基于對稱約化的偏微分方程相似解研究

李曉燕+張成

摘 要： 由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性，對于其求解問題的研究目前還沒有通用的方法，為了豐富非線性系統(tǒng)的求解方法，在此通過偏微分方程的決定方程確定點(diǎn)對稱無窮小生成元，結(jié)合對稱約化中的非經(jīng)典Lie群法得到熱方程新的相似解，并基于符號計(jì)算系統(tǒng)Maple給出相應(yīng)的符號計(jì)算方法和實(shí)現(xiàn)步驟。結(jié)果表明，該算法能夠有效求解PDEs的相似解，并且不需要顯示地求解對應(yīng)于不變曲面條件的特征方程，同時(shí)也適用于其他的發(fā)展方程。

關(guān)鍵詞： 偏微分方程； 對稱約化； 非經(jīng)典Lie群法； 相似解

中圖分類號： TN911?34； O175.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）22?0027?03

Study on similarity solution of partial differential equations based on symmetry reduction

LI Xiao?yan， ZHANG Cheng

（Network Information Center， Yanan University， Yanan 716000， China）

Abstract： Because of the complexity of nonlinear systems， the general method to solve the systems has not been found. In order to enrich the method for solving nonlinear systems， the point symmetry infinitesimal generator was determined by the decision equations of partial differential equations， and the new similarity solution of a heat conduction equation was obtained in combination with the non?classical Lie group approach in the symmetry reduction. The corresponding symbolic computation method and implementation steps are given according to the symbolic computation system Maple. The results demonstrate the method can solve the similarity solutions of PDEs effectively without the need to solve the characteristic equation corresponding to the invariant curved surface. It can also be applied to other evolution equations.

Keywords： partial differential equation； symmetry reduction； non?classical Lie group approach； similarity solution

0 引 言

近年來，在自然科學(xué)、工程技術(shù)及社會(huì)科學(xué)等眾多領(lǐng)域相繼獲得了大量具有實(shí)際物理背景的偏微分方程。作為復(fù)雜物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，研究偏微分方程的解能夠揭示許多重要現(xiàn)象的本質(zhì)及其動(dòng)態(tài)演化過程，新的精確解和數(shù)值解還可以幫助人們發(fā)現(xiàn)新的非線性現(xiàn)象及規(guī)律，這引起了科學(xué)家的極大關(guān)注。尋找偏微分方程孤立子解及精確解的方法也隨之蓬勃發(fā)展起來，如經(jīng)典和非經(jīng)典Lie群法[1?3]、CK直接法[4]、反散射方法（IST）[5]，Hirota雙線性方法[6]， B?cklund變換法[7]， Tanh函數(shù)法[8]等。

本文基于符號計(jì)算系統(tǒng)Maple，提出用決定方程確定無窮小生成元的方法，結(jié)合非經(jīng)典Lie群法得到熱傳導(dǎo)方程新的相似解，從而驗(yàn)證了該方法在求解偏微分方程中的有效性。

