均勻分布的一種合理的點估計

鄭昌紅

摘 要 本文先從一個實際問題出發，引出離散型均勻分布的參數估計的合理性，進而討論連續性均勻分布的參數估計的合理性，從而推出更一般的情況。

關鍵詞 參數估計 矩估計 均勻分布 無偏估計

中圖分類號：O212.1 文獻標識碼：A

在二戰期間，德國坦克戰斗力優于盟軍。為了知己知彼，了解德軍坦克數顯然可以幫助盟軍評估獲勝幾率和調整武器裝備。因此盟軍開始尋找方法進行推算，他們最后找到了重要線索。盟軍發現德軍墨守成規，每輛坦克都有一個獨特的序列號，序列號有一個模式，代表了坦克生產訂單，而且每個號碼不會重復。那么怎么樣根據繳獲的德軍坦克的編號來估計德軍坦克數量呢？

觀察整個問題，最終需要估計德軍坦克的數量，這個數量是一個未知參數，其估計值要通過繳獲的坦克編號得到。

設總體表示繳獲的坦克的編號，德軍坦克數為。顯然繳獲每一輛坦克都是等可能的，則的分布律為：（ = ） = ，（ = 1，2，…，）其中分布律中德軍坦克數為未知參數。

這種分布不如可以理解成離散型的隨機變量的均勻分布，即取得每個可能取值的可能性是一樣的。

這里我們先給出第一種常規方法求出未知參數的矩估計。

根據總體的分布律，只有一個未知參數，所以只需求出其數學期望：

由于隨機變量的可能取值為1，2，…，，顯然這個估計量不能保證估計出來的坦克數比繳獲的坦克編號中最大的大，所以用這個來估計坦克數不合理。合理的估計值一定要大于等于繳獲的坦克編號中最大的，也就是說我們關心的其實是取得的最大編號。為了滿足這個合理條件，我們通過編號最大值的分布來估計參數。

設總體表示繳獲坦克的編號的最大值，德軍坦克數為，繳獲的坦克數為，則的分布律為：

那么如何求呢？這要用到二項式系數的相關方法 。

顯然代數式 + + … + 中的系數為，經過求和有 + + … + = ，所以其的系數即為分子的的系數，也就是說 = 。

進一步可以得到： = = = ，從而 = ，所以矩估計為：。

首先一定滿足估計值大于等于繳獲坦克編號的條件。其次這個結果可以理解成估計值等于最大編號加上平均遺失的編號。

二戰結束后，盟軍通過德軍遺留下來的資料發現，德國在1940年夏天到1942年秋天期間，每月生產坦克255輛。根據戰后獲得的德國內部統計數字，坦克的真實生產速度是每月256輛，僅僅差了一輛，用統計方法估計出來的坦克數量與實際坦克數量如此驚人的相似。這個結果比剛開始動用傳統的情報收集方法：間諜活動、攔截和破譯軸心國通訊，審訊俘虜這些手段估計出來的結果要準確得多。

這實際上是一個離散均勻分布的參數估計問題。自然我們想到連續性均勻分布的參數估計問題。

設隨機變量～（），其中為未知參數。很容易求出的極大似然估計為：，即用樣本的最小值和最大值分別來估計。但是顯然估計偏大， 估計偏小。

下面我們用一般的矩估計的方法求的估計量。

的概率密度函數為：

則，解得：

所以的矩估計量為：

此估計量與上面的例子類似的存在缺點：對樣本（，，…，），記 = （，，…，）， = （，，…，），顯然對任意樣本觀察值都有≤≤≤，所以上述矩估計不能保證的估計值小于最小的，的估計值大于最大的這個條件，也就是說這個估計量是不合理的。為了滿足合理性，我們更應該關心樣本中的最大和最小值的情況。即，的情況。

由于，，…，相互獨立且同分布，設其分布函數為（），則

是，的線性組合，其估計的結果可以理解成：表示樣本的最小值減去樣本的平均距離，表示樣本的最大值加上樣本的平均距離，這個結果比起極大似然估計和一般的矩估計顯然更合理。

很容易證明分別是的無偏估計量，由文獻[3]還可以知道還是的一致最小方差無偏估計量。

由上面的討論，我們可以把這個問題推廣到更一般的情況。若隨機變量的可能取值范圍受未知參數的控制，那么我們用常規的點估計的方法估計出來的結果可能不合理，這時我們可以用類似于上述的方法對估計方法進行調整，使得估計量具有合理性。