)表了相似的FLP模型關(guān)于庫(kù)存控制決策的文獻(xiàn)；Miranda和Rarrido[12]提出了通過(guò)控制安全庫(kù)存來(lái)解決物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的問(wèn)題。最近Jiuh-Biing Sheu和Alex Y.-S.Lin[13]提出了利用分層的網(wǎng)絡(luò)設(shè)施區(qū)解決全局物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的問(wèn)題；周向紅和高陽(yáng)[14]考慮廢品回收中心的處理能力限制和庫(kù)存成本，以回收網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)利潤(rùn)最大化和社會(huì)效益最大化為目標(biāo)，建立了多周期多目標(biāo)的廢舊品回收網(wǎng)絡(luò)模型；韓雪和張鄰[15]通過(guò)考慮服務(wù)水平、物流成本以及產(chǎn)品價(jià)格之間的相互作用，建立了物流網(wǎng)絡(luò)雙層規(guī)劃模型。

通過(guò)上述的文獻(xiàn)可以看出，目前的物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的研究更多的在于將策略和戰(zhàn)略層面同運(yùn)營(yíng)層面相結(jié)合，理論聯(lián)系實(shí)際，在傳統(tǒng)的選址問(wèn)題的基礎(chǔ)上，加大了對(duì)于商品運(yùn)輸、加工處理、存儲(chǔ)以及銷(xiāo)售等細(xì)節(jié)方面的研究。

本文主要是對(duì)供應(yīng)鏈中商品在基于顧客服務(wù)水平下的物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的優(yōu)化研究。通過(guò)將物流網(wǎng)絡(luò)中策略和運(yùn)營(yíng)層面的問(wèn)題相結(jié)合，將傳統(tǒng)的選址問(wèn)題、定價(jià)問(wèn)題以及顧客的服務(wù)水平等問(wèn)題結(jié)合起來(lái)去考慮，將原本靜態(tài)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)模型。使其與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題更加契合。最后，通過(guò)將選址、定價(jià)以及顧客服務(wù)水平的結(jié)合，又找出了顧客服務(wù)水平與零售價(jià)格之間的關(guān)系，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

1 背景介紹

如圖1，供應(yīng)商i經(jīng)由配送中心j運(yùn)輸?shù)纳唐窋?shù)量為Yij，由配送中心j到零售商k運(yùn)輸?shù)纳唐窋?shù)量為Xjk，而零售商接收到訂購(gòu)的貨物后，又需要將貨物提供給顧客以滿足顧客的需求。

在此研究背景下，對(duì)于供應(yīng)商會(huì)有幾個(gè)策略上的計(jì)劃問(wèn)題：

（1）決定挑選哪幾個(gè)配送中心來(lái)加工和處理商品。

（2）確定由供應(yīng)商經(jīng)由配送中心j貨物Yij的數(shù)量。

（3）確定經(jīng)由配送中心j到達(dá)零售商k的貨物Xjk的數(shù)量。

（4）確定商品的批發(fā)價(jià)格。

對(duì)于零售商會(huì)有運(yùn)營(yíng)上的計(jì)劃問(wèn)題：確定倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存的服務(wù)水平等級(jí)。

另外，在本問(wèn)題中還要做出以下的幾個(gè)假設(shè)：

（1）顧客的需求是不確定性的；

（2）零售商k與倉(cāng)庫(kù)之間的距離可以忽略為0；

（3）由于本文中研究的零售商與顧客是1對(duì)1的，所以根據(jù)Miranda[12]的研究中提出的假設(shè)：顧客的需求概率密度函數(shù)與倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)存概率密度函數(shù)相等。即用1-α表示顧客需求的概率（同時(shí)也表示倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存的概率），Z1-α表示倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存的安全系數(shù)。由于顧客的服務(wù)水平與顧客的需求概率呈正相關(guān)關(guān)系。顧客的需求概率等于倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存的概率，而根據(jù)庫(kù)存安全系數(shù)的定義來(lái)看，倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存概率與倉(cāng)庫(kù)安全系數(shù)呈正相關(guān)。故可以推出：顧客的服務(wù)水平與倉(cāng)庫(kù)的安全系數(shù)是正相關(guān)關(guān)系。