1 方法簡介

考慮[m]階偏微分方程

[P（x，u，ui，…）=0， x∈Rn] （1）

（其中：[ui≡?u?xi]）和不變曲面條件

[P1（x，u，ui，…）=i=1nξi（x，u）ui-η（x，u）=0] （2）

在單參數(shù)Lie群變換

[x′=x+εξ（x，t，u）+ο（ε2）t′=t+ετ（x，t，u）+ο（ε2）u′=u+εη（x，t，u）+ο（ε2）] （3）

下不變的性質(zhì)。不變曲面條件式（2）表明解曲面在具有無窮小生成子

[X=i=1nξi（x，u）??xi+η（x，u）??u] （4）

參數(shù)Lie群變換（3）下是不變的。相應(yīng)的對稱條件是：

[X[m]PP=0?P1=0=0X[1]P1P=0?P1=0=0] （5）

2 應(yīng)用舉例

考慮熱方程

[ut=uxx] （6）

熱傳導(dǎo)方程（或稱熱方程）是一個(gè)重要的偏微分方程，它可以描述熱量的傳導(dǎo)過程、分子擴(kuò)散過程等物理現(xiàn)象[9?13]。

熱方程式（6）的點(diǎn)對稱無窮小成元為：

[X=ξx，t，u??x+τx，t，u??t+ηx，t，u??u] （7）

在熱方程中，[x，t]為自變量，[u]為因變量，可知其二階延拓為：

[pr2v=v+?x??ux+?t??ut+?xx??uxx+?xt??uxt+?tt??utt] （8）

式中：

由等式左右兩端對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得到熱方程對稱群的決定方程如下：

[uxuxt： 0=-2τu] （11）

[u2xx： -τu=-τu] （12）

[uxt： 0=-2τx] （13）

[u2xuxx： 0=-τuu] （14）

[u3x： 0=-ξuu] （15）

[uxuxx： ξu=-2τxu-3ξu] （16）

[u2x： 0=?uu-2ξxu] （17）

[uxx： ?u-τt=-τxx+?u-2ξx] （18）

[ux： -ξt=2?xu-ξxx] （19）

[1： ?t=?xx] （20）

在決定方程中，由[uxuxt]和[uxt]的系數(shù)可知[τ]僅僅是關(guān)于[t]的函數(shù)；由[uxuxx]系數(shù)知[ξ]不依賴于[u]；由[uxx]系數(shù)知[τt=2ξx]，因此知[ξ]具有形式：

[ξx，t=12τtx+σt]

這里[σt]僅僅關(guān)于[t]的函數(shù)；由[u2x]的系數(shù)知，[?]與[u]線性相關(guān)，具有形式：

[?x，t，u=βx，tu+αx，t]

由[ux]系數(shù)知[ξt=-2βx]，將此式與[ξx，t]結(jié)合來看，易知[β]是關(guān)于[x]的二次函數(shù)：

[β=-18τttx2-12σtx+ρt]

由式（20）知函數(shù)[α]和[β]都是熱方程的解：

[αt=αxx， βt=βxx]

通過[β]的函數(shù)形式以及[βt=βxx]可以計(jì)算得出：

[τttt=0， σtt=0， ρt=-14τtt]

綜合以上分析，[τ]是關(guān)于[t]的二次函數(shù)，[σ]是[t]的線性函數(shù)，通過[ρ，σ]和[τ]直接得到[ξ]和[?]的公式，滿足了所有的決定方程，可以得出熱方程最一般的無窮小對稱具有以下系數(shù)形式：

[ξ=c1+c4x+2c5t+4c6xtτ=c2+2c4t+4c6t2?=c3-c5x-2c6t-c6x2u+αx，t]

式中：[c1～c6]為任意常數(shù)；[αx，t]為熱方程的任意解。因而，熱方程具有的點(diǎn)對稱生成元為：

[X1=?xX2=?tX3=u?uX4=x?x+2t?tX5=2t?x-xu?uX6=4tx?x+4t2?t-x2+2tu?u] （21）

考慮無窮小生成子[X6]（參數(shù)為[c6]），通過解一階常微分方程組的初值問題：

[dx*dε=4x*t*，dt*dε=4t*2]

[du*dε=-x*2+2t*u*]

且[u*=u，x*=x，t*=tε=0]。借助符號計(jì)算軟件Maple反解上式可得相應(yīng)的單參數(shù)Lie點(diǎn)變換群

[x*=Xx，t，u；ε=x1-εtt*=Tx，t，u；ε=t1-εtu*=Ux，t，u；ε=1-εtexp-εx241-εtu]

下面用直接代入法，根據(jù)[X6]作用下熱方程的不變性，求它的相似解[u=Θx，t]。

第一步：將不變曲面條件

[4xtux+4t2ut=-x2+2tu] （22）

表示為[ut]的可解形式 ：

[ut=-xtux-x24t2+12tu]（23） 第二步：利用Maple將式（23）代入熱方程式（6），得到ODE：

[uxx+xtux+x24t2+12tu=0] （24）

式中[t]是參數(shù)。參數(shù)化ODE（14）的通解為

[u=At+Btxe-x24t] （25）

式中[At]，[Bt]為任意常數(shù)。

第三步：將式（25）代入不變曲面條件式（22），得到：

[A′t+12tAt+B′t+32tBtxe-x24t=0]

因而有：

[A′t+12tAt=0B′t+32tBt=0]

從而產(chǎn)生源于[X6]作用下式（6）的不變性的PDE（6）的相似解為：

[u=Θx，t=1tC1+C2xte-x24t] （26）

3 結(jié) 論

偏微分方程相似解的有效方法主要有經(jīng)典Lie群變換法、非經(jīng)典Lie群法、CK直接變換法。較其他方法而言，非經(jīng)典Lie群法計(jì)算量更大、更復(fù)雜，但它有可能求出不同于經(jīng)典Lie群變換法、CK直接變換法的新相似解。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，運(yùn)用非經(jīng)典Lie群法，借助符號計(jì)算軟件Maple進(jìn)行快速高效地計(jì)算，避免了復(fù)雜繁冗的手工計(jì)算，得到的結(jié)果豐富了熱傳導(dǎo)方程方程的相似解。這種方法也適用于其他的發(fā)展方程（組），這對于以后研究發(fā)展方程有一定的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] BLUMAN G W， ANCO S C. Symmetry and integration methods for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 2002.

[2] BLUMANAND G W， COLE J D. Similarity method for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 1974.

[3] OVSIANNIKOV L V. Group analysis of differential equations [M]. New York： Academic Press， 1982.

[4] CLARKSON P A， KRUSKAL M D. New similarity reductions of the Boussinesq [J]. Journal of Math Phys， 1989， 30（10）： 2201?2213.

[5] ABLOWITZ M. J， CLARKSON P A. Solitons， nonlinear evolution equations and inverse scattering [M]. UK： Cambridge University Press， 1991.

[6] HIROTA R. Exact solution of the Korteweg?de Vries equation for multiple collisions of solitons [J]. Physical Review Letters， 1971， 27： 1192?1194.

[7] MIURA M R. Backlund transformation [M]. Berlin： Springer?Verlag， 1987.

[8] WAZWAZ Abdul?Majid. The tanh method and a variable separated ODE method for solving double sine?Gordon equation [J]. Physics Letters A， 2006， 350： 367?370.

[9] OLVER P J. Applications of Lie groups to differential equations [M]. New York： Springer， 1993.

[10] 郭華，鄭麗霞，白銀.幾個(gè)非線性偏微分方程的非古典對稱及相似解[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2009（4）：289?292.

[11] 劉漢澤.基于李對稱分析的偏微分方程精確解的研究[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2009.

[12] 郭玉翠.非線性偏微分方程引論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[13] 樓森岳，唐曉艷.非線性數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

式中：

由等式左右兩端對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得到熱方程對稱群的決定方程如下：

[uxuxt： 0=-2τu] （11）

[u2xx： -τu=-τu] （12）

[uxt： 0=-2τx] （13）

[u2xuxx： 0=-τuu] （14）

[u3x： 0=-ξuu] （15）

[uxuxx： ξu=-2τxu-3ξu] （16）

[u2x： 0=?uu-2ξxu] （17）

[uxx： ?u-τt=-τxx+?u-2ξx] （18）

[ux： -ξt=2?xu-ξxx] （19）

[1： ?t=?xx] （20）

在決定方程中，由[uxuxt]和[uxt]的系數(shù)可知[τ]僅僅是關(guān)于[t]的函數(shù)；由[uxuxx]系數(shù)知[ξ]不依賴于[u]；由[uxx]系數(shù)知[τt=2ξx]，因此知[ξ]具有形式：