圖1 運(yùn)輸配送網(wǎng)絡(luò)

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 參數(shù)和變量

Q*i：每個(gè)供應(yīng)商i最大提供的商品量；

Qk：零售商k訂購(gòu)貨物的量；

Dk：顧客k每日的平均需求量；

pk：供應(yīng)商賣(mài)給零售商k的商品的批發(fā)價(jià)格；

Yij：供應(yīng)商i經(jīng)過(guò)配送中心j運(yùn)輸商品的數(shù)量；

Xjk：經(jīng)由配送中心j到零售商k運(yùn)輸商品的數(shù)量；

ej：建設(shè)配送中心j所需要的固定成本；

bj：為0-1變量，0：j被選為配送中心，1：j不被選為配送中心；

αij：從供應(yīng)商i經(jīng)由配送中心j的單位的運(yùn)輸成本；

βjk：由配送中心j到零售商k的單位運(yùn)輸成本；

cj：配送中心j加工處理貨物的單位成本；

dk：顧客k每日需求的不確定量；

Fk（q）：顧客k的需求量q的概率密度函數(shù)；

φk：零售商k的零售價(jià)；

hk：零售商k倉(cāng)庫(kù)商品的單位儲(chǔ)存成本；sk：零售商k倉(cāng)庫(kù)商品的單位缺貨成本；

LTk：零售商k的補(bǔ)貨提前期；

（1-α ）k：零售商k對(duì)應(yīng)顧客需求的概率；

Z（1-α）k：零售商k倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)存安全系數(shù)。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

由于供應(yīng)商要確定在物流網(wǎng)絡(luò)中得到最大的收益，他們需要考慮以下的幾個(gè)因素：

綜上，供應(yīng)商的目標(biāo)函數(shù)可以寫(xiě)為：

另一方面，零售商k的利潤(rùn)需要考慮以下幾個(gè)因素：

（1）零售商k訂購(gòu)商品的成本：

（2）零售商k的銷(xiāo)售收益：

（3）零售商k剩余商品的持有成本：

這里 ［Qk－ Dk］+=max｛ Qk－ Dk,0｝

（4）零售商k的缺貨成本：

這里 ［Dk－ Qk］+=max｛ Dk－ Qk,0｝

通過(guò)上面這些因素，可以將零售商的利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)寫(xiě)成：

由于顧客的需求是不確定性的，所以我們只能確定零售商的期望利潤(rùn)。基于公式（12），零售商的利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

用ESR表示所有零售商銷(xiāo)售利潤(rùn)，它可以表示為：

用EIC表示在顧客需求不確定性條件下的期望倉(cāng)庫(kù)成本，它可以表示為：

整理之后可以得到：

3 理論方法

對(duì)于供應(yīng)商的數(shù)學(xué)模型來(lái)講，它是一個(gè)非線性的混合整數(shù)規(guī)劃的問(wèn)題，本文是利用軟件Lingo來(lái)對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行求解。

對(duì)于零售商的數(shù)學(xué)模型，首先Adelman[16]和Javid[17]證明它的目標(biāo)函數(shù)是凹的（保證它的二階導(dǎo)數(shù)是大于0的）。因此，如果我們認(rèn)為E［ θ（ D,Q ）］是一個(gè)關(guān)于Qk的連續(xù)函數(shù)，那利潤(rùn)最大的點(diǎn)是可以通過(guò)來(lái)獲得。

則可以得到：

另外，根據(jù)Pablo A.Miranda[10]在文獻(xiàn)中得到的結(jié)果顧客需求的概率所以我們可以推導(dǎo)出1-α

基于上述的分析，我們分別得到供應(yīng)商利潤(rùn)最大和零售商利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型。但是，要同時(shí)求得兩者利潤(rùn)最大的結(jié)果，本文使用到遺傳算法。算法的步驟如圖2所示：