[ξx，t=12τtx+σt]

這里[σt]僅僅關(guān)于[t]的函數(shù)；由[u2x]的系數(shù)知，[?]與[u]線性相關(guān)，具有形式：

[?x，t，u=βx，tu+αx，t]

由[ux]系數(shù)知[ξt=-2βx]，將此式與[ξx，t]結(jié)合來看，易知[β]是關(guān)于[x]的二次函數(shù)：

[β=-18τttx2-12σtx+ρt]

由式（20）知函數(shù)[α]和[β]都是熱方程的解：

[αt=αxx， βt=βxx]

通過[β]的函數(shù)形式以及[βt=βxx]可以計(jì)算得出：

[τttt=0， σtt=0， ρt=-14τtt]

綜合以上分析，[τ]是關(guān)于[t]的二次函數(shù)，[σ]是[t]的線性函數(shù)，通過[ρ，σ]和[τ]直接得到[ξ]和[?]的公式，滿足了所有的決定方程，可以得出熱方程最一般的無窮小對稱具有以下系數(shù)形式：

[ξ=c1+c4x+2c5t+4c6xtτ=c2+2c4t+4c6t2?=c3-c5x-2c6t-c6x2u+αx，t]

式中：[c1～c6]為任意常數(shù)；[αx，t]為熱方程的任意解。因而，熱方程具有的點(diǎn)對稱生成元為：

[X1=?xX2=?tX3=u?uX4=x?x+2t?tX5=2t?x-xu?uX6=4tx?x+4t2?t-x2+2tu?u] （21）

考慮無窮小生成子[X6]（參數(shù)為[c6]），通過解一階常微分方程組的初值問題：

[dx*dε=4x*t*，dt*dε=4t*2]

[du*dε=-x*2+2t*u*]

且[u*=u，x*=x，t*=tε=0]。借助符號計(jì)算軟件Maple反解上式可得相應(yīng)的單參數(shù)Lie點(diǎn)變換群

[x*=Xx，t，u；ε=x1-εtt*=Tx，t，u；ε=t1-εtu*=Ux，t，u；ε=1-εtexp-εx241-εtu]

下面用直接代入法，根據(jù)[X6]作用下熱方程的不變性，求它的相似解[u=Θx，t]。

第一步：將不變曲面條件

[4xtux+4t2ut=-x2+2tu] （22）

表示為[ut]的可解形式 ：

[ut=-xtux-x24t2+12tu]（23） 第二步：利用Maple將式（23）代入熱方程式（6），得到ODE：

[uxx+xtux+x24t2+12tu=0] （24）

式中[t]是參數(shù)。參數(shù)化ODE（14）的通解為

[u=At+Btxe-x24t] （25）

式中[At]，[Bt]為任意常數(shù)。

第三步：將式（25）代入不變曲面條件式（22），得到：

[A′t+12tAt+B′t+32tBtxe-x24t=0]

因而有：

[A′t+12tAt=0B′t+32tBt=0]

從而產(chǎn)生源于[X6]作用下式（6）的不變性的PDE（6）的相似解為：

[u=Θx，t=1tC1+C2xte-x24t] （26）

3 結(jié) 論

偏微分方程相似解的有效方法主要有經(jīng)典Lie群變換法、非經(jīng)典Lie群法、CK直接變換法。較其他方法而言，非經(jīng)典Lie群法計(jì)算量更大、更復(fù)雜，但它有可能求出不同于經(jīng)典Lie群變換法、CK直接變換法的新相似解。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，運(yùn)用非經(jīng)典Lie群法，借助符號計(jì)算軟件Maple進(jìn)行快速高效地計(jì)算，避免了復(fù)雜繁冗的手工計(jì)算，得到的結(jié)果豐富了熱傳導(dǎo)方程方程的相似解。這種方法也適用于其他的發(fā)展方程（組），這對于以后研究發(fā)展方程有一定的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] BLUMAN G W， ANCO S C. Symmetry and integration methods for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 2002.