圖2

4 實(shí)證分析

由于文章中數(shù)學(xué)模型中的變量和參數(shù)比較多，在現(xiàn)實(shí)中難以獲得全部的真實(shí)數(shù)據(jù)，所以文章用隨機(jī)數(shù)來(lái)對(duì)模型進(jìn)行模擬，并驗(yàn)證是否能求得最優(yōu)解。

4.1 首先根據(jù)顧客需求概率1-α的未知和已知，我們可以將數(shù)學(xué)模型分為兩種情況：

4.1.1 當(dāng)顧客需求概率1-α為已知時(shí)，那可以直接根據(jù)公式，來(lái)求得訂貨量Qk和供應(yīng)商的批發(fā)價(jià)pk。

模型中各參數(shù)取值如表1、表2：

表1

表2

經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得出：

4.1.2 當(dāng)顧客需求概率1-α未知時(shí)，則需要根據(jù)圖2的算法進(jìn)行迭代和計(jì)算從而得出最后的最優(yōu)解如表3～表7：

表3

表4

表5

表6

表7

求解得：Q1=909,p1=9；Q2=1 606,p2=9；Q3=1 207,p3=7；Q4=1 208,p4=10。

以上求解得到的都是局部最優(yōu)解，由于此問(wèn)題是NP-難問(wèn)題[18]，所以無(wú)法得到全局最優(yōu)解。

4.2 本文除了求得最優(yōu)解之外，還將對(duì)1-α和φk之間的關(guān)系進(jìn)行分析

首先，在討論1-α和φk的關(guān)系時(shí)，前提是以供應(yīng)商的利益作為主體。所以根據(jù)公式，由于供應(yīng)商的利益為主體，使其利益最大化。即令pk無(wú)限接近于φk，可以得到：

由于sk和hk為固定值，所以我們可以看出顧客需求的概率1-α和零售商的零售價(jià)φk是呈反函數(shù)的關(guān)系。同時(shí)顧客需求概率1-α和顧客服務(wù)水平是呈正相關(guān)關(guān)系。所以：當(dāng)sk和hk一定，零售價(jià)φk越大，則顧客需求概率1-α越小，相應(yīng)的顧客服務(wù)水平（安全庫(kù)存系數(shù)）也越小；反之零售價(jià)φk越小，則顧客需求概率1-α越大，相應(yīng)的顧客服務(wù)水平（安全庫(kù)存系數(shù)）也越大。（如圖3所示）

5 結(jié)論

本文主要研究基于顧客服務(wù)水平下的物流網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。通過(guò)考慮物流運(yùn)營(yíng)管理中庫(kù)存管理以及顧客服務(wù)水平的因素，優(yōu)化了以供應(yīng)商到配送中心再到零售商的物流網(wǎng)絡(luò)。解決了供應(yīng)商與零售商收益最大化的物流設(shè)計(jì)方案。另外，在考慮供應(yīng)商為主體，即實(shí)現(xiàn)供應(yīng)商利益最大化的前提下，得到顧客需求概率與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系，并且又推導(dǎo)出顧客服務(wù)水平與零售價(jià)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系這一結(jié)論。對(duì)于現(xiàn)實(shí)中滿足顧客需求同時(shí)保證零售商利益最優(yōu)情況，有著一定的借鑒作用。現(xiàn)實(shí)中，由于涉及服務(wù)水平的因素是多方面的，因此考慮更多與服務(wù)水平相關(guān)的因素并且尋找它們與服務(wù)水平之間的變化關(guān)系是需要進(jìn)一步探索的重要問(wèn)題。

圖3 sk為20，hk為3的顧客需求的概率1-α和零售商的零售價(jià)φk的關(guān)系圖

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