[2] BLUMANAND G W， COLE J D. Similarity method for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 1974.

[3] OVSIANNIKOV L V. Group analysis of differential equations [M]. New York： Academic Press， 1982.

[4] CLARKSON P A， KRUSKAL M D. New similarity reductions of the Boussinesq [J]. Journal of Math Phys， 1989， 30（10）： 2201?2213.

[5] ABLOWITZ M. J， CLARKSON P A. Solitons， nonlinear evolution equations and inverse scattering [M]. UK： Cambridge University Press， 1991.

[6] HIROTA R. Exact solution of the Korteweg?de Vries equation for multiple collisions of solitons [J]. Physical Review Letters， 1971， 27： 1192?1194.

[7] MIURA M R. Backlund transformation [M]. Berlin： Springer?Verlag， 1987.

[8] WAZWAZ Abdul?Majid. The tanh method and a variable separated ODE method for solving double sine?Gordon equation [J]. Physics Letters A， 2006， 350： 367?370.

[9] OLVER P J. Applications of Lie groups to differential equations [M]. New York： Springer， 1993.

[10] 郭華，鄭麗霞，白銀.幾個(gè)非線性偏微分方程的非古典對稱及相似解[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2009（4）：289?292.

[11] 劉漢澤.基于李對稱分析的偏微分方程精確解的研究[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2009.

[12] 郭玉翠.非線性偏微分方程引論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[13] 樓森岳，唐曉艷.非線性數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

式中：

由等式左右兩端對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得到熱方程對稱群的決定方程如下：

[uxuxt： 0=-2τu] （11）

[u2xx： -τu=-τu] （12）

[uxt： 0=-2τx] （13）

[u2xuxx： 0=-τuu] （14）

[u3x： 0=-ξuu] （15）

[uxuxx： ξu=-2τxu-3ξu] （16）

[u2x： 0=?uu-2ξxu] （17）

[uxx： ?u-τt=-τxx+?u-2ξx] （18）

[ux： -ξt=2?xu-ξxx] （19）

[1： ?t=?xx] （20）

在決定方程中，由[uxuxt]和[uxt]的系數(shù)可知[τ]僅僅是關(guān)于[t]的函數(shù)；由[uxuxx]系數(shù)知[ξ]不依賴于[u]；由[uxx]系數(shù)知[τt=2ξx]，因此知[ξ]具有形式：

[ξx，t=12τtx+σt]

這里[σt]僅僅關(guān)于[t]的函數(shù)；由[u2x]的系數(shù)知，[?]與[u]線性相關(guān)，具有形式：

[?x，t，u=βx，tu+αx，t]

由[ux]系數(shù)知[ξt=-2βx]，將此式與[ξx，t]結(jié)合來看，易知[β]是關(guān)于[x]的二次函數(shù)：

[β=-18τttx2-12σtx+ρt]

由式（20）知函數(shù)[α]和[β]都是熱方程的解：

[αt=αxx， βt=βxx]

通過[β]的函數(shù)形式以及[βt=βxx]可以計(jì)算得出：

[τttt=0， σtt=0， ρt=-14τtt]

綜合以上分析，[τ]是關(guān)于[t]的二次函數(shù)，[σ]是[t]的線性函數(shù)，通過[ρ，σ]和[τ]直接得到[ξ]和[?]的公式，滿足了所有的決定方程，可以得出熱方程最一般的無窮小對稱具有以下系數(shù)形式：

[ξ=c1+c4x+2c5t+4c6xtτ=c2+2c4t+4c6t2?=c3-c5x-2c6t-c6x2u+αx，t]

式中：[c1～c6]為任意常數(shù)；[αx，t]為熱方程的任意解。因而，熱方程具有的點(diǎn)對稱生成元為：

[X1=?xX2=?tX3=u?uX4=x?x+2t?tX5=2t?x-xu?uX6=4tx?x+4t2?t-x2+2tu?u] （21）

考慮無窮小生成子[X6]（參數(shù)為[c6]），通過解一階常微分方程組的初值問題：

[dx*dε=4x*t*，dt*dε=4t*2]

[du*dε=-x*2+2t*u*]

且[u*=u，x*=x，t*=tε=0]。借助符號計(jì)算軟件Maple反解上式可得相應(yīng)的單參數(shù)Lie點(diǎn)變換群

[x*=Xx，t，u；ε=x1-εtt*=Tx，t，u；ε=t1-εtu*=Ux，t，u；ε=1-εtexp-εx241-εtu]

下面用直接代入法，根據(jù)[X6]作用下熱方程的不變性，求它的相似解[u=Θx，t]。

第一步：將不變曲面條件

[4xtux+4t2ut=-x2+2tu] （22）

表示為[ut]的可解形式 ：

[ut=-xtux-x24t2+12tu]（23） 第二步：利用Maple將式（23）代入熱方程式（6），得到ODE：

[uxx+xtux+x24t2+12tu=0] （24）

式中[t]是參數(shù)。參數(shù)化ODE（14）的通解為

[u=At+Btxe-x24t] （25）

式中[At]，[Bt]為任意常數(shù)。

第三步：將式（25）代入不變曲面條件式（22），得到：

[A′t+12tAt+B′t+32tBtxe-x24t=0]

因而有：

[A′t+12tAt=0B′t+32tBt=0]

從而產(chǎn)生源于[X6]作用下式（6）的不變性的PDE（6）的相似解為：

[u=Θx，t=1tC1+C2xte-x24t] （26）

3 結(jié) 論

偏微分方程相似解的有效方法主要有經(jīng)典Lie群變換法、非經(jīng)典Lie群法、CK直接變換法。較其他方法而言，非經(jīng)典Lie群法計(jì)算量更大、更復(fù)雜，但它有可能求出不同于經(jīng)典Lie群變換法、CK直接變換法的新相似解。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，運(yùn)用非經(jīng)典Lie群法，借助符號計(jì)算軟件Maple進(jìn)行快速高效地計(jì)算，避免了復(fù)雜繁冗的手工計(jì)算，得到的結(jié)果豐富了熱傳導(dǎo)方程方程的相似解。這種方法也適用于其他的發(fā)展方程（組），這對于以后研究發(fā)展方程有一定的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] BLUMAN G W， ANCO S C. Symmetry and integration methods for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 2002.

[2] BLUMANAND G W， COLE J D. Similarity method for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 1974.

[3] OVSIANNIKOV L V. Group analysis of differential equations [M]. New York： Academic Press， 1982.

[4] CLARKSON P A， KRUSKAL M D. New similarity reductions of the Boussinesq [J]. Journal of Math Phys， 1989， 30（10）： 2201?2213.

[5] ABLOWITZ M. J， CLARKSON P A. Solitons， nonlinear evolution equations and inverse scattering [M]. UK： Cambridge University Press， 1991.

[6] HIROTA R. Exact solution of the Korteweg?de Vries equation for multiple collisions of solitons [J]. Physical Review Letters， 1971， 27： 1192?1194.

[7] MIURA M R. Backlund transformation [M]. Berlin： Springer?Verlag， 1987.

[8] WAZWAZ Abdul?Majid. The tanh method and a variable separated ODE method for solving double sine?Gordon equation [J]. Physics Letters A， 2006， 350： 367?370.

[9] OLVER P J. Applications of Lie groups to differential equations [M]. New York： Springer， 1993.

[10] 郭華，鄭麗霞，白銀.幾個(gè)非線性偏微分方程的非古典對稱及相似解[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2009（4）：289?292.

[11] 劉漢澤.基于李對稱分析的偏微分方程精確解的研究[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2009.

[12] 郭玉翠.非線性偏微分方程引論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[13] 樓森岳，唐曉艷.非線性數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.